《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 直線、平面、簡單幾何體和空間向量 第54講 空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 直線、平面、簡單幾何體和空間向量 第54講 空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 理（含解析）新人教A版（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第54講　空間幾何體的表面積與體積 夯實基礎(chǔ)　【p124】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 熟記棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式，運用這些公式解決一些簡單問題． 【基礎(chǔ)檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則圓錐的表面積為(　　) A．(＋1)πB．4π C．3πD．5π 【解析】∵圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形△ABC， ∴圓錐的底面半徑r＝1，母線長l＝2； 表面積S＝πr2＋×2πr×l＝π＋2π＝3π. 【答案】C 2．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為____________________

2、____________________________________________________． 【解析】由三視圖可知：該三棱錐的底面三角形的底邊為1，高為1，三棱錐的高為1. ∴該三棱錐的體積V＝××1×1＝. 【答案】 3．已知空間四面體SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直且SA＝SB＝SC＝2，那么四面體SABC的外接球的表面積是(　　) A．12πB．24π C．36πD．48π 【解析】以SA，SB，SC兩兩垂直的線段分別作為正方體的三條棱，則此正方體的外接球球心和此四面體的外接球的球心是同一點，正方體的外接球的球心在體對角線的中點處，正方體的體對角線

3、長為：＝2，球的半徑為，故球的表面積為4π()2＝12π. 【答案】A 4．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E為AB的中點，則四面體P－BCE的體積為________． 【解析】S△EBC＝，VP－EBC＝×2×＝. 【答案】 5．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是________． 【解析】設(shè)正方形的邊長為a，圓柱的底面半徑為r，則2πr＝a，r＝， 所以圓柱的全面積為S全＝2×π×＋a2＝＋a2，故側(cè)面積與全面積之比為＝. 【答案】 【知識要點】 柱、錐、臺和球的側(cè)面

4、積和體積 面積 體積 圓柱 S側(cè)＝__2πrl__ V＝πr2h 圓錐 S側(cè)＝__πrl__ V＝πr2h 圓臺 S側(cè)＝π(r1＋r2)l V＝πh(r＋r1·r2＋r) 直棱柱 S側(cè)＝ch V＝S底·h 正棱錐 S側(cè)＝__ch′__ V＝S底·h 正棱臺 S側(cè)＝(c＋c′)h′ V＝(S上＋＋S下)h 球 S球面＝__4πR2__ V球＝__πR3__ 表中S表示面積，c′，c分別表示上、下底面周長，h表示高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長． 典例剖析　【p124】 考點1　空間幾何體的表面積計算 (1)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾

5、何體的表面積為(　　) A．12＋8B．12＋6 C．14＋6D．16＋8 【解析】根據(jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)體如圖 △ECD的底為DC＝4，高為B1C＝2， 則S＝S△ED1D＋S△EC1D1＋S△ECC1＋S△ECD＋S矩形CC1D1D＝ED1×D1D＋C1D1×B1C1＋×CC1×EC1＋DC×B1C＋CC1×C1D1＝×2×2＋×4×2＋×2×2＋×4×2＋2×4＝2＋4＋2＋4＋8＝12＋8. 【答案】A (2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．16＋2B．16＋ C．12＋2D．12＋ 【解析】由三視圖可畫出幾何體的直觀圖為多

6、面體ABCDEF，放在長方體中如圖所示，則幾何體的表面由四個全等且直角邊長分別為2，3的直角三角形，兩個邊長分別為，，2的等腰三角形及一個邊長為2的正方形構(gòu)成，故幾何體的表面積為4××2×3＋2×＋4＝16＋2. 【答案】A (3)某幾何體由圓柱挖掉半個球和一個圓錐所得，三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，求該幾何體的表面積為(　　) A．60π B．75π C．90π D．93π 【解析】該圖形的表面積為圓柱的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積、球的表面積一半，則其面積分別為： 圓柱側(cè)面積：S1＝6π×7＝42π， 圓錐側(cè)面積：圓錐的母線長為：＝5，面積S2＝×6π×5＝15π，

7、 半個球面的面積：S3＝×4πr2＝18π， 所以表面積為75π. 【答案】B 考點2　空間幾何體的體積計算 (1)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　) A.B.C．1 D. 【解析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個如圖所示的三棱錐D1－ABE， 其底面ABE的面積為S＝×2×2＝2，高為h＝2， 所以該三棱錐的體積為V＝Sh＝×2×2＝. 【答案】D (2)湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為12 cm，深2 cm的空穴，則該球的體積是______cm3. 【解析】設(shè)球的半徑為r，畫出球與水面的位置關(guān)系圖，

8、如圖． 由勾股定理可知，r2＝(r－2)2＋36，解得 r＝10. 所以體積為πr3＝×1 000＝. 【答案】 (3)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A．20－2π B．40－π C．20－π D．20－π 【解析】由三視圖可知，該幾何體是由一個四棱柱去掉半個球形成的組合體， 其中，棱柱的底面為對角線為2的正方形，則其邊長為a＝2，高為h＝5， 球的直徑為正方形的邊長，則其半徑R＝1， 據(jù)此可知，組合體的體積V＝22×5－××π×13＝20－π. 【答案】C 【點評】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長

9、對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬．由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整． 在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝，AD＝DE＝2，G為AD的中點． (1)在線段CE上找一點F，使得BF∥平面ACD，并加以證明； (2)求三棱錐G－BCE的體積． 【解析】(1)

10、由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE. 設(shè)F是CE的中點，H是CD的中點， 連接BF，F(xiàn)H，AH， ∴FH∥ED，F(xiàn)H＝ED. ∵AB＝1，DE＝2，∴AB＝DE， ∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH. ∵AH?平面ACD，BF?平面ACD，∴BF∥平面ACD. (2)∵DE⊥平面ACD， ∴平面ABED⊥平面ACD， 在平面ACD內(nèi)，作CP⊥AD于P， ∵平面ABED∩平面ACD＝AD， ∴CP⊥平面ABED， ∴CP為三棱錐C－BGE的高． ∵VG－BCE＝VC－BGE＝S△BGE·CP， 且S△BGE＝S梯形ABED－S△ABG－

11、S△EDG＝. 由三角形的等面積法得CP＝， ∴VG－BCE＝VC－BGE＝S△BGE·CP＝. 考點3　與球有關(guān)的切、接問題 (1)將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為(　　) A. B. C. D．2π 【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則2πr＝×3， ∴r＝1，h＝＝2， 設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則＝， ∴R＝，V＝πR3＝π＝π. 【答案】A (2)某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體外接球的表面積為(　　) A．20π B．40π C．50π D．60π 【解析】由三視圖得該幾何體是一個直三棱柱ABC－A1B1

12、C1， 其中AB＝3，AC＝4，AA1＝5， ∴這個幾何體外接球是棱長為3，4，5的長方體的外接球， ∴這個幾何體外接球的半徑R＝＝， ∴這個幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝4π×＝50π. 【答案】C 方法總結(jié)　　【p125】 1．多面體的表面積是各個面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，其表面積為側(cè)面積與底面積之和； 2．組合體的表面積要注意重合部分的處理； 3．三棱錐體積的計算用等體積法計算時，三棱錐的頂點和底面是相對的，可以變換頂點和底面，使體積計算容易； 4．求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體

13、積計算問題的常用方法． 走進高考　　【p125】 1．(2018·天津)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________． 【解析】連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因為E，H分別為AD1，CD1的中點，所以EH∥AC，EH＝AC，因為F，G分別為B1A，B1C的中點，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形，又點M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐M－EFGH

14、的體積為××＝. 【答案】 2．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為__________． 【解析】因為母線SA，SB所成角的余弦值為，所以母線SA，SB所成角的正弦值為，因為△SAB的面積為5，設(shè)母線長為l，所以×l2×＝5，∴l(xiāng)2＝80， 因為SA與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為lcos＝l，因此圓錐的側(cè)面積為πrl＝πl(wèi)2＝40π. 【答案】40π 3．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三

15、棱錐D－ABC體積的最大值為(　　) A．12B．18C．24D．54 【解析】如圖所示，點M為△ABC的重心，E為AC中點， 當(dāng)DM⊥平面ABC時，三棱錐D－ABC體積最大(O是球心)， 此時， OD＝OB＝R＝4， ∵S△ABC＝AB2＝9，∴AB＝6， ∴BM＝BE＝×3＝2， ∴Rt△ABC中，有OM＝＝2， ∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6， ∴(VD－ABC)max＝×9×6＝18. 【答案】B 考點集訓(xùn)　　【p242】 A組題 1．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為(　　) A．4π B．3π C．2π D．π 【解析】由題意，根據(jù)

16、給定的幾何體的三視圖可知，該幾何體表示一個半徑為1的半球，所以其表面積為S＝×4πR2＋πR2＝3π×12＝3π. 【答案】B 2．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC上的一點，則三棱錐D1－B1C1E的體積等于(　　) A.B. C.D. 【解析】VD1－B1C1E＝S△B1C1E·D1C1＝××1×1×1＝. 【答案】D 3．設(shè)矩形邊長為a，b(a>b)，將其按兩種方式卷成高為a和b的圓柱筒，以其為側(cè)面的圓柱的體積分別為Va和Vb，則(　　) A．Va>Vb B．Va

17、以高為a卷成圓柱筒時，此時設(shè)底面圓的半徑為r1， 則2πr1＝b，解得r1＝，圓柱筒的體積為Va＝πra＝π××a＝， 若以高為b卷成圓柱筒時，此時設(shè)底面圓的半徑為r2， 則2πr2＝a，解得r2＝，圓柱筒的體積為Vb＝πra＝π××b＝，又a>b，所以Va

18、的對角線長為＝2， 所以球的半徑為2R＝2，即R＝， 所以球的體積為V＝πR3＝π×()3＝π. 【答案】D 5．一個幾何體的三視圖及其尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個幾何體的表面積是________． 【解析】此幾何體是半個圓錐，直觀圖如下圖所示， 先求出圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2×2＝4π， S底＝π×22＝4π， S△SAB＝×4×2＝4， 所以S表＝＋＋4＝2(1＋)π＋4. 【答案】2(1＋)π＋4 6．已知所有棱長都相等的三棱錐的各個頂點同在一個半徑為的球面上，則該三棱錐的表面積為_______

19、_． 【解析】構(gòu)造一個各棱長為a的正方體，連接各面的對角線可作出一個正四面體， 而此四面體的外接球即為正方體的外接球． 此球的直徑為正方體的體對角線，即2， 由勾股定理得到3a2＝12?a＝2，三棱錐的邊長即為正方體的面對角線長為：2， 所以該錐體表面積S＝4××(2)2×＝8. 【答案】8 7．已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積為________cm3. 【解析】此幾何體為上下結(jié)構(gòu)，上面是正四棱柱，底面為邊長為4的正方形，側(cè)棱長為2，下面是個正棱臺，下底面為邊長為8的正方形，高為3，所以幾何體的體積為正四棱柱的體積加上棱臺的體積，V1＝底面積×高

20、，V2＝h×，V＝4×4×2＋×3×＝144. 【答案】144 8．(1)某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°，面積為3π的扇形，求該圓錐的表面積和體積． (2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為的正三角形，且該三棱柱的外接球的表面積為12π，求該三棱柱的體積． 【解析】(1)設(shè)圓錐的底面半徑、母線長分別為r，l， 則×πl(wèi)2＝3π，·l·2πr＝3π，解得r＝1，l＝3， 所以圓錐的高為2，得表面積是3π＋π＝4π， 體積是·π·12·2＝π. (2)設(shè)球半徑為R，上，下底面中心設(shè)為M，N，由題意，外接球心為MN的中點，設(shè)為O，則OA＝R，由4πR2＝12π，得R

21、＝OA＝，又易得AM＝， 由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h(yuǎn)＝2， 所以該三棱柱的體積為×()2×2＝3. B組題 1．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中提到一種名為“芻甍”的五面體，如圖所示，四邊形ABCD是矩形，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則這個幾何體的體積是(　　) A.B.＋2 C.D. 【解析】過F作FO⊥平面ABCD，垂足為O，取BC的中點P，連結(jié)PF， 過F作FQ⊥AB，垂足為Q，連結(jié)OQ. ∵△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，， ∴OP＝(AB－EF)＝1，PF＝＝，O

22、Q＝BC＝1， ∴OF＝＝， 采用分割的方法，過F，E做一個與平面ABCD垂直的平面，這個平面把幾何體分割成三部分， 如圖，包含1個三棱柱EMN－FQH，兩個全等的四棱錐：E－AMND，F(xiàn)－QBCH， ∴這個幾何體的體積： V＝VEMN－FQH＋2VF－QBCH＝S△QFH×MQ＋2×S矩形QBCH×FO＝×2××2＋2××1×2×＝. 【答案】C 2．在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則該三棱錐外接球的表面積為(　　) A．2π B．6π C．4π D．24π 【解析】設(shè)相互垂直的三條側(cè)棱AB，AC，AD

23、分別為a，b，c，則ab＝，bc＝，ac＝，解得a＝，b＝1，c＝.所以三棱錐A－BCD的外接球的直徑2R＝＝，則其外接球的表面積S＝4πR2＝6π. 【答案】B 3．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為6，則以正方體ABCD－A1B1C1D1的中心為頂點，以平面AB1D1截正方體外接球所得的圓為底面的圓錐的全面積為________． 【解析】設(shè)O為正方體外接球的球心，則O也是正方體的中心，O到平面AB1D1的距離是體對角線長的，即為.又球的半徑是正方體對角線長的一半，即為3，由勾股定理可知，截面圓的半徑為＝2，圓錐底面面積為S1＝π·(2)2＝24π，圓錐的母線即為球

24、的半徑3，圓錐的側(cè)面積為S2＝π×2×3＝18π.因此圓錐的全面積為S＝S2＋S1＝18π＋24π＝(18＋24)π. 【答案】(18＋24)π 4．一塊邊長為12 cm的正三角形薄鐵片，按如圖所示設(shè)計方案，裁剪下三個全等的四邊形(每個四邊形中有且只有一組對角為直角)，然后用余下的部分加工制作成一個“無蓋”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器． (1)請將加工制作出來的這個“無蓋”的正三棱柱形容器的容積V表示為關(guān)于x的函數(shù)，并標(biāo)明其定義域； (2)若加工人員為了充分利用邊角料，考慮在加工過程中，使用裁剪下的三個四邊形材料恰好拼接成這個正三棱柱形容器的“頂蓋”． ①請指出此時

25、x的值(不用說明理由)，并求出這個封閉的正三棱柱形容器的側(cè)面積S； ②若還需要在該正三棱柱形容器中放入一個金屬球體，試求該金屬球體的最大體積V′. 【解析】(1)結(jié)合平面圖形數(shù)據(jù)及三棱柱直觀圖，易求得： 三棱柱的高h(yuǎn)＝cm，其底面積S＝x2 cm2. 則三棱柱容器的容積V＝Sh＝x2·＝＝－＋x2， 即所求函數(shù)關(guān)系式為V＝－＋x2(0＜x＜12)． (2)①此時x＝6 cm，而相應(yīng)棱柱的高h(yuǎn)＝cm， 故S側(cè)＝3×6×＝18cm2(注：側(cè)面積求法不唯一) ②底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為×6×＝cm， 由此易知球體體積最大時，其直徑應(yīng)與高相等，則球體半徑R＝cm，故球體最大體積V′＝πR3＝π＝π cm3. 16