12、n＝1－an②，則①－②得an＝an－1，故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，所以Tn＝a＋a＋…＋a＝＝.
答案：
數(shù)列求和問(wèn)題
[典型例題]
命題角度一 公式法求和
已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝，n∈N*.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)T2n＝－＋－＋…＋－，求T2n.
【解】 (1)證明：由an＋1＝，得＝＝＋，
所以－＝.
又a1＝1，則＝1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．
(2)設(shè)bn＝－＝，
由(1)得，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，
所以－＝－，即bn＝＝－×，
所以bn＋
13、1－bn＝－＝－×＝－.
又b1＝－×＝－×＝－，
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－，公差為－的等差數(shù)列，
所以T2n＝b1＋b2＋…＋bn＝－n＋×＝－(2n2＋3n)．
求解此類(lèi)題需過(guò)“三關(guān)”：第一關(guān)，定義關(guān)，即會(huì)利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，判斷所給的數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；第二關(guān)，應(yīng)用關(guān)，即會(huì)應(yīng)用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)求解，需掌握等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d；等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式：Sn＝；第三關(guān)，運(yùn)算關(guān)，認(rèn)真運(yùn)算，此類(lèi)題將迎刃而解．
命題角度二 裂項(xiàng)相消法求和
(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為公差不為0
14、的等差數(shù)列，a1＝5，且a2，a9，a30成等比數(shù)列．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.
【解】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，依題意得(a1＋d)(a1＋29d)＝(a1＋8d)2.
又a1＝5，所以d＝2，所以an＝2n＋3.
(2)依題意得bn＋1－bn＝2n＋3(n∈N*)，所以bn－bn－1＝2n＋1(n≥2且n∈N*)，
所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＝＝n2＋2n(n≥2且
15、n∈N*)，b1＝3，上式也成立，
所以bn＝n(n＋2)(n∈N*)，所以＝＝.所以Tn＝＝.
(1)裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些裂開(kāi)的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)．
(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
[提醒] 常見(jiàn)的裂項(xiàng)式有：＝
，＝[－]，＝－等．
命題角度三 錯(cuò)位相減法求和
(2019·唐山模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝.
(1)求an；
(2)若bn＝(n－1)an，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.
【解】 (1)由已知可得，
16、2Sn＝3an－1，①
所以2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，②
①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，
化簡(jiǎn)得an＝3an－1(n≥2)，
在①中，令n＝1可得，a1＝1，
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
從而有an＝3n－1.
(2)bn＝(n－1)3n－1，
Tn＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1，③
則3Tn＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n.④
③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n
＝－(n－1)×3n
＝.
所以Tn＝.
(1)求解此類(lèi)題
17、需掌握三個(gè)技巧：一是巧分拆，即把數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)的和，并求出等比數(shù)列的公比；二是構(gòu)差式，求出前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后乘以等比數(shù)列的公比，兩式作差；三是得結(jié)論，即根據(jù)差式的特征進(jìn)行準(zhǔn)確求和．
(2)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：一是判斷模型，即判斷數(shù)列{an}，{bn}一個(gè)為等差數(shù)列，一個(gè)為等比數(shù)列；二是錯(cuò)開(kāi)位置；三是相減時(shí)一定要注意最后一項(xiàng)的符號(hào)，學(xué)生常在此步出錯(cuò)，一定要小心．
命題角度四 分組轉(zhuǎn)化求和
(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝4，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12.
(1)求數(shù)列{
18、an}的通項(xiàng)公式；
(2)令cn＝＋an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
【解】 (1)由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝12得log2(a1a2a3)＝12，
所以a1a2a3＝212.
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
因?yàn)閍1＝4，所以a1a2a3＝4·4q·4q2＝26·q3＝212，
計(jì)算得q＝4.
所以an＝4·4n－1＝4n.
(2)由(1)得bn＝log24n＝2n，
cn＝＋4n＝＋4n＝－＋4n.
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為An，則An＝1－＋－＋…＋－＝，
設(shè)數(shù)列{4n}的前n項(xiàng)和為Bn，
則Bn＝＝(4n－1)，
所以Sn＝＋(4n－1)．
19、
(1)在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想．把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和．在利用分組求和法求和時(shí)，常常根據(jù)需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論．最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)表達(dá)式．
(2)分組求和的策略：①根據(jù)等差、等比數(shù)列分組．②根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組．
命題角度五 并項(xiàng)求和
數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＝an＋2n，n∈N*，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和為( )
A．5 050 B．5 100
C．9 800 D．9 850
【解析】 設(shè)k∈N*，
當(dāng)n＝2k時(shí)，a2k＋1＝－a2k＋4k，即a2k＋1＋a2k＝4k，①
當(dāng)n＝2k－1時(shí)，a2k
20、＝a2k－1＋4k－2，②
聯(lián)立①②可得，a2k＋1＋a2k－1＝2，
所以數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和
Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100
＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
＝(a1＋a3＋…＋a99)＋[(－a3＋4)＋(－a5＋4×2)＋(－a7＋4×3)＋…＋(－a101＋4×50)]
＝25×2＋[－(a3＋a5＋…＋a101)＋4×(1＋2＋3＋…＋50)]
＝25×2－25×2＋4×
＝5 100.
故選B.
【答案】 B
(1)將一個(gè)數(shù)列分成若干段，然后各段分別利用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及錯(cuò)位相減法進(jìn)
21、行求和．利用并項(xiàng)求和法求解問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型：一是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值符號(hào)；二是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有符號(hào)因子“(－1)n”．
(2)運(yùn)用分類(lèi)討論法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的突破口：一是對(duì)分類(lèi)討論的“度”的把控，如本題，因?yàn)榭梢缘扔?，也可以等于0，因此分類(lèi)的“度”可定位到“n分為奇數(shù)與偶數(shù)”，有些含絕對(duì)值的數(shù)列，其分類(lèi)的“度”需在零點(diǎn)處下功夫；二是對(duì)各類(lèi)分法做到不重不漏，解題的思路就能順暢．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·唐山市摸底考試)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a4＝3，a2，a3，a5成等比數(shù)列．
(1)求an；
(2)設(shè)bn＝n·2an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n
22、，求Tn.
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，則an＝a1＋(n－1)d.
因?yàn)閍2，a3，a5成等比數(shù)列，
所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，
化簡(jiǎn)得，a1d＝0，
又d≠0，
所以a1＝0.
又a4＝a1＋3d＝3，
所以d＝1.
所以an＝n－1.
(2)bn＝n×2n－1，
Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，①
則2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②
①－②得，
－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n
＝－n×2n
＝(1－n)×2n－1.
所以Tn＝(n－1)×2n＋1.
2
23、．(2019·安徽省考試試題)已知等差數(shù)列{an}中，a5－a3＝4，前n項(xiàng)和為Sn，且S2，S3－1，S4成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝(－1)n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a5－a3＝4，得2d＝4，d＝2.
所以S2＝2a1＋2，S3－1＝3a1＋5，S4＝4a1＋12，
又S2，S3－1，S4成等比數(shù)列，
所以(3a1＋5)2＝(2a1＋2)(4a1＋12)，
解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)bn＝(－1)n＝(－1)n，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝－＋－＋…－＋＝－1＋＝－.
24、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝－＋－＋…＋－
＝－1－＝－.
所以Tn＝.
數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題
[典型例題]
(2019·江西七校第一次聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝1，3a2－a1＝1，且＝(n≥2)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且b1＝，4bn＝an－1an(n≥2)，證明：Tn<1.
【解】 (1)因?yàn)椋?n≥2)，所以＝＋(n≥2)．
又a1＝1，3a2－a1＝1，
所以＝1，＝，
所以－＝，
所以是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．
所以＝1＋(n－1)＝(n＋1)，
即an＝.
(2)證明：因?yàn)?bn＝a
25、n－1an(n≥2)，
所以bn＝＝－(n≥2)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－<1.
解決與數(shù)列求和有關(guān)的不等式間的常用方法是“放縮法”
(1)如果和式能夠求出，則求出結(jié)果后進(jìn)行放縮，本例就是這種類(lèi)型．
(2)如果和式不能求出，則需要把數(shù)列的通項(xiàng)放縮成能夠求和的形式，求和后再進(jìn)行放縮，但要注意放縮的“尺度”和“位置”．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＋1＝，a1＝1且n∈N*.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)anbn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn<(n∈N*)．
解：(1
26、)由an＋1＝，
得(2n－1)an＋1＝4Sn－1，
可得(2n－3)an＝4Sn－1－1(n≥2)，
兩式相減得(2n＋1)an＝(2n－1)an＋1，
即＝(n≥2)，
又由an＋1＝，a1＝1，得a2＝3，
所以＝，
所以為常數(shù)列，
所以＝1，即an＝2n－1.
(2)證明：由an＝2n－1，得Sn＝n2，
所以bn＝.
當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝1<成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝＝<
＝，所以Tn<1＋
＝1＋<.
綜上，Tn<(n∈N*)．
[A組 夯基保分專(zhuān)練]
一、選擇題
1．(2019·廣東省六校第一次聯(lián)考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n＋
27、1，bn＝(－1)nan(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的前50項(xiàng)和為( )
A．49 B．50
C．99 D．100
解析：選A.由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3，所以數(shù)列{bn}的前50項(xiàng)和為－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故選A.
2．(一題多解)(2019·洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝( )
A．2n－1 B．
C． D．
解析：選B.法一：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a2，則a2＝.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an，則Sn
28、－Sn－1＝an＝2an＋1－2an，所以＝，所以當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，所以an＝，所以Sn＝1＋＋×＋…＋×＝1＋＝，當(dāng)n＝1時(shí)，此式也成立．
故選B.
法二：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a2，則a2＝，所以S2＝1＋＝，結(jié)合選項(xiàng)可得只有B滿(mǎn)足，故選B.
3．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2 019＝( )
A．1 B．－2
C．3 D．－3
解析：選A.因?yàn)閍n＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－a
29、n－2(n≥3)．
所以an＋3＝－an(n∈N*)，
所以an＋6＝－an＋3＝an，
故{an}是以6為周期的周期數(shù)列．
因?yàn)? 019＝336×6＋3，
所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故選A.
4．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足2an＋1＋an＝3(n≥1)，且a3＝，其前n項(xiàng)和為Sn，則滿(mǎn)足不等式|Sn－n－6|<的最小整數(shù)n是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：選C.由2an＋1＋an＝3，得2(an＋1－1)＋(an－1)＝0，即＝－(*)，
又a3＝，所以a3－1＝，代入(*)式，有a2－1＝－，a1－
30、1＝9，所以數(shù)列{an－1}是首項(xiàng)為9，公比為－的等比數(shù)列．所以|Sn－n－6|＝|(a1－1)＋(a2－1)＋…＋(an－1)－6|＝＝<，又n∈N*，所以n的最小值為10.故選C.
5．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若an＋Sn＝2n，2bn＝2an＋2－an＋1，則＋＋…＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：選D.因?yàn)閍n＋Sn＝2n①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1②，②－①得2an＋1－an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋1，又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，＝＝－，則＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1
31、－＝，故選D.
6．(多選)一個(gè)彈性小球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回原來(lái)高度的再落下，設(shè)它第n次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程記為Sn，則當(dāng)n≥2時(shí)，下面說(shuō)法正確的是( )
A．Sn<500
B．Sn≤500
C．Sn的最小值為
D．Sn的最大值為400
解析：選AC.第一次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)了100 m，第二次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)了m，第三次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)了m，…，以此類(lèi)推，第n次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)了
m.所以Sn＝100＋＝100＋400.Sn是關(guān)于n的增函數(shù)，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn的最小值為S2，且S2＝.又Sn＝100＋400<100＋400＝500.故選AC.
二、填空
32、題
7．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為_(kāi)_______．
解析：設(shè)該女子第一天織布x尺，
則＝5，解得x＝，
所以該女子前3天所織布的總尺數(shù)為＝.
答案：
8．(一題多解)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝________．
解析：法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，
則數(shù)列{an}是公差為3的等
33、差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，所以a1＝1，S8＝8a1＋d＝92.
法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝＝＝92.
答案：92
9．(2019·江西九江統(tǒng)考改編)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，2Sn＝an＋1，bn＝(－1)n·(log3an)2，則an＝________，數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為_(kāi)_______．
解析：根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿(mǎn)足2Sn＝an＋1①，則當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn－1＝an②，由①－②可得(an＋1－3an)＝0，所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3
34、an(n≥2)．由2Sn＝an＋1，可求得a2＝3，a2＝3a1，則數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n－1，bn＝(－1)n·(log3an)2＝(－1)n·(log33n－1)2＝(－1)n(n－1)2，則b2n－1＋b2n＝－(2n－2)2＋(2n－1)2＝4n－3.所以數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n.
答案：3n－1 2n2－n
三、解答題
10．(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一))已知{an}是等差數(shù)列，且lg a1＝0，lg a4＝1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若a1，ak，a6是等比數(shù)列{b
35、n}的前3項(xiàng)，求k的值及數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和．
解：(1)因?yàn)閘g a1＝0，lg a4＝1，
所以a1＝1，a4＝10.
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則d＝＝3.
所以an＝a1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)由(1)知a1＝1，a6＝16，
因?yàn)閍1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，所以a＝a1a6＝16.
又an＝3n－2>0，
所以ak＝4.
因?yàn)閍k＝3k－2，
所以3k－2＝4，得k＝2.
所以等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝＝4.
所以bn＝4n－1.
所以an＋bn＝3n－2＋4n－1.
所以數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝＋＝
36、n2－n＋(4n－1)．
11．(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)bn＝－1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)證明：因?yàn)閍n＋1＝，所以－＝－＝－＝＝－.
又a1＝1，所以＝－1，
所以數(shù)列是以－1為首項(xiàng)，－為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知＝－1＋(n－1)＝－，所以an＝2－＝，
所以bn＝－1＝－1＝－1＝＝，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝
＝＝，
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝.
12．(2019·福建省質(zhì)量檢查)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足
37、Sn＝2an－n.
(1)求證數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求an；
(2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3＝a2，b7＝a3，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和．
解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，所以a1＝1.
因?yàn)镾n＝2an－n①，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－(n－1)②，
①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，
所以＝＝＝2.
所以{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1.
(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7.
設(shè){bn}的公差為d，則b
38、7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1.
所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n.
所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n.
設(shè)數(shù)列{n·2n}的前n項(xiàng)和為Kn，數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，
則Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n③，
2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1④，
③－④得，
－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2.
又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，
所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2，
所以數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為(n－1)·2n＋1－＋2.
39、
[B組 大題增分專(zhuān)練]
1．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，＝an＋1(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{a}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
解：(1)由＝an＋1得a－a＝2，且a＝1，
所以數(shù)列{a}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
又由已知易得an>0，所以an＝(n∈N*)．
(2)bn＝＝
＝－，
故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
2．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n
40、項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
(2)記bn＝，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求使Tn≥成立的n的最小值．
解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，又＝＝1，
所以＝n，即Sn＝n2.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又a1＝1也滿(mǎn)足上式，所以an＝2n－1.
(2)由(1)知，bn＝＝，
所以Tn＝＝＝.
由Tn≥得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，
所以n的最小值為5.
3．(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其
41、前n項(xiàng)和為Sn，且Sn為an與的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)由題意知，2Sn＝an＋，即2Snan－a＝1，①
當(dāng)n＝1時(shí)，由①式可得S1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入①式，
得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，
整理得S－S＝1.
所以{S}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，S＝1＋n－1＝n.
因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以Sn＝，
所以an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，
又a1＝S1＝1，
所以an＝－.
(2)bn＝＝＝(－1)n(＋)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
42、，
Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝.所以{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝(－1)n.
4．(2019·高考天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿(mǎn)足c1＝1，cn＝其中k∈N*.
①求數(shù)列{a2n(c2n－1)}的通項(xiàng)公式；
②求 aici（n∈N*）.
解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得
解得故
43、an＝4＋（n－1）×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n.,所以，{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n＋1，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3×2n.
（2）①a2n（c2n－1）＝a2n（bn－1）＝（3×2n＋1）（3×2n－1）＝9×4n－1.,所以，數(shù)列{a2n（c2n－1）}的通項(xiàng)公式為a2n（c2n－1）＝9×4n－1.
② aici＝ [ai＋ai（ci－1）]
＝ ai＋ a2i（ci－1）
＝[2n×4＋×3]＋(9×4i－1)
＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×－n
＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N*)．
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（京津魯瓊專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專(zhuān)題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項(xiàng)與求和練習(xí)（含解析）
