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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 第四章 函數應用 學業(yè)分層測評（24）實際問題的函數建模 北師大版必修1 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題1．(2015佛山高一檢測)甲乙兩人在一次賽跑中，路程s與時間t的函數關系如圖427所示，則下列說法正確的是(　　) 圖427 A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑得路程更多 C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲先到達終點 【解析】　由圖可知，甲比乙跑的要快，比乙先到達終點，兩人跑的路程相同，故選D. 【答案】　D 2．某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數關系，其圖像如圖428所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是(　　) 圖428 A．310元　 B．300元 C．290元 D．280元 【解析】　令y＝kx＋b，則解得 所以y＝500x＋300，令x＝0，y＝300. 故營銷人員沒有銷售量時的收入是300元． 【答案】　B 3．某機器總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y＝x2－75x，若每臺機器售價為25萬元，則該廠獲利潤最大時應生產的機器臺數為(　　) A．30 B．40 C．50 D．60 【解析】　設安排生產x臺，則獲得利潤 f(x)＝25x－y＝－x2＋100x ＝－(x－50)2＋2 500. 故當x＝50臺時，獲利潤最大．故選C. 【答案】　C 4．如圖429，開始時桶(1)中有a升水，t分鐘后剩余的水符合指數衰減曲線y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假設過5分鐘時桶(1)和桶(2)中的水相等，則再過(　　)桶(1)中的水只有. 圖429 A．7分鐘 B．8分鐘 C．9分鐘 D．10分鐘 【解析】　由題意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝.設再經過t分鐘，桶(1)中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，則＝3，解得t＝10. 【答案】　D 二、填空題 5．經市場調查，某商品的日銷售量(單位：件)和價格(單位：元/件)均為時間t(單位：天)的函數．日銷售量為f(t)＝2t＋100，價格為g(t)＝t＋4，則該種商品的日銷售額S(單位：元)與時間t的函數關系式為S(t)＝________. 【解析】　日銷售額S＝f(t)g(t)＝(2t＋100)(t＋4)＝2t2＋108t＋400. 【答案】　2t2＋108t＋400 6．甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2 km.如圖4210表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經過的路程y(km)與時間x(min)的關系，其中甲在公園休息的時間是10 min，那么y＝f(x)的解析式為________． 圖4210 【解析】　由題圖知所求函數是一個分段函數，且各段均是直線，可用待定系數法求得： y＝f(x)＝ 【答案】　y＝ 三、解答題 7．一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的. (1)求每年砍伐面積的百分比． (2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多還能砍伐多少年？ 【導學號：04100080】 【解】　(1)設每年砍伐面積的百分比為x(0＜x＜1)，則a(1－x)10＝a， 即(1－x)10＝， 解得x＝1－. 故每年砍伐面積的百分比為1－. (2)設經過m年剩余面積為原來的， 則a(1－x)m＝a， 即＝，＝，解得 m＝5.故到今年為止，已砍伐了5年． (3)設從今年開始，以后砍伐了n年，則n年后剩余面積為a(1－x)n. 令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥， ()≥()，≤，解得n≤15. 故今后最多還能砍伐15年． [能力提升] 1．某工廠生產某種產品固定成本為2 000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元．又知總收入K是單位產品數Q的函數，K(Q)＝40Q－Q2，則總利潤L(Q)的最大值是________萬元． 【解析】　L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000 ＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500 當Q＝300時，L(Q)的最大值為2 500萬元． 【答案】　2 500 2．(2016山東青州市高一期中)銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是y1，y2萬元，它們與投入資金x萬元的關系分別為y1＝a＋m，y2＝bx，(其中m，a，b都為常數)，函數y1，y2對應的曲線C1、C2如圖4211所示． 圖4211 (1)求函數y1，y2的解析式； (2)若該商場一共投資4萬元經銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值． 【解】　(1)由題意 解得a＝，m＝－， y1＝－，(x≥0)． 又由題意8b＝得b＝， y2＝x(x≥0)． (2)設銷售甲商品投入資金x萬元，則乙投入(4－x)萬元．令所獲利潤為y萬元． 由(1)得 y＝－＋(4－x) ＝－x(0≤x≤4)． 令＝t，(1≤t≤)，則有 y＝－t2＋t＋ ＝－(t－2)2＋1，(1≤t≤)． 當t＝2即x＝3時，ymax＝1. 綜上，該商場所獲利潤的最大值為1萬元．