《（課標通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 第2課時 正、余弦定理的綜合問題檢測 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 第2課時 正、余弦定理的綜合問題檢測 文（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講 第2課時 正、余弦定理的綜合問題 [基礎題組練] 1．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，則△ABC的面積等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B． C．9 D． 解析：選B.法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，代入數(shù)據(jù)，得a＝3，又cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝，故選B. 法二：由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝，由正弦定理＝及b＝，c＝4，可得sin C＝1，所以C＝，所以sin A＝cos B＝，所以S△ABC＝bcsin A＝，故選B.

2、 2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面積為2，則c＝(　　) A．2 B． C．2 D．2 解析：選D.由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2. 3．(2019·河南三市聯(lián)考)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，sin A∶sin B＝1∶，c＝2cos C＝，則△ABC的周長為(　　) A．3＋3 B．2 C．3＋2 D．3＋ 解析：選C.因為sin A∶sin B＝1∶，所以b＝a， 由余弦定理得cos C＝＝＝， 又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周

3、長為3＋2，故選C. 4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則邊AC上的高為(　　) A． B． C． D．3 解析：選B.由余弦定理知cos A＝＝＝，所以sin A＝. 所以S△ABC＝AB·AC·sin A＝×3×4×＝3. 設邊AC上的高為h，則S△ABC＝AC·h＝×4×h＝3，所以h＝. 5．在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，則△ABC的面積為________． 解析：因為b2sin C＝4sin B， 所以b2c＝4b，所以bc＝4， S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2. 答案：2 6．在△ABC中，A＝60°，AB＝2

4、，且△ABC的面積為，則BC的長為________． 解析：因為S△ABC＝·AB·ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3， 所以BC＝. 答案： 7．(2017·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. (1)求sin C的值； (2)若a＝7，求△ABC的面積． 解：(1)在△ABC中，因為∠A＝60°，c＝a， 所以由正弦定理得sin C＝＝×＝. (2)因為a＝7，所以c＝×7＝3. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×， 解得b＝8或b＝－5(舍)．

5、所以△ABC的面積S＝bcsin A＝×8×3×＝6. 8．(2017·高考全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b. 解：(1)由題設及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，故 sin B＝4(1－cos B)． 上式兩邊平方，整理得 17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，cos B＝. (2)由cos B＝得sin B＝，故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6得 b

6、2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) ＝36－2×× ＝4. 所以b＝2. [綜合題組練] 1．(2019·河北石家莊一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，則AC＋BC的最大值為(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：選D.在△ABC中，AB＝2，C＝，則＝＝＝4， 則AC＋BC＝4sin B＋4sin A ＝4sin＋4sin A ＝2cos A＋6sin A＝4sin(A＋θ)， 所以AC＋BC的最大值為4.故選D. 2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，AC＝2，BD＝2，∠ACD＝60°，則AD＝(　　

7、) A．2 B． C． D．13－6 解析：選B.因為在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ACD＝60°，所以∠BAC＝60°.在△ABC中，AB＝1，AC＝2，由余弦定理，得BC＝＝，所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝∠BCD＝90°.在△BCD中，由勾股定理，得CD＝＝3，所以在△ACD中，由余弦定理，得AD＝＝.故選B. 3．(2019·福建第一學期高三期末考試)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(acos C－ccos A)＝b，B＝60°，則A的大小為________． 解析：由正弦定理及(acos C－ccos A)＝b，得(sin Acos

8、 C－sin Ccos A)＝sin B，所以sin(A－C)＝sin B，由B＝60°，得sin B＝，所以sin(A－C)＝.又A－C＝120°－2C∈(－120°，120°)，所以A－C＝30°，又A＋C＝120°，所以A＝75°. 答案：75° 4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，則c的最小值為________． 解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因為b∈[1，3]，所以當b＝時，c取最小值3. 答案

9、：3 5．(綜合型)(2019·遼寧大連檢測)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cos2B－cos2C－sin2A＝sin Asin B. (1)求角C； (2)若c＝2，△ABC的中線CD＝2，求△ABC的面積S的值． 解：(1)由已知得sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B， 由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab， 由余弦定理可得cos C＝＝－. 因為0

10、in ∠ACB＝ab＝. 法二：延長CD到M，使CD＝DM，連接AM，易證△BCD≌△AMD， 所以BC＝AM＝a，∠CBD＝∠MAD， 所以∠CAM＝. 由余弦定理得 所以ab＝4，S＝absin ∠ACB＝×4×＝. 6．已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，acsin A＋4sin C＝4csin A. (1)求a的值； (2)圓O為△ABC的外接圓(O在△ABC內(nèi)部)，△OBC的面積為，b＋c＝4，判斷△ABC的形狀，并說明理由． 解：(1)由正弦定理可知，sin A＝，sin C＝， 則acsin A＋4sin C＝4csin A?a2c＋4c＝4ac

11、， 因為c≠0，所以a2c＋4c＝4ca?a2＋4＝4a?(a－2)2＝0，可得a＝2. (2)設BC的中點為D，則OD⊥BC， 所以S△OBC＝BC·OD. 又因為S△OBC＝，BC＝2， 所以OD＝， 在Rt△BOD中，tan∠BOD＝＝＝＝， 又0°<∠BOD<180°，所以∠BOD＝60°， 所以∠BOC＝2∠BOD＝120°， 因為O在△ABC內(nèi)部， 所以∠A＝∠BOC＝60°， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A. 所以4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又b＋c＝4， 所以bc＝4，所以b＝c＝2， 所以△ABC為等邊三角形． 7

12、．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，且sin2A＋sin2B－sin2C＋sin Asin B＝0. (1)求證：a，b，2a成等比數(shù)列； (2)若△ABC的面積是2，求c. 解：(1)因為A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)， 所以sin B＝－2sin Acos C， 在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acos C， 因為sin2A＋sin2B－sin2C＋sin Asin B＝0， 所以由正弦定理可得a2＋b2－c2＋ab＝0， 所以cos C＝＝－， 所以C＝， 所以b

13、＝a，則b2＝2a2＝a·2a， 所以a，b，2a成等比數(shù)列． (2)△ABC的面積S＝absin C＝ab＝2，則ab＝4， 由(1)知，b＝a，聯(lián)立兩式解得a＝2，b＝2， 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×2×2×(－)＝20， 所以c＝2. 8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＋＝sin A. (1)求b的值； (2)若sin B＋cos B＝2，求△ABC的面積的最大值． 解：(1)因為＋＝sin A， 所以＋＝， 由正弦定理可得cos B＋cos C＝， 所以＋＝， 所以＝，故b＝2. (2)因為sin B＋cos B＝2，所以sin(B＋)＝1. 因為B∈(0，π)，所以B＝. 因為b＝2，b2＝a2＋c2－2accos B， 所以4≥2ac－ac，所以ac≤4， 所以S△ABC＝acsin B＝ac≤， 當且僅當a＝c＝2，即△ABC為等邊三角形時，S△ABC有最大值，最大值為. 7