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2016-2017學年高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)高效測評 新人教A版選修2-2 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．函數(shù)y＝1＋3x－x3有(　　) A．極小值－1，極大值1　　 B．極小值－2，極大值3 C．極小值－2，極大值2 D．極小值－1，極大值3 解析：　y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝1， 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減 所以當x＝－1時取得極小值－1，當x＝1時取得極大值3. 答案：　D 2．函數(shù)f(x)的定義域為R，導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(　　) A．無極大值點，有四個極小值點 B．有三個極大值點，兩個極小值點 C．有兩個極大值點，兩個極小值點 D．有四個極大值點，無極小值點 解析：　由導數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系知，當f′(x0)＝0時，在x0的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則f(x)在x＝x0處取得極大值；若在x0的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則f(x)在x＝x0處取得極小值，設(shè)y＝f′(x)圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值． 答案：　C 3．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是(　　) 解析：　方法一：由y＝f′(x)的圖象可以清晰地看出，當x∈(0,2)時，f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)，只有C項符號，故選C. 方法二：在導函數(shù)f′(x)的圖象中，零點0的左側(cè)函數(shù)值為正，右側(cè)為負，由此可知原函數(shù)f(x)在x＝0時取得極大值．又零點2的左側(cè)為負，右側(cè)為正，由此可知原函數(shù)f(x)在x＝2時取得極小值，只有選項C符合，故選C. 答案：　C 4．函數(shù)f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1時有極值10，則a，b的值為(　　) A．a(chǎn)＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11 B．a(chǎn)＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11 C．a(chǎn)＝－4，b＝11 D．以上都不對 解析：　f′(x)＝3x2－2ax－b，f′(1)＝0即2a＋b＝3?、?， f(1)＝a2－a－b＋1＝10，即a2－a－b＝9　②， 解由①②組成的方程組，得a＝－4，b＝11(有極值)或a＝3，b＝－3(舍去，無極值)． 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值，則a＝________. 解析：　f′(x)＝ ＝ 由題意知f′(1)＝0， ∴＝0，解得a＝3. 經(jīng)驗證，a＝3時，f(x)在x＝1取得極值． 答案：　3 6．若函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：　函數(shù)f(x)為三次函數(shù)，其導函數(shù)f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)為二次函數(shù)，要使函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，需f′(x)＝0有兩個不等的實數(shù)根，所以Δ＝(6a)2－433(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2. 答案：　a＜－1或a＞2 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．設(shè)f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解析：　(1)因f(x)＝aln x＋＋x＋1. 故f′(x)＝－＋. 由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0， 解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)， f′(x)＝－－＋＝ ＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1， x2＝－. 當x∈(0,1)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3. 8．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2，當x＝1時，函數(shù)有極大值3. (1)求a，b的值； (2)求函數(shù)的極小值． 解析：　(1)∵當x＝1時，函數(shù)有極大值3.f′(x)＝3ax2＋2bx ∴ ∴ 解之得a＝－6，b＝9.經(jīng)驗證a＝－6，b＝9符合題意． ∴a＝－6，b＝9. (2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)． 當f′(x)＝0時，x＝0或x＝1. 當f′(x)>0時，01. ∴函數(shù)f(x)＝－6x3＋9x2的極小值為f(0)＝0.  ☆☆☆ 9．(10分)已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍． 解析：　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)． 當a<0時，對x∈R，有f′(x)>0， ∴當a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)； 當a>0時，由f′(x)>0解得x<－，或x>， 由f′(x)<0解得－0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)． (2)∵f(x)在x＝－1處取得極值， f′(－1)＝3(－1)2－3a＝0.∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1， 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值 f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3. ∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點， 結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知m的取值范圍是(－3,1)．