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章末綜合測評(一)　坐標(biāo)系 (時(shí)間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．將曲線y＝sin 2x按照伸縮變換后得到的曲線方程為(　　) A．y′＝3sin x′ B．y′＝3sin 2x′ C．y′＝3sinx′ D．y′＝sin 2x′ 【解析】　由伸縮變換，得x＝，y＝. 代入y＝sin 2x，有＝sin x′，即y′＝3sin x′. 【答案】　A 2．(2016重慶七校聯(lián)盟)在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為，，則△AOB(其中O為極點(diǎn))的面積為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　如圖所示，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝，所以S△AOB＝34＝3. 【答案】　C 3．已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1，π)，那么過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是(　　) A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ C．ρ＝－ D．ρ＝ 【答案】　C 4．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與B之間的距離為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由A與B，知∠AOB＝， ∴△AOB為等邊三角形，因此|AB|＝2. 【答案】　B 5．極坐標(biāo)方程4ρsin2＝5表示的曲線是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線 【解析】　由4ρsin2＝4ρ＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程為2－2x＝5，化簡得y2＝5x＋， ∴該方程表示拋物線． 【答案】　D 6．直線ρcos θ＋2ρsin θ＝1不經(jīng)過(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】　由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x＋2y＝1， ∴直線x＋2y＝1不過第三象限． 【答案】　C 7．點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(，1，－2)，則它的球坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 【解析】　設(shè)M的球坐標(biāo)為(r，φ，θ)， 則解得 【答案】　A 8．在極坐標(biāo)系中，直線θ＝(ρ∈R)截圓 ρ＝2cos所得弦長是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91060014】 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　化圓的極坐標(biāo)方程ρ＝2cos為直角坐標(biāo)方程得＋＝1，圓心坐標(biāo)為，半徑長為1，化直線θ＝(ρ∈R)的直角坐標(biāo)方程為x－y＝0，由于－＝0，即直線x－y＝0過圓＋＝1的圓心，故直線θ＝(ρ∈R)截圓ρ＝2cos所得弦長為2. 【答案】　B 9．若點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，則P到直線Oy的距離為(　　) A．1 B．2 C. D. 【解析】　由于點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)＝，故點(diǎn)P在平面xOy內(nèi)的射影Q到直線Oy的距離為ρcos ＝，可得P到直線Oy的距離為. 【答案】　D 10．設(shè)正弦曲線C按伸縮變換后得到曲線方程為y′＝sin x′，則正弦曲線C的周期為(　　) A. B．π C．2π D．4π 【解析】　由伸縮變換知3y＝sin x， ∴y＝sin x，∴T＝＝4π. 【答案】　D 11．(2016惠州調(diào)研)已知點(diǎn)A是曲線ρ＝2cos θ上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線ρsin＝4的距離的最小值是(　　) A．1 B. C. D. 【解析】　曲線ρ＝2cos θ即(x－1)2＋y2＝1，表示圓心為(1,0)，半徑等于1的圓，直線ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圓心(1,0)到直線的距離等于＝，所以點(diǎn)A到直線ρsin＝4的距離的最小值是－1＝. 【答案】　C 12．極坐標(biāo)方程ρ＝2sin的圖形是(　　) 【解析】　法一　圓ρ＝2sin是把圓ρ＝2sin θ繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得，圓心的極坐標(biāo)為，故選C. 法二　圓ρ＝2sin的直角坐標(biāo)方程為＋＝1，圓心為，半徑為1，故選C. 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確答案填在題中橫線上) 13．(2016深圳調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)作圓ρ＝4sin θ的切線，則切線的極坐標(biāo)方程為________． 【解析】　圓ρ＝4sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程得x2＋(y－2)2＝4，表示以點(diǎn)(0,2)為圓心，以2為半徑長的圓，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即點(diǎn)(2,2)在圓上，故過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為x＝2，其極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝2. 【答案】　ρcos θ＝2 14．已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，則|CP|＝________. 【解析】　由ρ＝4cos θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圓心C的直角坐標(biāo)為(2,0)．又點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2)，因此|CP|＝2. 【答案】　2 15．在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a＝________. 【解析】　ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)對應(yīng)的普通方程為x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.將代入x2＋y2＝a2得a＝. 【答案】　 16．直線2ρcos θ＝1與圓ρ＝2cos θ相交的弦長為________． 【解析】　直線2ρcos θ＝1可化為2x＝1，即x＝，圓ρ＝2cos θ兩邊同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程是x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1，其圓心為(1,0)，半徑為1， ∴弦長為2 ＝. 【答案】　 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知⊙C：ρ＝cos θ＋sin θ， 直線l：ρ＝.求⊙C上點(diǎn)到直線l距離的最小值． 【解】　⊙C的直角坐標(biāo)方程是x2＋y2－x－y＝0， 即＋＝. 又直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－4＝0. 設(shè)M為⊙C上任意一點(diǎn)，M點(diǎn)到直線l的距離 d＝ ＝， 當(dāng)θ＝時(shí)，dmin＝＝. 18．(本小題滿分12分)已知直線的極坐標(biāo)方程ρsin＝，求極點(diǎn)到直線的距離． 【解】　∵ρsin＝，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1， 即直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1. 又極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)， ∴極點(diǎn)到直線的距離d＝＝. 19．(本小題滿分12分)(1)在極坐標(biāo)系中，求以點(diǎn)(1,1)為圓心，半徑為1的圓C的方程； (2)將上述圓C繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圓D，求圓D的方程． 【解】　(1)設(shè)M(ρ，θ)為圓上任意一點(diǎn)，如圖，圓C過極點(diǎn)O，∠COM＝θ－1， 作CK⊥OM于K，則ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)， ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(θ－1)． (2)將圓C：ρ＝2cos(θ－1)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到圓D：ρ＝2cos， 即ρ＝－2sin(1－θ)． 20．(本小題滿分12分)如圖1，正方體OABCD′A′B′C′中，|OA|＝3，A′C′與B′D′相交于點(diǎn)P，分別寫出點(diǎn)C、B′、P的柱坐標(biāo)． 圖1 【解】　設(shè)點(diǎn)C的柱坐標(biāo)為(ρ1，θ1，z1)， 則ρ1＝|OC|＝3，θ1＝∠COA＝，z1＝0， ∴C的柱坐標(biāo)為； 設(shè)點(diǎn)B′的柱坐標(biāo)為(ρ2，θ2，z2)，則ρ2＝|OB|＝＝＝3， θ2＝∠BOA＝，z2＝3， ∴B′的柱坐標(biāo)為； 如圖，取OB的中點(diǎn)E，連接PE， 設(shè)點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(ρ3，θ3，z3)，則ρ3＝|OE|＝|OB|＝，θ3＝∠AOE＝，z3＝3， 點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為. 21．(本小題滿分12分)已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－1，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos，判斷兩曲線的位置關(guān)系． 【解】　將曲線C1，C2化為直角坐標(biāo)方程得： C1：x＋y＋2＝0， C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2， 圓心到直線的距離d＝＝＞， ∴曲線C1與C2相離． 22．(本小題滿分12分)在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為O，已知曲線C1：ρ＝2與曲線C2：ρsin＝交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求|AB|的值； (2)求過點(diǎn)C(1,0)且與直線AB平行的直線l的極坐標(biāo)方程． 【解】　(1)∵ρ＝2，∴x2＋y2＝4. 又∵ρsin＝，∴y＝x＋2， ∴|AB|＝2＝2＝2. (2)∵曲線C2的斜率為1，∴過點(diǎn)(1,0)且與曲線C2平行的直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x－1， ∴直線l的極坐標(biāo)為ρsin θ＝ρcos θ－1， 即ρcos＝.