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,,,,,,,,,,,,,,,,,,第4章 立體,體的投影:,,,,,,,體的投影，實(shí)質(zhì)上是構(gòu)成該體的所有表面的投影總和。,返回,下頁,上頁,1,4.1基本體的形成及其三視圖,常見的基本幾何體,,,,平面基本體,曲面基本體,,返回,下頁,上頁,2,點(diǎn)的可見性規(guī)定： 若點(diǎn)所在的平面的投影可見，點(diǎn)的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見。,由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取點(diǎn)與在平面上取點(diǎn)的方法相同。,,,,,4.1.1平面基本體,1.棱柱,⑵ 棱柱的三視圖,⑶ 棱柱面上取點(diǎn),,,,,,,,,,,,,,,⑴ 棱柱的組成,,,,,由兩個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。,在圖示位置時(shí)，六棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映實(shí)形。前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個(gè)側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。,返回,下頁,上頁,3,( ),,,,,2.棱錐,⑵ 棱錐的三視圖,⑶ 在棱錐面上取點(diǎn),,,,,,,,b?,a?(c?),b?,,,,,,,,,,⑴ 棱錐的組成,,,由一個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)——錐頂。,同樣采用平面上取點(diǎn)法。,棱錐處于圖示位置時(shí)，其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實(shí)形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個(gè)側(cè)棱面為一般位置平。,返回,下頁,上頁,4,圓柱面的俯視圖積聚成一個(gè)圓，在另兩個(gè)視圖上分別以兩個(gè)方向的輪廓素線的投影表示。,,,4.2 回轉(zhuǎn)體,1.圓柱體,⑵ 圓柱體的三視圖,⑶ 輪廓線素線的投影與曲面的 可見性的判斷,⑷ 圓柱面上取點(diǎn),,,,,,,,,,圓柱面上與軸線平行的任一直線稱為圓柱面的素線。,⑴ 圓柱體的組成,,由圓柱面和兩底面組成。,圓柱面是由直線AA1繞與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。,直線AA1稱為母線。,利用投影的積聚性,返回,下頁,上頁,5,在圖示位置，俯視圖為一圓。另兩個(gè)視圖為等邊三角形，三角形的底邊為圓錐底面的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。,圓錐面是由直線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。 S稱為錐頂，直線SA稱為母線。圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。,⑴ 圓錐體的組成,,,,2.圓錐體,⑵ 圓錐體的三視圖,⑶ 輪廓線素線的投影與 曲面的可見性的判斷,⑷ 圓錐面上取點(diǎn),,,,,,,,★輔助直線法,★輔助圓法,,,,s,,,,,,,,,●,由圓錐面和底面組成。,如何在圓錐面上作直線？,過錐頂作一條素線。,圓的半徑？,返回,下頁,上頁,6,三個(gè)視圖分別為三 個(gè)和圓球的直徑相等的 圓，它們分別是圓球三 個(gè)方向輪廓線的投影。,3.圓球,圓母線以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。,⑵ 圓球的三視圖,⑶ 輪廓線的投影與曲 面可見性的判斷,⑷ 圓球面上取點(diǎn),,,,,,,,,,,,,,輔助圓法,,⑴ 圓球的形成,圓的半徑？,返回,下頁,上頁,7,平面體與回轉(zhuǎn)體相貫,回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫,多體相貫,4.3 截交線與相慣線,1.相貫的形式,兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫做相貫線。,本章主要討論常用不同立體相交時(shí)其表面相貫線的投影特性及畫法。,返回,下頁,上頁,8,2.相貫線的主要性質(zhì),其作圖實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影。,★ 共有性,★ 表面性,相貫線位于兩立體的表面上。,相貫線是兩立體表面的共有線。,★ 封閉性,相貫線一般是封閉的空間折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線。,返回,下頁,上頁,9,4.3.1 平面體及回轉(zhuǎn)體的截切,截切： 用一個(gè)平面與立體相交，截去立體的一部分。,? 截平面 —— 用以截切物體的平面。,? 截交線 —— 截平面與物體表面的交線。,? 截?cái)嗝?—— 因截平面的截切，在物體上形 成的平面。,討論的問題：截交線的分析和作圖 。,返回,下頁,上頁,10,4.3.1.1平面體的截切,一、平面截切的基本形式,? 截交線是一個(gè)由直線組成的封閉的平面多邊形，其 形狀取決于平面體的形狀及截平面對平面體的截切 位置。,? 截交線的每條邊是截平面與棱面的交線。,截交線的性質(zhì)：,返回,下頁,上頁,11,二、平面截切體的畫圖,⒈ 求截交線的兩種方法：,★ 求各棱線與截平面的交點(diǎn)→棱線法。,★ 求各棱面與截平面的交線→棱面法。,關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。,⒉ 求截交線的步驟：, 截平面與體的相對位置, 截平面與投影面的相對位置,確定截交線 的投影特性,確定截交 線的形狀,★ 空間及投影分析,★ 畫出截交線的投影,分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。,返回,下頁,上頁,12,例1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3?,2?,1?,(4?),★ 空間分析,交線的形狀？,★ 投影分析,★ 求截交線,★ 分析棱線的投影,,,,,,,,★ 檢查 尤其注意檢查截 交線投影的類似性,返回,下頁,上頁,立體,13,例1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,返回,下頁,上頁,14,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,注意： 要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。,返回,下頁,上頁,15,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,返回,下頁,上頁,16,,例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。,,,P?,,,,,,,截交線的形狀？,1?,5?,4?,3?,2?,8?,7?,6?,截交線的投影特性？,2?≡3?≡6?≡7?,1?≡8?,4?≡5?,,求截交線,1,,5,4,7,6,3,2,8,分析棱線的投影,,,,檢查截交線的投影,,返回,下頁,上頁,17,例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。,返回,下頁,上頁,18,4.3.2 回轉(zhuǎn)體的截切,一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式,截交線的性質(zhì)：,? 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。,? 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。,? 截交線都是封閉的平面圖形。,返回,下頁,上頁,19,二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟,⒈ 空間及投影分析, 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對位置，以便確定截交線的形狀。, 分析截平面與投影面的相對位置，明確截交 線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出 截交線的已知投影，予見未知投影。,⒉ 畫出截交線的投影,當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：, 將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可 見性。, 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。,返回,下頁,上頁,20,㈠ 圓柱體的截切,截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置,垂直,圓,橢圓,平行,兩平行直線,傾斜,返回,下頁,上頁,21,,,,,,例1：求左視圖,,,,,,,,,,★空間及投影分析,★求截交線,★分析圓柱體輪廓素線的投影,截平面與體的相對位置,截平面與投影面的相對位置,解題步驟：,,,同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。,,,,,返回,下頁,上頁,22,例1：求左視圖,★空間及投影分析,★求截交線,★分析圓柱體輪廓素線的投影,截平面與體的相對位置,截平面與投影面的相對位置,解題步驟：,返回,下頁,上頁,立體,23,,,,,,例2：求左視圖,,,,,,,,,,,,,,,,返回,下頁,上頁,立體,24,例2：求左視圖,返回,下頁,上頁,25,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例3：求俯視圖,,返回,下頁,上頁,立體,26,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例3：求俯視圖,,,,,,,,返回,下頁,上頁,27,截交線的已知投影？,,,,,,,,,,,,,,●,●,●,●,,,例4：求左視圖,,★找特殊點(diǎn),★補(bǔ)充中間點(diǎn),★光滑連接各點(diǎn),★分析輪廓素線的投影,截交線的側(cè)面投影是什么形狀？,返回,下頁,上頁,28,,,,,,,,,,例4：求左視圖,,,,,,★找特殊點(diǎn),★找中間點(diǎn),★光滑連接各點(diǎn),★分析輪廓素線的投影,返回,下頁,上頁,29,橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。,截平面與圓柱軸線成45°時(shí)。,返回,下頁,上頁,30,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例5：求左視圖,虛實(shí)分界點(diǎn),返回,下頁,上頁,31,㈡ 圓錐體的截切,根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。,返回,下頁,上頁,32,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例: 圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,截交線的空間形狀？,截交線的投影特性？,★找特殊點(diǎn),如何找橢圓另一根軸的端點(diǎn)？,★補(bǔ)充中間點(diǎn),★光滑連接各點(diǎn),★分析輪廓線的 投影,返回,下頁,上頁,33,,,,,,,,,,,,,,,,,,例: 圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。,返回,下頁,上頁,34,㈢ 球體的截切,平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。,返回,下頁,上頁,35,例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。,兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。,返回,下頁,上頁,36,例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,返回,下頁,上頁,37,,,,,,,,,,,,,,,●,●,,,,,㈣ 復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切,,,首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。,,例：求作頂尖的俯視圖,返回,下頁,上頁,38,,,,,,,,,,,,,,,,,例1：補(bǔ)全主視圖,,,,,,,,,,,,返回,下頁,上頁,39,,,,,,,,,,,,,,,,例1：補(bǔ)全主視圖,,,,,,,,,,,,,,,,返回,下頁,上頁,40,,,,,,,,例2：求作主視圖,,,,,,,,,,,返回,下頁,上頁,41,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例3：求作主視圖,返回,下頁,上頁,42,? 小 結(jié),一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成 的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平 面與棱面的交線。,求截交線的方法：棱線法 棱面法,二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截 平面與被截立體軸線的相對位置。,截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。,返回,下頁,上頁,43,當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，要先找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)，最后光滑連接各點(diǎn)。 注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。,⑵ 分析截平面與被截立體對投影面的相對 位置，以確定截交線的投影特性。,⒉ 求截交線,三、解題方法與步驟,⒈ 空間及投影分析,⑴ 分析截平面與被截立體的相對位置，以 確定截交線的形狀。,返回,下頁,上頁,44,⒊ 當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)截 平面進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有 局部被截切時(shí)，先按整體被截切求出截 交線，然后再取局部。,⒋ 求復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復(fù) 合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它 們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本 回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。,返回,下頁,上頁,45,1. 相貫線的性質(zhì),相貫線一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。,4.3.3 回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫,2.作圖方法,? 利用投影的積聚性直接找點(diǎn)。,? 用輔助平面法。,? 先找特殊點(diǎn)。,⒊ 作圖過程,? 補(bǔ)充中間點(diǎn)。,確定交線的 彎曲趨勢,確定交線 的范圍,返回,下頁,上頁,46,多體相貫,每個(gè)局部都是兩體相貫，首先分析它是由哪些基本體組成的，然后兩兩進(jìn)行相貫線的分析與作圖。,返回,下頁,上頁,47,,,,,,,,,,,,,例 1 ：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。,,,,,,,,,,,,,●,,,,,,空間及投影分析： 小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。,,求相貫線的投影：,利用積聚性，采用表面取點(diǎn)法。, 找特殊點(diǎn), 補(bǔ)充中間點(diǎn), 光滑連接,返回,下頁,上頁,48,,,,,,,,,,,,例 1 ：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。,,,,,,,,,,,,,,返回,下頁,上頁,49,當(dāng)圓柱直徑變化時(shí)，相貫線的變化趨勢。,交線向大圓 柱一側(cè)彎,交線為兩條平面 曲線（橢圓）,返回,下頁,上頁,50,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2：補(bǔ)全主視圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,●,,,,★ 外形交線,◆ 兩外表面相貫,◆ 一內(nèi)表面和一外表面相貫,★ 內(nèi)形交線,◆ 兩內(nèi)表面相貫,返回,下頁,上頁,立體,51,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2：補(bǔ)全主視圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,無輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。,小 結(jié)：,,返回,下頁,上頁,52,,,,,,,,,,,,,例3：求主視圖,,,,,,,,,,,,●,●,,,,,●,,●,,,,,,,,,,,,相切處無線,×,外表面與外表面相貫，內(nèi)表面與內(nèi)表面相貫。分別求其相貫線。,返回,下頁,上頁,立體,53,,,,,,,,,,,,,,例3：求主視圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,返回,下頁,上頁,54,例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。,,,,,,,,,,,,,,,,,,◆ 空間及投影分析：,相貫線為一光滑的封閉的空間曲線。它的側(cè)面投影有積聚性，正面投影、水平投影沒有積聚性，應(yīng)分別求出。,◆ 解題方法：輔助平面法,返回,下頁,上頁,55,輔助平面法：,根據(jù)三面共點(diǎn)的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫出相貫線的投影。,作圖方法：,假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點(diǎn)既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫線上的點(diǎn)。,輔助平面的選擇原則：,使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影簡單易畫，例如直線或圓。,一般選擇投影面平行面,返回,下頁,上頁,56,例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。,,,,,,,,,,,,,,,,,,假想用水平面P截切立體，P面與圓柱體的截交線為兩條直線，與圓錐面的交線為圓，圓與兩直線的交點(diǎn)即為交線上的點(diǎn)。,返回,下頁,上頁,57,,,,例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解題步驟：,★ 求特殊點(diǎn),★ 用輔助平面法求 中間點(diǎn),★ 光滑連接各點(diǎn),,返回,下頁,上頁,58,,例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解題步驟：,★ 求特殊點(diǎn),★ 用輔助平面法求 中間點(diǎn),★ 光滑連接各點(diǎn),返回,下頁,上頁,59,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,2,3,,,,例5：補(bǔ)全主視圖,,這是一個(gè)多體相貫的例子，首先分析它是由哪些基本體組成的，這些基本體是如何相貫的，然后分別進(jìn)行相貫線的分析與作圖。,由哪些立體組成呢？,哪兩個(gè)立體相貫？,１與２,１與３,2與3,返回,下頁,上頁,立體,60,例5：補(bǔ)全主視圖,●,●,●,作圖時(shí)要抓住一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，相貫線匯交于這一點(diǎn)。,返回,下頁,上頁,61,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例6：求俯視圖,,,返回,下頁,上頁,立體,62,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例6：求俯視圖,返回,下頁,上頁,63,? 小 結(jié),一、本章的基本內(nèi)容,⒈ 立體表面相貫線的概念,⒉ 求相貫線的基本方法,相貫線的性質(zhì)：表面性 共有性 封閉性,二、解題過程,⒈ 交線分析,⑴ 空間分析：,⑵ 投影分析：,是否有積聚性投影？找出相貫線的已知投影，預(yù)見未知投影，從而選擇解題方法。,面上找點(diǎn)法 輔助平面法,分析相交兩立體的表面形狀， 形體大小及相對位置，預(yù)見交線的形狀。,返回,下頁,上頁,64,特殊點(diǎn)包括：最上點(diǎn)、最下點(diǎn)、最左點(diǎn)、 最右點(diǎn)、最前點(diǎn)、最后點(diǎn)、 輪廓線上的點(diǎn)等。,⒉ 作圖,⑴ 找點(diǎn),⑵連線,⑶檢查、加深,尤其注意檢查回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。,當(dāng)相貫線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：, 先找特殊點(diǎn), 補(bǔ)充若干中間點(diǎn),返回,下頁,上頁,65,