高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 1_5_2 估計(jì)總體的數(shù)字特征教案 北師大版必修31
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5．2 估計(jì)總體的數(shù)字特征 教學(xué)分析 教科書通過現(xiàn)實(shí)生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征．通過對(duì)如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索，使學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造性思維的過程． 三維目標(biāo) 1．正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋；會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)． 2．在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，能夠辯證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系． 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋，估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會(huì)樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性． 教學(xué)難點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題． 課時(shí)安排 1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是，有時(shí)平均數(shù)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷．如某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示，該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176 cm，給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長發(fā)育好，身高較高．但是，假如這個(gè)平均數(shù)是從50萬名中學(xué)生中抽出的50名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來的話，那么，這個(gè)平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì)．因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)，于是我們學(xué)習(xí)從另外的角度來考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量——標(biāo)準(zhǔn)差．(教師板書課題) 思路2.在一次射擊選拔比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下： 甲運(yùn)動(dòng)員：7,8,6,8,6,5,9,10,7,4； 乙運(yùn)動(dòng)員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 我們不難求得，甲＝7，乙＝7，兩個(gè)人射擊的平均成績是一樣的，那么，是否兩個(gè)人就沒有水平差距呢？ 圖1 從圖1直觀上看，還是有差異的．很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對(duì)集中，因此這節(jié)課我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)，引入課題：標(biāo)準(zhǔn)差． 推進(jìn)新課 1．如何通過頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征(中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù))? 2．有甲、乙兩種鋼筋，現(xiàn)從中各抽取一個(gè)樣本(如下表)檢查它們的抗拉強(qiáng)度(單位：kg/mm2)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125. 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好？ 3．某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種，對(duì)甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對(duì)比實(shí)驗(yàn)，年畝產(chǎn)量分別如下(單位：千克)： 甲： 600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)； 乙： 800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)． 請(qǐng)你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，說明選擇哪種品種推廣更好？ 4．全面建設(shè)小康社會(huì)是我們黨和政府的工作重心，某市按當(dāng)?shù)匚飪r(jià)水平計(jì)算，人均年收入達(dá)到1.5萬元的家庭即達(dá)到小康生活水平．民政局對(duì)該市100戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，它們的人均收入達(dá)到了1.6萬元，民政局即宣布該市市民生活水平已達(dá)到小康水平，你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實(shí)際？ 5．如何考查樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小呢？把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來，是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度？ 討論結(jié)果： 1．利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)： 估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字(最高矩形的中點(diǎn))． 估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等． 估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． 2. 圖2 由圖2可以看出，乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135，這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定． 我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差(range)．由上圖可以看出，乙的極差較大，數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散；甲的極差較小，數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中，這說明甲比乙穩(wěn)定．運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，操作簡單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，就不容易得出結(jié)論了． 3．選擇的依據(jù)應(yīng)該是，產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種，所以選擇乙更為合理． 4．不符合實(shí)際． 原因是樣本太小，沒有代表性．在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析，需要結(jié)合實(shí)際，側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征．比如，市民平均收入問題，都是考察數(shù)據(jù)的離散程度． 5．把問題3中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來．我們可以很直觀地知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近，即乙的離散程度小， 如何用數(shù)字去刻畫這種離散程度呢？ 考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差． 標(biāo)準(zhǔn)差： 標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示． 所謂“平均距離”，其含義可作如下理解： 假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．xi到的距離是 |xi－|(i＝1,2，…，n)． 于是，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn到的“平均距離”是 s＝. 由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差： s＝. 意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來表示數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，也就越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，也就越穩(wěn)定．從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差s≥0，當(dāng)s＝0時(shí)，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)． 標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋．例如， 在關(guān)于居民月均用水量的例子中，平均數(shù)＝1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s＝0.868，所以 ＋s＝2.841，＋2s＝3.709； －s＝1.105，－2s＝0.237. 這100個(gè)數(shù)據(jù)中，在區(qū)間[－2s，＋2s]＝[0.237,3.709]外的只有4個(gè)，也就是說，[－2s，＋2s]幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù)． 從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具，其中s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差． 需要指出的是，現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的．如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢？通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的．只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的. 兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用比較廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差． 思路1 1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明它們的異同點(diǎn)． (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差． 解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如圖3： 圖3 四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0，標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83. 它們有相同的平均數(shù)，但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說明數(shù)據(jù)的離散程度是不一樣的． 例2 甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm的一種零件．為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm)： 甲 25．46 25.32 25.45 25.39 25.36 25．34 25.42 25.45 25.38 25.42 25．39 25.43 25.39 25.40 25.44 25．40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙 25．40 25.43 25.44 25.48 25.48 25．47 25.49 25.49 25.36 25.34 25．33 25.43 25.43 25.32 25.47 25．31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高？ 分析：每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體．由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40 mm)，生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來衡量．總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40 mm的差異大時(shí)質(zhì)量低，差異小時(shí)質(zhì)量高；當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí)，總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高，標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低．這樣，比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可．但是，這兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個(gè)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，以此作為兩個(gè)總體之間差異的估計(jì)值． 解：用計(jì)算器計(jì)算可得甲≈25.401，乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0.068. 從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40 mm)，但是差異很小；從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看，由于s甲下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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