《高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2_3_2 雙曲線的簡單幾何性質 第1課時 雙曲線的簡單幾何性質高效測評 新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2_3_2 雙曲線的簡單幾何性質 第1課時 雙曲線的簡單幾何性質高效測評 新人教A版選修2-1（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質 第1課時 雙曲線的簡單幾何性質高效測評 新人教A版選修2-1 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．雙曲線的漸近線為y＝x，則雙曲線的離心率是(　　) A.　　　　　　　　　 B．2 C.或 D.或 解析：　若雙曲線焦點在x軸上， 則＝， ∴e＝＝＝＝. 若雙曲線的焦點在y軸上， 則＝，＝. ∴e＝＝＝＝. 答案：　C 2．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m等于(　　) A．－ B．－4 C．4 D. 解析：　∵方程mx2＋y2＝1，表示雙曲線，∴m<0. 將方程化為標準方程為y2－＝1， 則a2＝1，b2＝－. ∵雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，∴b＝2a， ∴b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－. 答案：　A 3．已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：　根據雙曲線標準方程中系數之間的關系求解． ∵－＝1的焦距為10，∴c＝5＝.① 又雙曲線漸近線方程為y＝x，且P(2,1)在漸近線上， ∴＝1，即a＝2b.② 由①②解得a＝2，b＝，故應選A. 答案：　A 4．設雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為3x2y＝0，則a的值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：　雙曲線－＝1的漸近線方程為3xay＝0，與已知方程比較系數得a＝2. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．設P為直線y＝x與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)左支的交點，F1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e＝________. 解析：　利用直線與雙曲線的位置關系得出a，c的關系式，再由e＝得出雙曲線的離心率． ∵直線y＝x與雙曲線－＝1相交， 由消去y得x＝， 又PF1垂直于x軸，∴＝c，即e＝＝. 答案：　 6．已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點與橢圓＋＝1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為____________；漸近線方程為____________． 解析：　橢圓焦點為(4,0)，(－4,0)，∴c＝4. 又e＝＝2，∴a＝2. ∴b2＝c2－a2＝12，∴b＝2. ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 答案：　(－4,0)和(4,0)　y＝x 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．如圖所示，已知F1，F2為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF1F2＝30.求雙曲線的漸近線方程． 解析：　設F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，則－＝1. 解得y0＝.∴|PF2|＝. 在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30. 方法一：|F1F2|＝|PF2|，即2c＝， 將c2＝a2＋b2代入，解得b2＝2a2， ∴＝， 故所求雙曲線的漸近線方程為y＝x. 方法二：|PF1|＝2|PF2|. 由雙曲線定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝2a. ∵|PF2|＝， ∴2a＝，即b2＝2a2，∴＝. 故所求雙曲線的漸近線方程為y＝x. 8．根據以下條件，求雙曲線的標準方程： (1)過P(3，－)，離心率為； (2)與雙曲線－＝1有公共焦點，且過點(3，2)； (3)過點P，一條漸近線與直線2x－3y＝10平行． 解析：　(1)若雙曲線的焦點在x軸上， 設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)． ∵e＝，∴＝2即a2＝b2. ① 又過點P(3，－)，有：－＝1， ② 由①②得：a2＝b2＝4， 雙曲線方程為－＝1， 若雙曲線的焦點在y軸上， 設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 同理有：a2＝b2， ① －＝1， ② 由①②得a2＝b2＝－4(不合題意，舍去)． 綜上，雙曲線的標準方程為－＝1. (2)設雙曲線方程為－＝1， 將點(3，2)代入得k＝4，所以雙曲線方程為－＝1. (3)方法一：①若雙曲線的焦點在x軸上， 設其方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 由已知得漸近線方程為y＝x，故＝， 又P在雙曲線上， ∴－＝1， 可解得a2＝18，b2＝8. ∴所求雙曲線方程為－＝1. ②若雙曲線的焦點在y軸上， 設其方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 由于易知其漸近線方程為y＝x， ∴＝， 又雙曲線過點P，所以－＝1， 解得a2＝－8，b2＝－18，不合題意． 綜上可知，所求雙曲線的標準方程為－＝1. 方法二：∵易知雙曲線的漸近線方程為y＝x， ∴可設雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)， 將代入方程，得λ＝2， 故所求方程為－＝1. 9．(10分)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，過點A(0，－b)和點B(a,0)的直線與原點的距離為，求此雙曲線的方程． 解析：　∵e＝，∴＝， ∴＝，∴a2＝3b2. ① 又∵直線AB的方程為bx－ay－ab＝0， ∵d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)． ② 解由①②組成的方程組得 ∴雙曲線方程為－y2＝1.