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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 學業(yè)分層測評9 雙曲線及其標準方程 新人教A版選修1-1 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．雙曲線－＝1的兩個焦點分別是F1，F2，雙曲線上一點P到F1的距離是12，則P到F2的距離是(　　) A．17　　　　　　　　　 B．7 C．7或17 D．2或22 【解析】　由雙曲線方程－＝1得a＝5， ∴||PF1|－|PF2||＝25＝10. 又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2或22. 故選D. 【答案】　D 2．焦點分別為(－2,0)，(2,0)且經過點(2,3)的雙曲線的標準方程為(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．y2－＝1 D.－＝1 【解析】　由雙曲線定義知， 2a＝－＝5－3＝2， ∴a＝1. 又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3， 因此所求雙曲線的標準方程為x2－＝1. 【答案】　A 3．設動點M到A(－5,0)的距離與它到B(5,0)的距離的差等于6，則P點的軌跡方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x＜0) D.－＝1(x＞0) 【解析】　由雙曲線的定義得，P點的軌跡是雙曲線的一支．由已知得∴a＝3，c＝5，b＝4.故P點的軌跡方程為－＝1(x＞0)，因此選D. 【答案】　D 4．已知雙曲線－＝1的焦點為F1，F2，點M在雙曲線上，且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為(　　) A. B. C. D. 【解析】　不妨設點F1(－3,0)， 容易計算得出 |MF1|＝＝， |MF2|－|MF1|＝2. 解得|MF2|＝. 而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中， 由|MF1||F1F2|＝|MF2|d， 求得F1到直線F2M的距離d為.故選C. 【答案】　C 5．橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則a的值是(　　) A. B．1或－2 C．1或 D．1 【解析】　由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故選D. 【答案】　D 二、填空題 6．經過點P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是________. 【導學號：26160046】 【解析】　設雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，則解得故雙曲線的標準方程為－＝1. 【答案】?。? 7．已知方程＋＝1表示的曲線為C.給出以下四個判斷： ①當1＜t＜4時，曲線C表示橢圓；②當t＞4或t＜1時，曲線C表示雙曲線；③若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜t＜；④若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，則t＞4. 其中判斷正確的是________(只填正確命題的序號)． 【解析】?、馘e誤，當t＝時，曲線C表示圓；②正確，若C為雙曲線，則(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正確，若C為焦點在x軸上的橢圓，則4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正確，若曲線C為焦點在y軸上的雙曲線，則，∴t＞4. 【答案】　②③④ 8．已知F是雙曲線－＝1的左焦點，點A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________． 【解析】　設右焦點為F′，依題意， |PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9. 【答案】　9 三、解答題 9．求以橢圓＋＝1短軸的兩個端點為焦點，且過點A(4，－5)的雙曲線的標準方程． 【解】　由＋＝1，得a＝4，b＝3，所以短軸兩端點的坐標為(0，3)，又雙曲線過A點，由雙曲線定義得 2a＝|－| ＝2，∴a＝，又c＝3， 從而b2＝c2－a2＝4， 又焦點在y軸上， 所以雙曲線的標準方程為－＝1. 10．已知△ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x2＋5y2＝5的左焦點和右焦點，且三個內角A，B，C滿足關系式sin B－sin A＝sin C. (1)求線段AB的長度； (2)求頂點C的軌跡方程． 【解】　(1)將橢圓方程化為標準形式為＋y2＝1. ∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4， 則A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4. (2)∵sin B－sin A＝sin C， ∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4， 即動點C到兩定點A，B的距離之差為定值． ∴動點C的軌跡是雙曲線的右支，并且c＝2，a＝1， ∴所求的點C的軌跡方程為x2－＝1(x>1)． [能力提升] 1．已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60，則|PF1||PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】　由題意，得||PF1|－|PF2||＝2，|F1F2|＝2.因為∠F1PF2＝60，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60＝|F1F2|2，所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|＝8，所以|PF1||PF2|＝8－22＝4. 【答案】　B 2．(2016臨沂高二檢測)已知雙曲線的兩個焦點F1(－，0)，F2(，0)，M是此雙曲線上的一點，且＝0，||||＝2，則該雙曲線的方程是(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】　由雙曲線定義||MF1|－|MF2||＝2a，兩邊平方得：|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因為＝0，故△MF1F2為直角三角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而||||＝2，∴40－22＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1. 【答案】　A 3．若F1，F2是雙曲線8x2－y2＝8的兩焦點，點P在該雙曲線上，且△PF1F2是等腰三角形，則△PF1F2的周長為________． 【解析】　雙曲線8x2－y2＝8可化為標準方程x2－＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因為點P在該雙曲線上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6，或|PF2|＝|F1F2|＝6，當|PF1|＝6時，根據雙曲線的定義有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周長為6＋6＋4＝16；同理當|PF2|＝6時，△PF1F2的周長為6＋6＋8＝20. 【答案】　16或20 4.如圖2－2－2，已知雙曲線中c＝2a，F1，F2為左、右焦點，P是雙曲線上的點，∠F1PF2＝60，S△F1PF2＝12.求雙曲線的標準方程． 【導學號：26160047】 圖2－2－2 【解】　由題意可知雙曲線的標準方程為－＝1. 由于||PF1|－|PF2||＝2a， 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos 60＝＝ ， 所以|PF1||PF2|＝4(c2－a2)＝4b2， 所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60＝2b2＝b2， 從而有b2＝12，所以b2＝12，c＝2a，結合c2＝a2＋b2，得a2＝4. 所以雙曲線的標準方程為－＝1.