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2016-2017學年高中數學 第三章 導數及其應用 3.3.2 函數的極值與導數高效測評 新人教A版選修1-1
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．函數f(x)＝－x3＋x2＋2x取極小值時，x的值是( )
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
解析： f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．
∵在x＝－1的附近左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，
∴x＝－1時取極小值．
答案： C
2．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖，則f(x)是( )
A．無極大值點，有四個極小值點
B．有三個極大值點，兩個極小值點
C．有兩個極大值點，兩個極小值點
D．有四個極大值點，無極小值點
解析： 設f′(x)與x軸的4個交點從左至右依次為x1，x2，x3，x4，當x
0，f(x)為增函數，當x10，b>0，且函數f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析： 函數的導數為f′(x) ＝12x2－2ax－2b，由函數f(x)在x＝1處有極值，可知函數f(x)在x＝1處的導數值為零，即12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由題意知a，b都是正實數，所以，ab≤2＝2＝9，當且僅當a＝b＝3時取到等號．
答案： D
4．若函數y＝x3－3ax＋a在(1,2)內有極小值，則實數a的取值范圍是( )
A．14或a<1
解析： y′＝3x2－3a，當a≤0時，f′(x)≥0.函數y＝x3－3ax＋a為單調函數．不合題意，舍去；當a>0時，y′＝3x2－3a＝0?x＝，不難分析當1<<2即10，所以函數f(x)在內不單調，同理，函數f(x)在內也不單調，故①②均不正確；當x∈(4,5)時f′(x)>0，所以函數y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內單調遞增，故③正確；由于f′(2)＝0，并且在x＝2的左、右兩側的附近分別有f′(x)>0與f′(x)<0，所以當x＝2時函數取得極大值，而在x＝－的左、右兩側的附近均為f′(x)>0，所以x＝－不是函數的極值點，即④⑤均不正確．
答案：?、佗冖堍?
三、解答題(每小題10分，共20分)
7．求下列函數的極值：
(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；
(2)f(x)＝x4＋x3－x2－x.
解析： (1)∵f′(x)＝－3x2＋12，
令f′(x)＝0，可得，x1＝2，x2＝－2.
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
極小值
極大值
由表可知，當x＝－2時，f(x)有極小值．
則f(x)極小值＝f(－2)＝－10；
當x＝2時，f(x)有極大值，則f(x)極大值＝f(2)＝22.
(2)∵f′(x)＝x3＋x2－x－1
＝x2(x＋1)－(x＋1)
＝(x2－1)(x＋1)＝(x－1)(x＋1)2，
令f′(x)＝0可以得，x1＝1，x2＝－1.
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如表所示
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
f(x)
極小值
由表可知，y＝f(x)在x＝－1時，f′(－1)＝0，但y＝f(x)在x＝－1左右兩側的導數都為負，故x＝－1不是極值點．
x＝1為函數的極小值點，則y＝f(x)的極小值是f(x)極小值＝f(1)＝＋－－1＝－.
8．設函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象與y軸交點為P，且曲線在P點處的切線方程為12x－y－4＝0.若函數在x＝2處取得極值0，試確定函數的解析式．
解析： f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，P點坐標為(0，d)，
又曲線在點P處切線方程為12x－y－4＝0，
∴當x＝0時，y＝d，即d＝－4，
∵f′(0)＝c，
又切線斜率k＝12，∴c＝12.
又函數在x＝2處取得極值0，
∴∴
解得
∴函數解析式為f(x)＝2x3－9x2＋12x－4.
9．(10分)函數f(x)＝ax3－6ax2＋3bx＋b，其圖象在x＝2處的切線方程為3x＋y－11＝0.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若函數y＝f(x)的圖象與y＝f′(x)＋5x＋m的圖象有三個不同的交點，求實數m的取值范圍．
解析： (1)由題意得f′(x)＝3ax2－12ax＋3b，f′(2)＝－3且f(2)＝5，
∴
即
解得a＝1，b＝3，
∴f(x)＝x3－6x2＋9x＋3.
(2)由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m，
則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個不相等的實根，
即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖象與x軸有三個不同的交點，
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0得x＝或x＝4.
當x變化時，g(x)，g′(x)的變化情況如表：
x
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
－m
－16－m
則函數g(x)的極大值為g＝－m，極小值為g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的圖象與y＝f′(x)＋5x＋m的圖象有三個不同交點，
得
解得－16
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第三章
導數及其應用
3_3_2
函數的極值與導數高效測評
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第三
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