《高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 1_5_2 估計(jì)總體的數(shù)字特征同步訓(xùn)練 北師大版必修31》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 1_5_2 估計(jì)總體的數(shù)字特征同步訓(xùn)練 北師大版必修31（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

5.2　估計(jì)總體的數(shù)字特征 1．可以描述總體穩(wěn)定性的統(tǒng)計(jì)量是(　　) A．樣本平均數(shù)　　　　　B．樣本中位數(shù) C．樣本方差s2 D．樣本最大值 2．下列數(shù)字特征一定是數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù)的是…(　　) A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．標(biāo)準(zhǔn)差 D．平均數(shù) 3．在統(tǒng)計(jì)中，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差可以近似地反映(　　) A．平均狀態(tài) B．波動大小 C．分布規(guī)律 D．最大值和最小值 4．某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班，其中甲班40人，乙班50人，現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是分． 5．已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是______、______. 答案：1.C 2．A　根據(jù)各數(shù)字特征的意義可知唯有眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)． 3．B　由定義知，數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的波動大?。? 4．85　由題意知，所求平均成績?yōu)椋? ＝85(分)． 5．10.5　10.5　∵總體的個體數(shù)是10，且中位數(shù)是10.5，∴＝10.5，即a＋b＝21，∴總體的平均數(shù)為10.要使總體的方差最小，只要(a－10)2＋(b－10)2最小，即(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221＝2(a－)2＋，∴當(dāng)a＝＝10.5時，上式取最小值，此時b＝21－a＝10.5. 1．與總體單位不一致的是(　　) A．s2　　 　　B．s C.　 　　　D．x1 2．下列敘述不正確的是(　　) A．樣本均值可以近似地描述總體的平均水平 B．極差描述了一個樣本數(shù)據(jù)變化的幅度 C．樣本標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組樣本數(shù)據(jù)圍繞樣本均值波動的大小 D．一個班級的數(shù)學(xué)成績的方差越大說明成績越穩(wěn)定 3．(2009四川高考，文5)設(shè)矩形的長為a，寬為b，其比滿足b∶a＝≈0.618，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中，下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本： 甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639 乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620 根據(jù)上述兩個樣本來估計(jì)兩個批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確的結(jié)論是…(　　) A．甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 B．乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 C．兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同 D．兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定 4．一組觀察值為4、3、5、6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3、2、4、2，則樣本均值為(　　) A．4.55 　 　B．4.5 　 　C．12.5 　 　D．1.64 5．從某項(xiàng)綜合能力測試中抽取100人的成績統(tǒng)計(jì)如下表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　) 分?jǐn)?shù) 5 4 3 2 1 人數(shù) 20 10 30 30 10 A. B. C．3 D. 6．在一次數(shù)據(jù)測量中，計(jì)算出18個數(shù)據(jù)的樣本均值為50，但是后來發(fā)現(xiàn)其中一個數(shù)據(jù)應(yīng)是86，被誤記為68，那么這18個數(shù)據(jù)的正確的樣本均值應(yīng)該是． 7．從一批棉花中抽取9根棉花的纖維，長度如下：(單位：mm) 82,202,352,321,25,293,86,206,115. 求樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差． 8．甲、乙兩臺機(jī)床同時加工直徑100毫米的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各隨機(jī)抽出6件進(jìn)行測量，測得數(shù)據(jù)如下(單位：毫米)： 甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100. (1)分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差； (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，說明哪一臺機(jī)床加工的這種零件更符合要求． 答案：1．A　方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，所以與總體單位不一致． 2．D　方差越大，說明成績越不穩(wěn)定，所以D項(xiàng)錯． 3．A　∵甲＝(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617， 乙＝(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613， ∴甲更接近0.618.∴選A. 4．A?。剑健?.55. 5．B　這100人成績的平均數(shù)為 ＝＝3， 方差為[(5－3)220＋(4－3)210＋(3－3)230＋(2－3)230＋(1－3)210]＝， ∴標(biāo)準(zhǔn)差為＝. 6．51　根據(jù)條件易知，實(shí)際18個數(shù)據(jù)的總和應(yīng)該是：5018＋(86－68)＝918，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法可得這組數(shù)據(jù)實(shí)際的均值應(yīng)該是＝51. 7．解：樣本均值＝(82＋202＋352＋321＋25＋293＋86＋206＋115)≈186.9(mm)． 樣本方差s2≈[(82－186.9)2＋(202－186.9)2＋…＋(115－186.9)2]≈12 184.1(mm2)． 樣本標(biāo)準(zhǔn)差s＝≈110.4(mm)． 8．解：(1)甲＝100＋(－1＋0－2＋0＋0＋3)＝100；乙＝100＋(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100. s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)22＋(103－100)2] ＝[(－1)2＋02＋(－2)2＋02＋02＋32]＝， s＝[(99－100)2＋(100－100)23＋(102－100)2＋(99－100)2] ＝[(－1)2＋02＋22＋(－1)2＋02＋02]＝1. ∴s甲＝，s乙＝1，即這兩組數(shù)據(jù)的平均值都是100，標(biāo)準(zhǔn)差分別為與1. (2)由(1)知，甲＝乙，s甲＞s乙，∴乙機(jī)床加工的這種零件更符合要求． 1．為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高1.60 m；從南方抽取了200個男孩，平均身高1.50 m，由此可推斷我國13歲男孩的平均身高為(　　) A．1.54 m B．1.55 m C．1.56 m D．1.57 m 答案：C?。剑?.56. 2.兩個樣本，甲：5,4,3,2,1；乙：4,0,2,1，－2.那么樣本甲和樣本乙的波動大小情況是(　　) A．甲、乙的波動大小一樣 B．甲的波動比乙的波動大 C．乙的波動比甲的波動大 D．甲、乙的波動大小無法比較 答案：C　平均數(shù)：甲＝(5＋4＋3＋2＋1)＝3，乙＝(4＋0＋2＋1－2)＝1； 方差為s＝[(5－3)2＋(4－3)2＋…＋(1－3)2]＝2，∴s甲＝. s＝[(4－1)2＋(0－1)2＋…＋(－2－1)2]＝4，∴s乙＝2.∴s甲＜s乙．∴乙的波動比甲大． 3．從總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)有m個a，n個b，p個c，則總體的平均數(shù)μ的估計(jì)值為(　　) A. B. C. D. 答案：D　樣本均值＝，把它作為總體均值的估計(jì) 4．(易錯題)設(shè)有n個樣本數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn，其標(biāo)準(zhǔn)差為sx，另有n個樣本數(shù)據(jù)y1、y2、…、yn，且yk＝3xk＋5(k＝1,2，…，n)，其中標(biāo)準(zhǔn)差為sy，則下列關(guān)系正確的是(　　) A．sy＝3sx＋5 B．sy＝3sx C．sy＝sx D．sy＝sx＋5 答案：B　設(shè)x1、x2、…、xn的平均數(shù)為，y1、y2、y3、…、yn的平均數(shù)為，則＝＝ ＝＝3＋5， ∴s＝[(3x1＋5－3－5)2＋(3x2＋5－3－5)2＋…＋(3xn＋5－3－5)2]n ＝ ＝9s. ∴sy＝3sx. 點(diǎn)評：對于求樣本均值與樣本標(biāo)準(zhǔn)差的問題，若給出具體數(shù)值，可直接應(yīng)用公式代入數(shù)據(jù)運(yùn)算，或用計(jì)算器計(jì)算，還較容易些．若用字母符號代替數(shù)值，去推導(dǎo)某結(jié)論，則顯得繁瑣且難度較大，易出錯．本題條件中所給字母較多，要弄清兩組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系，必須正確運(yùn)用條件及公式進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算，推出結(jié)論．本題很容易由條件yk＝3xk＋5(k＝1,2,3，…，n)而誤選A項(xiàng)，這是常見錯誤，應(yīng)引以為戒． 5．一個樣本方差是s2＝[(x1－15)2＋(x2－15)2＋…＋(x10－15)2]，則這個樣本均值＝______，樣本容量是______． 答案：15　10　由方差公式知，樣本容量n＝10，均值 ＝15. 6．在一次京劇電視比賽中，11個評委給現(xiàn)場每一個演員評分，并將11個評委的評分的平均數(shù)作為該演員的實(shí)際得分．對于某個演員的表演，4個評委給他評10分，7個評委給他評9分，那么這個演員的實(shí)際得分是______．(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位) 答案：9.36　實(shí)際得分為＝≈9.36. 7．若a1，a2，…，a20這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為0.20，則a1，a2，…，a20，這21個數(shù)據(jù)的方差約為______． 答案：0.19　由題意得：[(a1－)2＋(a2－)2＋…＋(a20－)2]＝0.20， ∴(a1－)2＋(a2－)2＋…＋(a20－)2＝4，且a1＋a2＋…＋a20＝20， ∴＝＝，即a1，a2，…，a20，這21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)也是. ∴這21個數(shù)據(jù)的方差是s2＝[4＋(－)2]＝≈0.19. 8．(2009海南、寧夏高考，文19)某工廠有工人1 000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人)．現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類，B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))． (1)A類工人中和B類工人中各抽查多少工人？ (2)從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如表1和表2所示． 表1： 生產(chǎn)能 力分組 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150) 人數(shù) 4 8 x 5 3 表2： 生產(chǎn)能 力分組 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人數(shù) 6 y 36 18 ①先確定x，y，再完成下列頻率分布直方圖．就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更??？(不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論) 圖1　A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖 圖2　B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖 ②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)． 解：(1)A類工人中和B類工人中分別抽查25名和75名． (2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5， 6＋y＋36＋18＝75，得y＝15. 頻率分布直方圖如下 圖1　A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖 圖2　B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖 從直方圖可以判斷：B類工人中個體間的差異程度更?。? ②A＝105＋115＋125＋135＋145＝123， B＝115＋125＋135＋145＝133.8， ＝123＋133.8＝131.1， A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123,133.8和131.1.