《高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計 5_2 估計總體的數(shù)字特征學(xué)案 北師大版必修31》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計 5_2 估計總體的數(shù)字特征學(xué)案 北師大版必修31（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

5.2　估計總體的數(shù)字特征 1．能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋． 2．會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會數(shù)字特征的隨機性． 1．樣本均值和樣本標準差 假設(shè)通過隨機抽樣得到的樣本為x1，x2，…，xn，則 樣本平均數(shù)為＝__________________， 樣本標準差為 s＝________________________. 2．估計總體的數(shù)字特征 利用隨機抽樣得到樣本，從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、平均數(shù)和標準差(通常稱之為樣本分布、樣本平均數(shù)和樣本標準差)并不是總體真正的分布、平均數(shù)和標準差，而只是總體的一個________，但這個估計是合理的，特別是當(dāng)樣本容量________時，它們確實反映了總體的信息． 【做一做】甲、乙兩人學(xué)習(xí)成績的莖葉圖如圖所示． (1)分別求出這兩名同學(xué)學(xué)習(xí)成績的平均數(shù)和標準差； (2)比較這兩名同學(xué)的成績，談?wù)勀愕目捶ǎ? 方差和標準差有什么區(qū)別？ 剖析：方差和標準差的計算公式是： 一般地，設(shè)樣本為x1，x2，…，xn，樣本的平均數(shù)為，則 樣本方差s2＝. 樣本標準差s＝. 由計算公式來看樣本方差是樣本標準差的平方，即樣本標準差是樣本方差的平方根，這是它們的最本質(zhì)區(qū)別，它們表達的意義和作用完全相同．但是由于標準差的單位與原始數(shù)據(jù)測量單位相同，在統(tǒng)計中，通常用標準差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度． 題型一 利用方差分析數(shù)據(jù) 【例題1】甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)： 品種 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 根據(jù)這組數(shù)據(jù)判斷應(yīng)該選擇哪一種小麥進行推廣． 分析：從平均數(shù)和方差兩個角度去考慮． 反思：平均數(shù)和方差是樣本的兩個重要的數(shù)字特征，方差越大，表明數(shù)據(jù)越分散，相反地，方差越小，數(shù)據(jù)越集中穩(wěn)定；平均數(shù)越大，表明數(shù)據(jù)的平均水平越高；平均數(shù)越小，表明數(shù)據(jù)的平均水平越低． 題型二 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 【例題2】甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100 mm的零件，為了檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，從產(chǎn)品中各隨機抽取6件進行測量，測得數(shù)據(jù)如下(單位：mm)： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分別計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，說明哪一臺機床加工的這種零件更符合要求． 分析：利用平均數(shù)與方差公式分別進行計算，并作出判斷． 反思：平均數(shù)描述了數(shù)據(jù)的平均水平，定量地反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢所處的水平．方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。? 1在統(tǒng)計中，樣本的標準差可以近似地反映總體的(　　)． A．平均狀態(tài) B．分布規(guī)律 C．波動大小 D．最大值和最小值 2用分層抽樣抽取了容量為10的樣本，其平均數(shù)為5.1，方差為0.2，則總體的平均數(shù)與方差分別估計是(　　)． A．5.1,0.2 B．0.2,0.2 C．5.1,2 D．都不能估計 3已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為－3,0,5，x,9,16，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為(　　)． A．0 B．9 C．16 D．9.5 4已知一個樣本為1,3,2,5，x，它的平均數(shù)是3，則這個樣本的標準差是________． 5下面是某校學(xué)生日睡眠時間的抽樣頻率分布表(單位：h)： 日睡眠時間/h 人數(shù) 頻率 [6,6.5) [6.5,7) [7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9) 5 17 33 37 6 2 0.05 0．17 0．33 0．37 0．06 0．02 合計 100 1 試估計該校學(xué)生的日平均睡眠時間． 答案： 基礎(chǔ)知識梳理 1．　 2．估計　很大 【做一做】分析：首先由莖葉圖讀出數(shù)據(jù)，計算平均數(shù)，注意用簡便方法，然后求出標準差，最后依據(jù)結(jié)果比較，可以借助于計算器． 解：(1)甲≈87，s甲≈12.7；乙≈93，s乙≈11.2. (2)由于甲＜乙，s甲＞s乙， 所以甲的學(xué)習(xí)成績沒有乙的學(xué)習(xí)成績好，也沒有乙的學(xué)習(xí)成績穩(wěn)定． 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】解：甲種冬小麥的平均單位面積產(chǎn)量 甲＝＝10， 乙種冬小麥的平均單位面積產(chǎn)量 乙＝＝10， 則甲、乙兩種冬小麥平均單位面積產(chǎn)量相同． 甲種冬小麥平均單位面積產(chǎn)量的方差為 s甲2＝[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02， 乙種冬小麥平均單位面積產(chǎn)量的方差為 s乙2＝[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244， 則s甲2＝0.02＜s乙2＝0.244， 所以甲種小麥的平均單位面積產(chǎn)量比較穩(wěn)定． 因此選擇甲種小麥進行推廣． 【例題2】解：(1)甲＝＝100， 乙＝＝100， s甲2＝[(99－100)2＋(100－100)23＋(98－100)2＋(103－100)2]＝， s乙2＝[(99－100)22＋(100－100)23＋(102－100)2]＝1. (2)因為s甲2＞s乙2，說明甲機床加工的這種零件波動比較大，因此乙機床加工的這種零件更符合要求． 隨堂練習(xí)鞏固 1．C　2．A 3．B　由中位數(shù)定義得，＝7，∴x＝9.∴眾數(shù)為9，故選B. 4．?。?，從而x＝4，∴標準差為. 5．分析：利用這個樣本來估計該校學(xué)生的日平均睡眠時間．要確定這100名學(xué)生的日平均睡眠時間，就必須計算總睡眠時間，由于每組中的個體睡眠時間只是一個范圍，可以用各組區(qū)間的組中值近似地表示． 解法一：總睡眠時間約為 6.255＋6.7517＋7.2533＋7.7537＋8.256＋8.752＝739(h)． 故平均睡眠時間約為＝7.39(h)． 解法二：求組中值與對應(yīng)頻率之積的和： 6.250.05＋6.750.17＋7.250.33＋7.750.37＋8.250.06＋8.750.02＝7.39(h)． 故該校學(xué)生的日平均睡眠時間約為7.39 h.