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章末綜合測評(一)　統(tǒng)計案例 (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．在下列各量與量的關(guān)系中是相關(guān)關(guān)系的為(　　) ①正方體的體積與棱長之間的關(guān)系；②一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；④家庭的支出與收入之間的關(guān)系；⑤某戶家庭用電量與電費之間的關(guān)系． A．①②③　 B．③④ C．④⑤ D．②③④ 【解析】　①⑤是一種確定性關(guān)系，屬于函數(shù)關(guān)系．②③④正確． 【答案】　D 2．(2016哈爾濱高二檢測)散點圖在回歸分析過程中的作用是(　　) A．查找個體個數(shù) B．比較個體數(shù)據(jù)大小關(guān)系 C．探究個體分類 D．粗略判斷變量是否線性相關(guān) 【解析】　由散點圖可以粗略地判斷兩個變量是否線性相關(guān)，故選D. 【答案】　D 3．身高與體重有關(guān)系可以用________來分析．(　　) A．殘差 B．回歸分析 C．等高條形圖 D．獨立性檢驗 【解析】　因為身高與體重是兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量，所以要用回歸分析來解決． 【答案】　B 4．一位母親記錄了她兒子3歲到9歲的身高，建立了她兒子身高與年齡的回歸模型＝73.93＋7.19x，她用這個模型預(yù)測兒子10歲時的身高，則下面的敘述正確的是(　　) A．她兒子10歲時的身高一定是145.83 cm B．她兒子10歲時的身高一定是145.83 cm以上 C．她兒子10歲時的身高在145.83 cm左右 D．她兒子10歲時的身高一定是145.83 cm以下 【解析】　由回歸模型得到的預(yù)測值是可能取值的平均值，而不是精確值，故選C. 【答案】　C 5．下列關(guān)于等高條形圖的敘述正確的是(　　) A．從等高條形圖中可以精確地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系 B．從等高條形圖中可以看出兩個變量頻數(shù)的相對大小 C．從等高條形圖可以粗略地看出兩個分類變量是否有關(guān)系 D．以上說法都不對 【解析】　在等高條形圖中僅能粗略地判斷兩個分類變量的關(guān)系，故A錯．在等高條形圖中僅能夠找出頻率，無法找出頻數(shù)，故B錯． 【答案】　C 6．(2016咸陽高二檢測)已知一個線性回歸方程為＝1.5x＋45，其中x的取值依次為1,7,5,13,19，則＝(　　) A．58.5 B．46.5 C．60 D．75 【解析】　∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回歸直線過樣本點的中心(，)， ∴＝1.59＋45＝58.5. 【答案】　A 7．若兩個變量的殘差平方和是325，(yi－i)2＝923，則隨機(jī)誤差對預(yù)報變量的貢獻(xiàn)率約為(　　) A．64.8% B．60% C．35.2% D．40% 【解析】　相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻(xiàn)率，故隨機(jī)誤差對預(yù)報變量的貢獻(xiàn)率為100%＝100%≈35.2%，故選C. 【答案】　C 8．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)并整理、分析，得到“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%的把握認(rèn)為這個結(jié)論成立．下列說法正確的個數(shù)是(　　) ①在100個吸煙者中至少有99個人患肺癌；②如果一個人吸煙，那么這個人有99%的概率患肺癌；③在100個吸煙者中一定有患肺癌的人；④在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有. 【導(dǎo)學(xué)號：19220008】 A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】　有99%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，指的是“吸煙與患肺癌有關(guān)”這個結(jié)論成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100個吸煙者中至少有99個人患肺癌，也不能說如果一個人吸煙，那么這個人就有99%的概率患肺癌；更不能說在100個吸煙者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100個吸煙者中，一個患肺癌的人也沒有．故正確的說法僅有④，選D. 【答案】　D 9．下面是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖1中可以看出(　　) 圖1 A．性別與喜歡理科無關(guān) B．女生中喜歡理科的百分比為80% C．男生比女生喜歡理科的可能性大些 D．男生不喜歡理科的百分比為60% 【解析】　從題圖中可以分析，男生喜歡理科的可能性比女生大一些． 【答案】　C 10．兩個分類變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若判斷變量X和Y有關(guān)出錯概率不超過2.5%，則c等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】　列22列聯(lián)表如下： x1 x2 總計 y1 a b 31 y2 c d 35 總計 10＋c 21＋d 66 故K2的觀測值k＝≥5.024. 將選項A、B、C、D代入驗證可知選A. 【答案】　A 11．在兩個學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相當(dāng)?shù)陌嗉墝嵭心撤N教學(xué)措施的試驗，測試結(jié)果見下表，則試驗效果與教學(xué)措施(　　) 優(yōu)、良、中 差 總計 實驗班 48 2 50 對比班 38 12 50 總計 86 14 100 A.有關(guān) B．無關(guān) C．關(guān)系不明確 D．以上都不正確 【解析】　隨機(jī)變量K2的觀測值為 k＝≈8.306>7.879，則認(rèn)為“試驗效果與教學(xué)措施有關(guān)”的概率為0.995. 【答案】　A 12．為預(yù)測某種產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8組觀測值．計算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，則y對x的回歸方程是(　　) A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x 【解析】　由已知數(shù)據(jù)計算可得＝2.62，＝11.47，所以回歸方程是＝11.47＋2.62x，故選A. 【答案】　A 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．) 13．若一組觀測值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒為0，則R2的值為________． 【解析】　由ei恒為0，知yi＝i，即yi－i＝0，故R2＝1－＝1－0＝1. 【答案】　1 14．已知方程＝0.85x－82.71是根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報體重的回歸方程，其中x的單位是cm，y的單位是kg，那么針對某個體(160,53)的隨機(jī)誤差是________． 【解析】　因為回歸方程為＝0.85x－82.71，所以當(dāng)x＝160時，＝0.85160－82.71＝53.29，所以針對某個體(160,53)的隨機(jī)誤差是53－53.29＝－0.29. 【答案】?。?.29 15．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下22列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到k＝≈4.844，則認(rèn)為“選修文科與性別有關(guān)系”出錯的可能性為________． 【解析】　k≈4.844>3.841，故判斷出錯的概率為0.05. 【答案】　0.05 16．若對于變量y與x的10組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R2＝0.95，又知殘差平方和為120.53，那么(yi－)2的值為________． 【解析】　∵R2＝1－， 殘差平方和(yi－i)2＝120.53， ∴0.95＝1－， ∴(yi－)2＝2 410.6. 【答案】　2 410.6 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．) 17．(本小題滿分10分)假設(shè)某農(nóng)作物基本苗數(shù)x與有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 請畫出散點圖，并用散點圖粗略地判斷x，y是否線性相關(guān)． 【解】　散點圖如圖所示． 從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線附近，所以x，y線性相關(guān)． 18．(本小題滿分12分)吃零食是中學(xué)生中普遍存在的現(xiàn)象，吃零食對學(xué)生身體發(fā)育有諸多不利影響，影響學(xué)生的健康成長．下表是性別與吃零食的列聯(lián)表： 男 女 總計 喜歡吃零食 5 12 17 不喜歡吃零食 40 28 68 總計 45 40 85 請問喜歡吃零食與性別是否有關(guān)？ 【解】　k＝， 把相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式，得 k＝≈4.722>3.841. 因此，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為“喜歡吃零食與性別有關(guān)”． 19．(本小題滿分12分)(2016曲阜師大附中高二檢測)為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 m 75 68 根據(jù)最小二乘法建立的回歸直線方程為＝－20x＋250. (1)試求表格中m的值； (2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從建立的回歸方程，且該產(chǎn)品的成本是5元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本) 【導(dǎo)學(xué)號：19220009】 【解】　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， 所以＝－208.5＋250＝80， 故(90＋84＋83＋m＋75＋68)＝80， 解得m＝80. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得 L＝(x－5)(－20x＋250) ＝－20(x>0)， 所以x＝8.75時，L取得最大值． 故當(dāng)單價定為8.75元/件時，工廠可獲得最大利潤． 20．(本小題滿分12分)如圖2是對用藥與不用藥，感冒已好與未好進(jìn)行統(tǒng)計的等高條形圖．若此次統(tǒng)計中，用藥的患者是70人，不用藥的患者是40人，試問：能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“感冒已好與用藥有關(guān)”？ 圖2 【解】　根據(jù)題中的等高條形圖，可得在用藥的患者中感冒已好的人數(shù)為70＝56，在不用藥的患者中感冒已好的人數(shù)為40＝12. 22列聯(lián)表如下： 感冒已好 感冒未好 總計 用藥 56 14 70 不用藥 12 28 40 總計 68 42 110 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到 k＝≈26.96>10.828. 因此，能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為感冒已好與用藥有關(guān)系． 21．(本小題滿分12分)(2016湛江高二檢測)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件個數(shù)x(個) 2 3 4 5 加工時間y(小時) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖； 圖3 (2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線； (3)試預(yù)測加工10個零件需要多少時間？ 參考公式：回歸直線＝x＋，其中＝＝，＝－. 【解】　(1)散點圖如圖： (2)由表格計算得iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54，所以＝0.7，＝1.05，所以＝0.7x＋1.05，回歸直線如上圖； (3)將x＝10代入回歸直線方程得＝0.710＋1.05＝8.05(小時)， 所以預(yù)測加工10個零件需要8.05小時． 22．(本小題滿分12分)為了研究某種細(xì)菌隨時間x變化時，繁殖個數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下： 天數(shù)x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖個數(shù)y/個 6 12 25 49 95 190 (1)用天數(shù)x作解釋變量，繁殖個數(shù)y作預(yù)報變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點圖； (2)描述解釋變量x與預(yù)報變量y之間的關(guān)系； (3)計算相關(guān)指數(shù)． 【解】　(1)所作散點圖如圖所示． (2)由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)型函數(shù)y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝ln y，則 x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由計算得：＝0.69x＋1.115，則有＝e0.69x＋1.115. (3) 6.08 12.12 24.17 48.18 96.06 191.52 y 6 12 25 49 95 190 ＝(yi－i)2＝4.816 1，(yi－)2＝24 642.8， R2＝1－≈0.999 8， 即解釋變量“天數(shù)”對預(yù)報變量“繁殖細(xì)菌個數(shù)”解釋了99.98%.