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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 第二講 講明不等式的基本方法 學業(yè)分層測評7 綜合法與分析法 新人教A版選修4-5 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是(　　) A.＜ B．a2＞b2 C.＞ D.a|c|＞b|c| 【解析】　∵a＞b，c2＋1＞0， ∴＞，故選C. 【答案】　C 2．設＜＜＜1，則(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa 【解析】　∵＜＜＜1， ∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa， ＝.∵0＜＜1，a＞0， ∴＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故選C. 【答案】　C 3．已知條件p：ab>0，q：＋≥2，則p與q的關系是(　　) 【導學號：32750037】 A．p是q的充分而不必要條件 B．p是q的必要而不充分條件 C．p是q的充要條件 D．以上答案都不對 【解析】　當ab>0時，>0，>0， ∴＋≥2 ＝2. 當＋≥2時， ∴≥0，≥0， (a－b)2≥0，∴ab>0， 綜上，ab>0是＋≥2的充要條件． 【答案】　C 4．已知a，b∈R＋，那么下列不等式中不正確的是(　　) A.＋≥2 B.＋≥a＋b C.＋≤ D.＋≥ 【解析】　A滿足基本不等式；B可等價變形為(a－b)2(a＋b)≥0，正確；C選項中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項不正確；D選項是A選項中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確． 【答案】　C 5．已知a，b，c為三角形的三邊且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，則(　　) A．S≥2P B．P＜S＜2P C．S＞P D.P≤S＜2P 【解析】　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 即S≥P. 又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c2， 同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2， ∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P. 【答案】　D 二、填空題 6．有以下四個不等式： ①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③＞0；④a2＋b2≥2|ab|. 其中恒成立的為________(寫出序號即可)． 【解析】　對于①，x2＋4x＋3＞x2＋4x＋4,3＞4不成立；對于②，當a＝b＝0時， 0＜0不成立；③④顯然成立． 【答案】?、邰? 7．在Rt△ABC中，∠C＝90，c為斜邊，則的取值范圍是________． 【解析】　∵a2＋b2＝c2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，∴≤，當且僅當a＝b時，取等號．又∵a＋b>c，∴>1. 【答案】　(1，] 8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中項，Q是a，b的正的等比中項，是，的等差中項，則P，Q，R按從大到小的排列順序為________． 【解析】　∵P＝，Q＝，＝＋， ∴R＝≤Q＝≤P＝， 當且僅當a＝b時取等號． 【答案】　P≥Q≥R 三、解答題 9．設a＞0，b＞0，c＞0.證明： (1)＋≥； (2)＋＋≥＋＋. 【證明】　(1)∵a＞0，b＞0， ∴(a＋b) ≥22＝4， ∴＋≥. (2)由(1)知＋≥， 同時＋≥，＋≥，三式相加得： 2≥＋＋， ∴＋＋≥＋＋. 10．已知a≥1，求證：－＜－. 【證明】　要證原不等式成立， 只要證明＋＜2. 因為a≥1，＋＞0,2＞0， 所以只要證明2a＋2＜4a， 即證 ＜a. 所以只要證明a2－1＜a2， 即證－1＜0即可． 而－1＜0顯然成立， 所以－＜－. [能力提升] 1．若xy＋yz＋zx＝1，則x2＋y2＋z2與1的關系是(　　) 【導學號：32750038】 A．x2＋y2＋z2≥1 B．x2＋y2＋z2≤1 C．x2＋y2＋z2＝1 D.不確定 【解析】　x2＋y2＋z2＝(x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2)≥(2xy＋2yz＋2zx)＝1，當且僅當x＝y(tǒng)＝z＝時，取等號． 【答案】　A 2．設a，b，c都是正實數，且a＋b＋c＝1，若M＝，則M的取值范圍是________． 【解析】　∵a＋b＋c＝1， ∴M＝ ＝ ＝ ≥222＝8， 即M的取值范圍是[8，＋∞)． 【答案】　[8，＋∞) 3．已知|a|＜1，|b|＜1，求證：＜1. 【證明】　要證＜1，只需證|a＋b|＜|1＋ab|， 只需證a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2， 即證(1－a2)－b2(1－a2)＞0， 也就是(1－a2)(1－b2)＞0， ∵|a|＜1，|b|＜1，∴最后一個不等式顯然成立． 因此原不等式成立． 4．若不等式＋＋＞0在條件a＞b＞c時恒成立，求實數λ的取值范圍． 【解】　不等式可化為＋＞. ∵a＞b＞c， ∴a－b＞0， b－c＞0，a－c＞0， ∴λ＜＋恒成立． ∵＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴λ≤4. 故實數λ的取值范圍是(－∞，4]．