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2016年廣西玉林、貴港、梧州市高考數(shù)學模擬試卷（文科） 　 一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，則A∩B=（　?。? A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2} 2．復數(shù)z=的虛部為（　?。? A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3 3．命題“若a2＜b，則﹣＜a＜”的逆否命題為（　　） A．若a2≥b，則a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，則a＞或a＜﹣ C．若a≥或a≤﹣，則a2≥b D．若a＞或a＜﹣，則a2＞b 4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，則tanα=（　?。? A． B． C． D．2 5．已知變量x，y之間的線性回歸方程為=﹣0.7x+10.3，且變量x，y之間的一組相關數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是（　?。? x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．變量x，y之間呈現(xiàn)負相關關系 B．m=4 C．可以預測，當x=11時，y=2.6 D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點（9，4） 6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4則（　?。? A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 7．已知函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象關于x=軸對稱，則f（x）的解析式為（　?。? A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+） C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+） 8．若不等式組，表示的平面區(qū)域為D，則將D繞原點旋轉一周所得區(qū)域的面積為（　　） A．30π B．28π C．26π D．25π 9．若數(shù)列{an}為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，則數(shù)列{an}的前10項和S10=（　?。? A．15 B．15 C．31 D．31 10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，則實數(shù)a的取值范圍是（　　） A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 11．網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，如圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（　　） A．44 B．56 C．68 D．72 12．已知雙曲線C1：﹣y2=1，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C2一條漸近線上的某一點，且OM⊥MF2，若C1，C2的離心率相同，且S=16，則雙曲線C2的實軸長為（　?。? A．4 B．8 C．16 D．32 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上 13．已知平面向量，的夾角為，||=4，||=2，則|﹣2|=_______． 14．運行如圖程序框圖若輸入的n的值為3，則輸出的n的值為_______． 15．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S8=8，a3=4．則的最小值為_______． 16．若函數(shù)f（x）=|ex+|在[0，1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是_______． 　 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知acosB﹣c=． （1）求角A的大小； （2）若b﹣c=，a=3+，求BC邊上的高． 18．小明和小紅進行一次答題比賽，共4局，每局10分，現(xiàn)將小明和小紅的各局得分統(tǒng)計如表： 小明 6 6 9 9 小紅 7 9 6 10 （1）求小明和小紅在本次比賽中的平均得分x1，x2及方差，； （2）從小明和小紅兩人的4局比賽中隨機各選取1局，并將小明和小紅的得分分別記為a，b，求a≥b的概率． 19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形． （1）若E為線段A1C1的中點，證明：BE⊥AC； （2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120，求三棱錐B﹣AD1C的體積． 20．已知橢圓C： +=1（a＞b＞0）的離心率為，且（4，0）在橢圓C上，圓M：x2+y2=r2與直線l：y=8x的一個交點的橫坐標為1． （1）求橢圓C的方程與圓M的方程； （2）已知A（m，n）為圓M上的任意一點，過點A作橢圓C的兩條切線l1，l2．試探究直線l1，l2的位置關系，并說明理由． 21．已知函數(shù)f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx． （1）若a=2，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程； （2）當a≤時，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 　 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，BC為圓O的直徑，A為圓O上一點，過點A的直線與圓O相切，且與線段BC的延長線交于點D，E為線段AC延長線上的一點，且ED∥AB． （1）求證AC?AD=AB?CD； （2）若DE=4，DC=5，求AD的長． 　 [選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 23．已知曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為（2，）． （1）寫出曲線C的極坐標方程，并求出曲線C在點（，1）處的切線l的極坐標方程； （2）若過點A的直線m與曲線C相切，求直線m的斜率k的值． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知m，n∈R+，且m＞n （1）若n＞1，比較m2+n與mn+m的大小關系，并說明理由； （2）若m+2n=1，求+的最小值． 　  2016年廣西玉林、貴港、梧州市高考數(shù)學模擬試卷（文科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，則A∩B=（　?。? A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2} 【考點】交集及其運算． 【分析】直接根據(jù)交集的定義即可求出． 【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}， 則A∩B={0，1，2} 故選：D． 　 2．復數(shù)z=的虛部為（　?。? A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3 【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的基本概念． 【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡復數(shù)z，進而得到數(shù)z的虛部． 【解答】解：z===﹣3﹣2i， 則復數(shù)z=的虛部為﹣2， 故選：A． 　 3．命題“若a2＜b，則﹣＜a＜”的逆否命題為（　　） A．若a2≥b，則a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，則a＞或a＜﹣ C．若a≥或a≤﹣，則a2≥b D．若a＞或a＜﹣，則a2＞b 【考點】四種命題間的逆否關系． 【分析】直接利用逆否命題與原命題的關系寫出結果即可． 【解答】解：命題“若a2＜b，則﹣＜a＜”的逆否命題為若a≥或a≤﹣，則a2≥b． 故選：C． 　 4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，則tanα=（　　） A． B． C． D．2 【考點】三角函數(shù)的化簡求值． 【分析】判斷角所在象限，求出余弦函數(shù)值，然后求解即可． 【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0， 所以cosα＞0，α是第一象限角， cosα==． ∴tanα==． 故選：B． 　 5．已知變量x，y之間的線性回歸方程為=﹣0.7x+10.3，且變量x，y之間的一組相關數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是（　?。? x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．變量x，y之間呈現(xiàn)負相關關系 B．m=4 C．可以預測，當x=11時，y=2.6 D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點（9，4） 【考點】線性回歸方程． 【分析】求出，代入回歸方程解出，列方程解出m． 【解答】解： ==9，∴=﹣0.79+10.3=4． ∴，解得m=5． 故選B． 　 6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4則（　　） A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 【考點】對數(shù)值大小的比較． 【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出． 【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0， ∴c＞b＞a， 故選：C． 　 7．已知函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象關于x=軸對稱，則f（x）的解析式為（　?。? A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+） C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+） 【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 【分析】由周期求出ω，根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、正弦函數(shù)的對稱性，求出φ的值，可得函數(shù)的解析式． 【解答】解：由題意知： =π，得ω=2，向左平移個單位長度后得f（x）=2sin（2x++φ）， 因為，所得圖象關于x=軸對稱， 所以， ++φ=kπ+，k∈Z， 所以，φ=kπ﹣，k∈Z， 因為，0＜φ＜π， 所以，φ=． 可得f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+）． 故選：B． 　 8．若不等式組，表示的平面區(qū)域為D，則將D繞原點旋轉一周所得區(qū)域的面積為（　　） A．30π B．28π C．26π D．25π 【考點】簡單線性規(guī)劃． 【分析】由題意作出可行域D，可得將D繞原點旋轉一周所得區(qū)域為圓環(huán)，求出大圓的半徑及小圓的半徑，則答案可求． 【解答】解：由約束條件作出平面區(qū)域D如圖， 聯(lián)立，解得B（5，3）； 聯(lián)立，解得C（3，5）； 又A（0，2）， ∴將D繞原點旋轉一周所得區(qū)域為圓環(huán)，且大圓的半徑為，小圓的半徑為2． 則圓環(huán)的面積為34π﹣4π=30π． 故選：A． 　 9．若數(shù)列{an}為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，則數(shù)列{an}的前10項和S10=（　　） A．15 B．15 C．31 D．31 【考點】等比數(shù)列的前n項和． 【分析】利用等比數(shù)列的通項公式、求和公式即可得出． 【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2+a5，化為：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=． ∵a2=2﹣=a1， 解得a1=﹣1． 則數(shù)列{an}的前10項和S10==25﹣1=31， 故選：D． 　 10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【考點】函數(shù)奇偶性的性質． 【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等價為f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得到結論． 【解答】解：由于函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱，且在x≥0上為增函數(shù)，f（2）=1 ∴不等式f（a2﹣1）＜1等價為f（|a2﹣1|）＜f（2） 即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜， 故選：A． 　 11．網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，如圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（　?。? A．44 B．56 C．68 D．72 【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】由三視圖知該幾何體為一個長方體切掉一個三棱柱和一個棱錐得到的幾何體，由三視圖求出幾何元素的長度，由柱體、錐體體積公式求出幾何體的體積． 【解答】解：由三視圖可知，該幾何體為一個長方體切掉一個三棱柱和一個棱錐得到的幾何體， 且長方體長、寬、高為4、4、6； 三棱柱的底面是直角邊分別為4、3的直角三角形，高為4； 三棱柱的底面是直角邊分別為2、4的直角三角形，高為3； ∴該幾何體的體積V=446﹣﹣=68， 故選：C． 　 12．已知雙曲線C1：﹣y2=1，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C2一條漸近線上的某一點，且OM⊥MF2，若C1，C2的離心率相同，且S=16，則雙曲線C2的實軸長為（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【考點】雙曲線的簡單性質． 【分析】求得雙曲線C1的離心率，求得雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，運用點到直線的距離公式，結合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進而得到雙曲線的實軸長． 【解答】解：雙曲線C1：﹣y2=1的離心率為， 設F2（c，0），雙曲線C2一條漸近線方程為y=x， 可得|F2M|===b， 即有|OM|==a， 由S=16，可得ab=16， 即ab=32，又a2+b2=c2，且=， 解得a=8，b=4，c=4， 即有雙曲線的實軸長為16． 故選：C． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上 13．已知平面向量，的夾角為，||=4，||=2，則|﹣2|=　　． 【考點】平面向量數(shù)量積的運算． 【分析】由條件即可求出，且，從而進行數(shù)量積的運算便可求出的值，從而便可得出的值． 【解答】解：根據(jù)條件：； ∴ =16+16+16 =163； ∴． 故答案為：． 　 14．運行如圖程序框圖若輸入的n的值為3，則輸出的n的值為　1　． 【考點】程序框圖． 【分析】計算循環(huán)中n與i的值，當i=7時滿足判斷框的條件，退出循環(huán)，輸出結果即可． 【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得 i=0，n=3 執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件n為奇數(shù)，n=10，i=1 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=5，i=2 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件n為奇數(shù)，n=16，i=3 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=8，i=4 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=4，i=5 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=2，i=6 不滿足條件i≥7，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n為奇數(shù)，n=1，i=7 滿足條件i≥7，退出循環(huán)，輸出n的值為1． 故答案為：1． 　 15．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S8=8，a3=4．則的最小值為　﹣4?。? 【考點】等差數(shù)列的前n項和． 【分析】設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S8=8，a3=4．利用等差數(shù)列的通項公式、求和公式可得a1，d，進而得到：an，Sn．代入=+n﹣15，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出． 【解答】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S8=8，a3=4． ∴8a1+d=8，a1+2d=4， 解得a1=8，d=﹣2． ∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，Sn==9n﹣n2． 則==+n﹣15， 令f（x）=﹣15，（x≥1）． f′（x）=1﹣=，可知：當x=時，f（x）取得最小值， 又f（5）=6+5﹣15=﹣4，f（6）=5+6﹣15=﹣4． ∴f（n）的最小值為﹣4． 故答案為：﹣4． 　 16．若函數(shù)f（x）=|ex+|在[0，1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是　（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）?。? 【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質． 【分析】可看出，為去掉絕對值號，需討論a：（1）a＞0時，得出，求導數(shù)，根據(jù)題意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，從而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，從而得出a≥e2；（2）a=0時，顯然不滿足題意；（3）a＜0時，可看出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而由可解得，從而得出f（x）在上單調(diào)遞減，從而便可得出，這又可求出一個a的范圍，以上a的范圍求并集便是實數(shù)a的取值范圍． 【解答】解：（1）當a＞0時，，； ∵f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減； ∴x∈[0，1]時，f′（x）≤0恒成立； 即x∈[0，1]時，a≥e2x恒成立； y=e2x在[0，1]上的最大值為e2； ∴a≥e2； （2）當a=0時，f（x）=ex，在[0，1]上單調(diào)遞增，不滿足[0，1]上單調(diào)遞減； ∴a≠0； （3）當a＜0時，在R上單調(diào)遞增； 令得，； ∴f（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)； 又f（x）在[0，1]上為減函數(shù)； ∴； ∴a≤﹣e2； ∴綜上得，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）． 故答案為：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）． 　 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知acosB﹣c=． （1）求角A的大小； （2）若b﹣c=，a=3+，求BC邊上的高． 【考點】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ） 由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB≠0，解得cosA，結合A的范圍即可得解． （Ⅱ）由余弦定理可解得：，設BC邊上的高為h，由，即可解得h的值． 【解答】（本題滿分為15分） 解：（Ⅰ）由及正弦定理可得：，… 因為sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， 所以，… 因為sinB≠0，所以，… 因為0＜A＜π，所以．… （Ⅱ）由余弦定理可知：，… 所以：， 解得：． … 設BC邊上的高為h，由，… 得：，… 解得：h=1． … 　 18．小明和小紅進行一次答題比賽，共4局，每局10分，現(xiàn)將小明和小紅的各局得分統(tǒng)計如表： 小明 6 6 9 9 小紅 7 9 6 10 （1）求小明和小紅在本次比賽中的平均得分x1，x2及方差，； （2）從小明和小紅兩人的4局比賽中隨機各選取1局，并將小明和小紅的得分分別記為a，b，求a≥b的概率． 【考點】極差、方差與標準差；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 【分析】（1）根據(jù)題意，利用定義計算平均數(shù)與方差即可； （2）利用列舉法計算基本事件數(shù)，求對應的概率即可． 【解答】解：（1）根據(jù)題意，平均數(shù)x1==7.5， x2==8； =（1.524）=2.25， =（12+42）=2.5；… （2）記小明的4局比賽為A1，A2，A3，A4， 各局的得分分別是6，6，9，9； 小紅的4局比賽為B1，B2，B3，B4， 各局的得分分別是7，9，6，10； 則從小明和小紅的4局比賽中隨機各選取1局，所有可能的結果有16種， 它們是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）；… 其中滿足條件的有： （A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）；… 故所求的概率為．… 　 19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形． （1）若E為線段A1C1的中點，證明：BE⊥AC； （2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120，求三棱錐B﹣AD1C的體積． 【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質． 【分析】（1）連接BD，B1D1，通過證明AC⊥平面B1D1DB得出AC⊥BE； （2）利用菱形的性質計算S△ABC，于是=S△ABC?AA1． 【解答】解：（1）連接BD，B1D1， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AA1⊥平面ABCD，BB1∥AA1， ∴BB1⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD， ∴BB1⊥AC， 又BB1?平面BB1D1D，BD?平面BB1D1D，BD∩BB1=B， ∴AC⊥平面BB1D1D， ∵E是A′C′的中點，四邊形A′B′C′D′是菱形， ∴E是B1D1的中點， ∴BE?平面BB1D1D， ∴AC⊥BE． （2）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=A1B1=2，∠ABC=∠ADC=120， ∴S△ABC===， ∴=S△ABC?AA1==． 　 20．已知橢圓C： +=1（a＞b＞0）的離心率為，且（4，0）在橢圓C上，圓M：x2+y2=r2與直線l：y=8x的一個交點的橫坐標為1． （1）求橢圓C的方程與圓M的方程； （2）已知A（m，n）為圓M上的任意一點，過點A作橢圓C的兩條切線l1，l2．試探究直線l1，l2的位置關系，并說明理由． 【考點】橢圓的簡單性質． 【分析】（1）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；求得直線和圓的交點（1，8），即可得到圓的方程； （2）當過點A與橢圓C相切的一條切線的斜率不存在時，切線方程為x=4，得到直線y=7恰好為過點A與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l1，l2互相垂直；當過點A（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時，設切線方程為y﹣n=k（x﹣m），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到關于x的一元二次方程，利用判別式等于0能推導出直線l1、l2始終相互垂直． 【解答】解：（1）由題意得b=4，e==， 又a2﹣c2=16， 解得a=7，b=4，c=． ∴橢圓C的方程為+=1； 由題意可得圓M：x2+y2=r2與直線l：y=8x的一個交點為（1，8）， 即有r2=65， 則圓M的方程：x2+y2=65； （2）如圖， ①當過點A與橢圓C： +=1相切的一條切線的斜率不存在時， 此時切線方程為x=4， ∵點A在圓M：x2+y2=65上，則A（4，7）， ∴直線y=7恰好為過點A與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l1，l2互相垂直； ②當過點A（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時， 設切線方程為y﹣n=k（x﹣m）， 由， 得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣4916=0， 由于直線與橢圓相切， ∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣4916）=0， 整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0， ∴k1k2=， ∵P（m，n）在圓x2+y2=65上，∴m2+n2=65， ∴16﹣m2=n2﹣49， ∴k1k2=﹣1，則兩直線互相垂直． 綜上所述，直線l1、l2始終相互垂直． 　 21．已知函數(shù)f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx． （1）若a=2，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程； （2）當a≤時，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切點坐標，切線斜率，即可得到所求切線方程． （2）通過，對?x＞1恒成立；構造函數(shù)，求出導數(shù)求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，即可推出a的范圍． 【解答】解：（1）依題意，， 故f（1）=﹣2，因為f（1）=1，… 故所求切線方程為y﹣1=﹣2（x﹣1），得y=﹣2x+3；… （2）依題意，因為x∈（1，+∞），故lnx＞0， 故，對?x＞1恒成立；… 令，則，令h（x）=0，得， 當時，h（x）單調(diào)遞減；時，h（x）單調(diào)遞增… 所以當時，h（x）取得最小值… ∴… 又∵，∴… 　 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，BC為圓O的直徑，A為圓O上一點，過點A的直線與圓O相切，且與線段BC的延長線交于點D，E為線段AC延長線上的一點，且ED∥AB． （1）求證AC?AD=AB?CD； （2）若DE=4，DC=5，求AD的長． 【考點】相似三角形的性質． 【分析】（1）證明△ABD∽△CAD，即可證明AC?AD=AB?CD； （2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函數(shù)求AD的長． 【解答】（1）證明：∵AD切圓O于點A， ∴∠B=∠CAD， ∵∠ADB=∠CDA， ∴△ABD∽△CAD， ∴=， ∴AC?AD=AB?CD； （2）解：∵BC是直徑， ∴∠BAC=90， ∵ED∥AB， ∴∠DEC=∠BAC=90，∠CDE=∠B， ∴∠CAD=∠CDE， ∵DE=4，DC=5， ∴CE=3， ∴sin∠CAD==sin∠CDE=， ∴AD=． 　 [選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 23．已知曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為（2，）． （1）寫出曲線C的極坐標方程，并求出曲線C在點（，1）處的切線l的極坐標方程； （2）若過點A的直線m與曲線C相切，求直線m的斜率k的值． 【考點】簡單曲線的極坐標方程． 【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），利用cos2α+sin2α=1，即可得出直角坐標方程，進而得出極坐標方程．點（，1）在曲線C上，故切線的斜率=﹣=﹣，即可得出切線方程，進而化為極坐標方程． （2）點A的極坐標化為直角坐標A，即A（2，2）．設過直線m的斜率為k，y=k（x﹣2）+2，利用直線與圓相切的性質即可得出． 【解答】解：（1）曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），∵cos2α+sin2α=1，∴x2+y2=3．可得極坐標方程為：ρ2=3，即． ∵點（，1）在曲線C上，故切線的斜率k=﹣=﹣，故切線的方程為：y﹣1=（x﹣），可得： x+y=3．即cosθ+ρsinθ=3． （2）點A的極坐標為（2，），化為直角坐標A，即A（2，2）．設過直線m的斜率為k，y=k（x﹣2）+2， ∵直線與圓相切，∴=，∴k2﹣8k+1=0，解得k=4． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知m，n∈R+，且m＞n （1）若n＞1，比較m2+n與mn+m的大小關系，并說明理由； （2）若m+2n=1，求+的最小值． 【考點】基本不等式． 【分析】（1）作差法比較即可；（2）“乘1法”結合基本不等式的性質求出最小值即可． 【解答】解：（1）由題意得： m2+n﹣（mn+m） =m2﹣mn+n﹣m =（m﹣1）（m﹣n）， ∵n＞1，故m＞1， 故（m﹣1）（m﹣n）＞0， 即m2+n＞mn+m； （2）由題意得： +=（+）（m+2n）=2+++2≥8， 當且僅當m=2n=時“=”成立．