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1、索洛增長模型,高偉 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,問題的引出,自1950年以來，美國的儲蓄率(即儲蓄占GDP的比例)僅為18.7左右，而德國為24.8，日本為33.8。這一事實(shí)能否解釋美國同大多數(shù)OECD國家相比增長率低的原因？儲蓄率不斷上升能否帶來經(jīng)濟(jì)的長期持續(xù)增長？,預(yù)備知識：技術(shù)進(jìn)步的類型,Y=F(K,AL)（哈羅德型，勞動增進(jìn)型） Y=F(AK,L)（索洛型，資本增進(jìn)型） Y=AF(K,L)（希克斯型，同等密集型）,新古典經(jīng)濟(jì)增長模型的提出,由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家R Solow(索洛)和TSwan(斯旺)提出,即Solow- Swan Model 模型認(rèn)為:H-D模型所指出的經(jīng)濟(jì)增長途徑是很難實(shí)現(xiàn)的(

2、即GA=Gw=Gn) 他們把H-D模型提出的經(jīng)濟(jì)增長途徑稱為“刃鋒”。 Solow模型就是要通過改變資本-產(chǎn)量比來解決這一“刃鋒”，并且考慮技術(shù)進(jìn)步對經(jīng)濟(jì)增長的作用。,索洛模型,（一）模型的基本假定 （二）模型的動態(tài)學(xué) （三）參數(shù)變化的影響 （四）收斂問題 （五）模型的主要結(jié)論,（一）模型的基本假定,1.關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)的假定 產(chǎn)量取決于三個變量：資本、勞動、知識； A和L以相乘形式影響Y,（一）模型的基本假定,規(guī)模報(bào)酬不變 這意味著： a 經(jīng)濟(jì)規(guī)模足夠大（專業(yè)化收益已被窮盡）； b 其他因素，如自然資源等不重要。,（一）模型的基本假定,根據(jù)規(guī)模報(bào)酬不變假設(shè)，可以將生產(chǎn)函數(shù)寫成密集形式： 其中：有

3、效勞動AL，有效勞動人均資本k=K/AL，有效勞動人均產(chǎn)量y=Y/AL，總產(chǎn)量Y=ALf(k),（一）模型的基本假定,進(jìn)一步假設(shè)：,邊際報(bào)酬遞減,保證經(jīng)濟(jì)增長路徑不發(fā)散,（一）模型的基本假定,k,f(,k,),新古典生產(chǎn)函數(shù)新古典增長理論 第一，每種投入的邊際產(chǎn)品為正且遞減。 第二，規(guī)模報(bào)酬不變。 第三，稻田條件：,滿足這三個條件的生產(chǎn)函數(shù)被稱為新古典生產(chǎn)函數(shù)。 因此，索洛增長模型又被稱為新古典增長模型。,（一）模型的基本假定,通常使用CD生產(chǎn)函數(shù)（索洛）：,（一）模型的基本假定,滿足索洛模型的CD函數(shù)形式為：,（一）模型的基本假定,2.關(guān)于投入品的假設(shè) 資本、勞動、知識的初始水平既定，勞動、

4、知識以不變速度（外生）增長：,指數(shù)增長,假設(shè)時間t是連續(xù)的（非離散的） （1）勞動力的增長： （2）知識的增長： 其中n為人口增長率，g為技術(shù)進(jìn)步率，均為外生參數(shù)，表示不變增長速度,有效勞動的增長,勞動和知識的進(jìn)化，使得有效勞動數(shù)量在增長，其增長率為：,（一）模型的基本假定,資本的增長（投資）：,索洛經(jīng)濟(jì),經(jīng)濟(jì)社會只有生產(chǎn)和消費(fèi)兩個部門，資本K、勞動L和知識A是生產(chǎn)的三大要素（其他要素都可以忽略），經(jīng)濟(jì)在任何時刻都處于充分就業(yè)的均衡狀態(tài)，儲蓄總是等于投資； 生產(chǎn)的規(guī)模報(bào)酬不變； 技術(shù)進(jìn)步表現(xiàn)為勞動效率的提高，即技術(shù)進(jìn)步屬于哈羅德型（勞動密集型）； 生產(chǎn)函數(shù)的集約形式滿足新古典假設(shè)； 人口增長率

5、、知識增長率、儲蓄率、資本折舊率都等于常數(shù)，人口和知識呈指數(shù)增長。,（二）模型的動態(tài)學(xué),k的動態(tài)變化,（二）模型的動態(tài)學(xué),索洛模型的核心公式： 單位有效勞動的資本存量的變化等于兩項(xiàng)之差： ：單位有效勞動的平均投資 ：持平投資，使k保持現(xiàn)有水平所必需的投資,經(jīng)濟(jì)解釋,（二）模型的動態(tài)學(xué),（二）模型的動態(tài)學(xué),k的相圖（三維空間在平面的投影）,穩(wěn) 態(tài),趨勢定理,在索洛經(jīng)濟(jì)中，只要起始時刻的有效人均資 本k=k(0)，那么就有 。,（二）模型的動態(tài)學(xué)：平衡增長路徑,k=k*時各變量的變動：,（二）模型的動態(tài)學(xué),k=k*時各變量比例的變動：,證明,K的增長率：,Y的增長率,規(guī)模報(bào)酬不變之假設(shè)。這一假設(shè)說

6、明了總產(chǎn)出是按照資本和有效勞動的邊際生產(chǎn)力來分配的： 其中 是資本的邊際生產(chǎn)力， 是有效勞動的邊際 生產(chǎn)力。由于資本與有效勞動以同樣的增長率 在增長，所以， 。,，,Y的增長率,從以上可推導(dǎo)： 總產(chǎn)出的增長率也是,人均產(chǎn)出增長率,人均產(chǎn)出（勞動生產(chǎn)率）以技術(shù)進(jìn)步率g增長。 注意區(qū)分人均產(chǎn)出與人均有效勞動產(chǎn)出。,平衡增長路徑,在索洛模型中，無論從任何一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)濟(jì)向平衡增長路徑收斂，在平衡增長路徑上，每個變量的增長率都是常數(shù)，且是外生決定的。特別是，在該路徑上，人均產(chǎn)出的增長率僅取決于技術(shù)進(jìn)步率。,大道定理,在索洛經(jīng)濟(jì)中，存在惟一的一條穩(wěn)態(tài)增長道路。不論經(jīng)濟(jì)從哪種初始資本水平啟動，經(jīng)濟(jì)總是朝著這

7、條穩(wěn)態(tài)增長道路不斷靠近。一旦在某個時刻登上這條道路，那么從這個時刻開始，經(jīng)濟(jì)中的有效人均資本水平、有效人均產(chǎn)出水平和資本的邊際收益都將永遠(yuǎn)保持不變，總產(chǎn)出、總資本和有效勞動將以同樣的增長率保持穩(wěn)定增長，人均產(chǎn)出將與技術(shù)進(jìn)步（知識）以同樣的增長率保持穩(wěn)定增長。,（三）參數(shù)變化的影響,索洛模型中，主要參數(shù)有： 政策最有可能影響的是儲蓄率,（三）參數(shù)變化的影響,1.儲蓄率增加的影響方向分析（定性）； 2.儲蓄率增加的影響程度分析（定量）； 3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平。,1.儲蓄率增加的影響方向分析,1.儲蓄率增加的影響方向分析,如果兩個國家除了儲蓄率外，其他一切都相同，則儲蓄率高國家的收入水平

8、會永遠(yuǎn)高于儲蓄率低國家，差距為：,1.儲蓄率增加的影響方向分析,1.儲蓄率增加的影響方向分析,1.儲蓄率增加的影響方向分析,1.儲蓄率增加的影響方向分析,1.儲蓄率增加的影響方向分析,儲蓄率的一個永久增加： 導(dǎo)致k在一定時期上升，保持在一個較高水平； 在短期內(nèi)會改變Y、K的增長率，長期無影響； 造成Y/L增長率的暫時性增長； 儲蓄率的變化有水平效應(yīng)（Level Effect），但沒有增長效應(yīng)（Growth Effect） ，在該模型中只有技術(shù)進(jìn)步率有增長效應(yīng)。,1.儲蓄率增加的影響方向分析,對消費(fèi)的影響（c為每單位有效勞動的平均消費(fèi)）,2.儲蓄率增加的影響程度分析,對單位有效勞動平均產(chǎn)量的影響

9、,2.儲蓄率增加的影響程度分析,2.儲蓄率增加的影響程度分析,2.儲蓄率增加的影響程度分析,如何估計(jì) ： 在平衡增長路徑上，資本獲得的總收入（完全競爭市場假設(shè)）： 所以 可以用資本收入占總收入的比重來估計(jì),完全競爭市場假設(shè),案例：儲蓄率增加的影響程度分析,中國1997年勞動報(bào)酬占凈增加值的比重為0.6353，所以： 資本收入/凈增加值=0.3647 所以，人均產(chǎn)量對儲蓄的彈性：,案例：儲蓄率增加的影響程度分析,儲蓄率增加10%（從30%到33%），則單位有效勞動的平均產(chǎn)出增加5.742%； 增加50%，則單位有效勞動的平均產(chǎn)出增加28.71%； 影響幅度并不大,總結(jié)：在長期內(nèi)對產(chǎn)出的影響,穩(wěn)態(tài)

10、時，人均資本和人均產(chǎn)出不變,儲蓄率變化對產(chǎn)出的長期影響,變化得到產(chǎn)出的儲蓄率彈性,產(chǎn)出的資本彈性,產(chǎn)出的資本彈性等于資本收入在總收入中所占的份額。,在多數(shù)國家，支付給資本的收入份額約為1/3。則產(chǎn)出的儲蓄率彈性約為0.5。 因此，儲蓄的顯著變化只會對平衡路徑上的產(chǎn)出產(chǎn)生中度的影響。,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平,儲蓄率越高，人均收入水平會越高 收入的目的畢竟是消費(fèi)，收入本身不是最終目的 從消費(fèi)最大化角度來確定一個最優(yōu)儲蓄率，相對應(yīng)的人均資本，就是資本的黃金規(guī)則水平,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平,在穩(wěn)態(tài)下，消費(fèi)等于：,定性分析,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)

11、則水平,消費(fèi)最大，也即資本黃金規(guī)則的條件： 也即：,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平,儲蓄率提高，消費(fèi)減少（儲蓄率高于黃金規(guī)則水平）,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平,儲蓄率降低，消費(fèi)增加（儲蓄率高于黃金規(guī)則水平）,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平,儲蓄率提高，消費(fèi)增加（儲蓄率低于黃金規(guī)則水平）,3.最優(yōu)儲蓄率資本的黃金規(guī)則水平,儲蓄率降低，消費(fèi)降低（儲蓄率低于黃金規(guī)則水平）,黃金律和動態(tài)無效率,過度儲蓄的經(jīng)濟(jì)被稱為動態(tài)無效率，因?yàn)榻档蛢π盥什粌H提高了穩(wěn)態(tài)消費(fèi)，也提高了轉(zhuǎn)移過程中的消費(fèi)，即原來的人均消費(fèi)路徑在所有時點(diǎn)都位于另一條可行的路徑之下。,k,0,(n+

12、g+)k,f(k),s1f(k),k1*,c1*,sgf(k),kg*,cg*,動態(tài)無效率區(qū)域,（四）收斂問題,收斂速度 絕對收斂與相對收斂,收斂速度的定性分析,結(jié) 論,這表明k離k*越遠(yuǎn)，其增長率（正或負(fù)）越大。,其他變量的收斂速度,可以證明索洛模型中的其他變量X的非均衡動態(tài)增長率與保持比例或線形關(guān)系，例如：,結(jié)論（索洛模型的收斂性）,每個經(jīng)濟(jì)都收斂于其自身的穩(wěn)態(tài)，而且這一收斂的速度與其離穩(wěn)態(tài)的距離成反比，或者說，經(jīng)濟(jì)離其自身的穩(wěn)態(tài)值越遠(yuǎn)，其增長率就越快。,“轉(zhuǎn)型動態(tài)原理”,經(jīng)濟(jì)體低于穩(wěn)態(tài)越多，將會增長越快；經(jīng)濟(jì)體高于穩(wěn)態(tài)越多，將會增長越慢。,絕對收斂與相對收斂,對索洛模型的收斂性的實(shí)證檢驗(yàn)

13、（樣本的同質(zhì)性與異質(zhì)性），產(chǎn)生絕對收斂與相對收斂的概念。 絕對收斂：不同經(jīng)濟(jì)體； 相對收斂：同質(zhì)經(jīng)濟(jì)體。,絕對收斂,不同的經(jīng)濟(jì)體：窮國比富國增長快。 絕對收斂假說。,相對收斂,一個經(jīng)濟(jì)離其自身的穩(wěn)態(tài)值越遠(yuǎn)，增長就越快。 相對收斂假說。,收斂速度：定量分析,收斂速度： k以多快的速度趨近于k*。,2.儲蓄率增加的影響程度分析,2.儲蓄率增加的影響程度分析,x的增長路徑：,2.儲蓄率增加的影響程度分析,為變化的速率： 估計(jì)為1/3； 估計(jì)為6% 所以，速率為4%,2.儲蓄率增加的影響程度分析,k和y每年向平衡結(jié)果移動剩余距離的4% 移動到一半需要18年；移動到3/4需要不到35年； 如果儲蓄率增加

14、10%，1年后產(chǎn)出增加0.2%（總共能增加5%） 收斂速度是比較慢的,收斂速度總結(jié),每單位效率工人資本變化：,圍繞k*的一階泰勒展開式：,上式的解析解意味著k與穩(wěn)態(tài)值k*之間的距離以的速度減少。,在穩(wěn)態(tài)的鄰域內(nèi)，產(chǎn)出和資本具有相同的增長速度。,案例：日本和德國的增長奇跡： 驗(yàn)證了新古典增長理論？,19481972人均產(chǎn)出年增長率： 日本：8.2 德國：5.7 美國：2.2,圖 示,0,y,k2 k1 k,A2,A1,（n1+ ）k,sf（k）,絕對收斂與條件收斂,資本的邊際產(chǎn)出遞減意味著有著更低人均資本的經(jīng)濟(jì)趨于在人均項(xiàng)上更快的增長。 絕對收斂：窮國有著更快的人均增長率，因此窮國趨于追上富國。

15、 條件收斂：一個經(jīng)濟(jì)離其自身的穩(wěn)態(tài)值越遠(yuǎn)，增長越快。 巴羅認(rèn)為索洛模型預(yù)測了條件收斂。,索洛模型總結(jié),Solow-Swan模型：（1）核心方程,Solow-Swan模型： （2）經(jīng)濟(jì)穩(wěn)態(tài)和“黃金律”下的最優(yōu)資本存量,Solow-Swan模型： （3）參數(shù)變化對穩(wěn)態(tài)和黃金律水平的影響,Solow-Swan模型： （4）參數(shù)變化對轉(zhuǎn)移動態(tài)的影響,Solow-Swan模型：（5）條件收斂、收斂速度和時間,Solow-Swan模型：（6）基本結(jié)論,Solow-Swan模型能解釋增長嗎？,Solow-Swan模型的問題： 僅僅是物質(zhì)資本的差異不能解釋各國巨大的收入差距和增長率差異。（Lucas，1990

16、） 物質(zhì)資本投資是否有外部性？物質(zhì)資本投資對經(jīng)濟(jì)增長的作用是否比Solow-Swan模型所描繪的要來得強(qiáng)？ AL 的確切含義是什么？其增長率g由哪些因素決定？Solow-Swan模型假定技術(shù)進(jìn)步率外生，實(shí)際上是就把決定增長的最關(guān)鍵的因素給忽略掉了。 如果儲蓄率決定最終的人均收入水平，那么什么決定儲蓄率？很多其它的因素（如人口增長率）可否內(nèi)生？,Solow-Swan模型能解釋增長嗎？,Solow-Swan模型的成功之處 預(yù)言了條件收斂，而非絕對收斂； Mankiw et al.（1992）認(rèn)為引入人力資本的索洛模型可以很好地解釋各國之間的收入差距。,附錄：邊際產(chǎn)出,由規(guī)模報(bào)酬不變可以得到,資本的

17、邊際產(chǎn)出,有效勞動的邊際產(chǎn)出,勞動的邊際產(chǎn)出,如果市場是完全競爭的，并且不存在外部性，資本獲得其邊際產(chǎn)出。,每單位有效勞動的資本獲得的總產(chǎn)出是kf(k)。,索洛模型的總結(jié)和評論,1主要結(jié)論 （1）無論從任何一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)濟(jì)向平衡增長路徑收斂，在平衡增長路徑上，每個變量的增長率都是常數(shù)。 （2）條件收斂：在其他外生變量相似的條件下，人均資本低的經(jīng)濟(jì)有更快的人均資本的提高，人均收入低的經(jīng)濟(jì)有更高的增長率。 （3）人均產(chǎn)出（Y/L）的增長來源于人均資本存量和技術(shù)進(jìn)步，但只有技術(shù)進(jìn)步才能夠?qū)е氯司a(chǎn)出的永久性增長。 （4）通過調(diào)節(jié)儲蓄率可以實(shí)現(xiàn)人均最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)資本存量的“黃金律”增長。 （5）儲蓄率的變化只會暫時性地影響增長率，而不會永久性地影響；儲蓄率的顯著變化對平衡增長路徑上的產(chǎn)出變化只有較小的影響，且作用緩慢。,對索洛模型的總結(jié)和評論,2批評 （1）未能夠解釋長期經(jīng)濟(jì)增長的真正來源。把技術(shù)進(jìn)步（勞動的有效性）看成為外生給定的，而這恰恰是長期經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)鍵。因此，索洛模型是通過“假定的增長”來解釋增長的。 （2）理論預(yù)測與實(shí)際數(shù)據(jù)不符。如果資本取得的市場收益大致體現(xiàn)了其對產(chǎn)出的貢獻(xiàn)，那么實(shí)物資本積累的變化既不能很好地解釋世界經(jīng)濟(jì)增長，也不能說明國家間的收入差距。,例子,