《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習（含解析）（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列
[做真題]
題型一 等差數(shù)列
1．(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
解析：選A.法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，
因為
所以
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A.
法二：設等差數(shù)列{an}的公差為d，
因為
所以
解得
選項A，a1＝2×1－5＝－3；
選項B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；
選
2、項C，S1＝2－8＝－6，排除C；
選項D，S1＝－2＝－，排除D.故選A.
2．(2018·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
解析：選B.設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋d)＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，因為a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故選B.
3．(2017·高考全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為( )
A
3、．－24 B．－3
C．3 D．8
解析：選A.設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，則d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6項的和S6＝×6＝－24，故選A.
4．(2019·高考全國卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1≠0，a2＝3a1，則＝________．
解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，
所以＝＝＝＝4.
答案：4
題型二 等比數(shù)列
1．(2019·高考全國
4、卷Ⅲ)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：選C.設等比數(shù)列{an}的公比為q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
2．(2017·高考全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，
5、且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A．1盞 B．3盞
C．5盞 D．9盞
解析：選B.每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構成等比數(shù)列，記為{an}，則前7項的和S7＝381，公比q＝2，依題意，得S7＝＝381，解得a1＝3，故選B.
3．(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝，a＝a6，則S5＝________．
解析：通解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
優(yōu)解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以a
6、2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
答案：
4．(2018·高考全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.
解：(1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
7、
綜上，m＝6.
題型三 等差、等比數(shù)列的判定與證明
(2019·高考全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；
(2)求{an}和{bn}的通項公式．
解：(1)證明：由題設得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又因為a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
由題設得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因為a1
8、－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
[山東省學習指導意見]
1．數(shù)列的概念和簡單表示法
了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．
2．等差數(shù)列、等比數(shù)列
(1)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念．
(2)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式．
等差、等比數(shù)列的基本運算
[典型例題]
(1)已知等比數(shù)列{an}的
9、前n項和為Sn，若a1＝1，＝，則數(shù)列{an}的公比q為( )
A．4 B．2
C． D．
(2)(2019·開封模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.
①若a3＋b3＝7，求{bn}的通項公式；
②若T3＝13，求Sn.
【解】 (1)選C.因為＝≠2，所以q≠1.所以＝＝1＋q5，所以1＋q5＝，所以q＝.
(2)①設數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，
則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，(*)
由a3＋b3＝7，得2d＋q
10、2＝8，(**)
聯(lián)立(*)(**)，解得q＝2或q＝0(舍去)，
因此數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1.
②因為T3＝1＋q＋q2，所以1＋q＋q2＝13，
解得q＝3或q＝－4，
由a2＋b2＝3，得d＝4－q，所以d＝1或d＝8.
由Sn＝na1＋n(n－1)d，
得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.
等差、等比數(shù)列問題的求解策略
(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q；
(2)熟悉一些結構特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列；
(3)由于等比
11、數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常采用兩式相除(即比值的方式)進行相關計算．
[對點訓練]
1．(多選)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，且對于任意n>1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，則( )
A．a9＝17 B．a10＝18
C．S9＝81 D．S10＝91
解析：選BD.因為對于任意n>1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，所以Sn－1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，所以an＋1－an＝2.所以數(shù)列{an}在n≥2時是等差數(shù)列，公差為2，又a1＝1，a2＝2，則a9＝2＋7×2＝16，a10＝
12、2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.故選BD.
2．(一題多題)(2019·福州市質量檢測)等比數(shù)列{an}的各項均為正實數(shù)，其前n項和為Sn.若a3＝4，a2a6＝64，則S5＝( )
A．32 B．31
C．64 D．63
解析：選B.通解：設首項為a1，公比為q，因為an>0，所以q>0，由條件得，解得，所以S5＝31，故選B.
優(yōu)解：設首項為a1，公比為q，因為an>0，所以q>0，由a2a6＝a＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故選B.
3．(2019·武昌區(qū)調研考試)設{an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn
13、為其前n項和，已知S1，S2，S4成等比數(shù)列，且a3＝5，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
解析：設數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，因為{an}是等差數(shù)列，S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(a1＋a2)2＝a1(a1＋a2＋a3＋a4)，因為a3＝5，所以(5－2d＋5－d)2＝(5－2d)(5－2d＋15)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以5＝a1＋(3－1)×2，即a1＝1，所以an＝2n－1.
答案：an＝2n－1
等差(比)數(shù)列的性質
[典型例題]
(1)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，則的值為( )
A．－
14、 B．－
C． D．－或
(2)(2019·長春質量檢測)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，則λ＝( )
A． B．
C．2 D．3
(3)(2019·福建漳州質檢改編)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且a2＋a9＋a19＝6，則a10＝________，S19＝________．
【解析】 (1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－，故選B.
(2)因為Sn是等差數(shù)列{an}的前n
15、項和，
若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，
所以由等差數(shù)列的性質得：S4，S8－S4，S12－S8成等差數(shù)列，
所以2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，
所以2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)，
解得λ＝2.
(3)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.由等差數(shù)列的通項公式可得a2＋a9＋a19＝3(a1＋9d)＝3a10＝6，所以a10＝2，由等差數(shù)列前n項和公式可得S19＝＝19a10＝38.
【答案】 (1)B (2)C (3)2 38
等差、等比數(shù)列性質問題的求解策略
抓關系
抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點
16、入手選擇恰當?shù)男再|進行求解
用性質
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數(shù)的性質解題
[對點訓練]
1．(一題多解)(2019·福建省質量檢查)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，則a33＝( )
A．82 B．97
C．100 D．115
解析：選C.通解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，則由得解得所以a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100，故選C.
優(yōu)解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a8－a5＝9，得3d＝9，即d＝3.由S8－S5＝66，得a6＋a7＋a8＝66，結合等差數(shù)列的性質知3a7
17、＝66，即a7＝22，所以a33＝a7＋(33－7)×d＝22＋26×3＝100，故選C.
2．(一題多解)(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時n的值為( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：選D.法一：設{an}的公差為d，則由題意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8>0，a9<0，所以Sn取得最大值時n的值是8，故選D.
法二：設{an}的公差為d，則由題意得，解得則Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以當n＝8時，Sn取得最大值，故選D.
3．(一題多解)已知數(shù)列{an}
18、滿足an＝若對于任意的n∈N*都有an>an＋1，則實數(shù)λ的取值范圍是________．
解析：法一：因為an>an＋1，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以解得<λ<.
所以實數(shù)λ的取值范圍是.
法二：因為an>an＋1恒成立，所以0<λ<1.
若0<λ≤，則當n<6時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列或常數(shù)列，不滿足對任意的n∈N*都有an>an＋1；
若<λ<1，則當n<6時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，當n≥6時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，又對任意的n∈N*都有an>an＋1，所以a6
19、)數(shù)列的判定與證明
[典型例題]
(2019·廣州市調研測試)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．
(1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？
【解】 (1)證明：因為a3＝7，a3＝3a2－2，所以a2＝3，
所以an＝2an－1＋1，
所以a1＝1，
＝＝2(n≥2)，
所以數(shù)列{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋1＝2n，
所以an＝2n－1，
所以Sn＝－n＝2n＋1－n－2，
所以n＋Sn－2an＝
20、n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0，
所以n＋Sn＝2an，
即n，an，Sn成等差數(shù)列．
判斷(證明)等差(比)數(shù)列應注意的問題
(1)判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明，其他方法最后都會回到定義，如證明等差數(shù)列可以證明通項公式是n的一次函數(shù)，但最后還得使用定義才能說明其為等差數(shù)列．
(2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時，不能僅僅證明an＋1＝qan，還要說明a1≠0，才能遞推得出數(shù)列中的各項均不為零，最后判定數(shù)列{an}為等比數(shù)列．
[對點訓練]
1．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－3an＝3n(n
21、∈N*)且a1＝1.
(1)設bn＝，證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
(2)設cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
解：(1)證明：由已知得an＋1＝3an＋3n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，
所以bn＋1－bn＝1，又a1＝1，所以b1＝1，
所以數(shù)列{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，bn＝＝n，所以an＝n·3n－1，cn＝，
所以Sn＝＝＝－.
2．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，對任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，數(shù)列{bn}滿足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
22、(2)判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式．
解：(1)當n＝1時，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即＝(n≥2，n∈N*)．
所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝.
(2)因為a1＝1，所以b1＝2a1＝2.
因為bn＝，
所以＝＋1，
即－＝1(n≥2)．
所以數(shù)列{}是首項為，
公差為1的等差數(shù)列．
所以＝＋(n－1)·1＝，
故數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝.
數(shù)列與新定義相交匯問題
[典型例題]
對任一實數(shù)序列A＝(a
23、1，a2，a3，…)，定義新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n項為an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有項都是1，且a12＝a22＝0，則a2＝________．
【解析】 令bn＝an＋1－an，依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差為1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，
a1＝a1，
a2－a1＝b1，
a3－a2＝b2，
…
an－an－1＝bn－1，
累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，
分別令n＝12，n＝22，
得
解得a1＝，a2＝100.
【答案】 100
數(shù)列
24、新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路
(1)閱讀審清“新定義”．
(2)結合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關知識，化歸、轉化到“新定義”的相關知識．
(3)利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識，求解證明相關結論．
[對點訓練]
1．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項公式為an＋1－an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝( )
A．2 B．2n
C．2n＋1－2 D．2n－1－2
解析：選C.因為an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a
25、1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝＝2n＋1－2.
2．(2019·福建五校第二次聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝，＝，n∈N＋，且bn＝.記Pn＝b1×b2×…×bn，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，則3n＋1Pn＋Sn＝________．
解析：因為＝＝－，所以bn＝＝－，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－.因為＝，所以bn＝＝，所以Pn＝b1×b2×…×bn＝××…×＝.又a1＝，故3n＋1Pn＋Sn＝＋－＝＝3.
答案：3
一、選擇題
1．(2019·福州市質量檢測)已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1.若數(shù)列為等差數(shù)列，
26、則a9＝( )
A． B．
C． D．－
解析：選C.因為數(shù)列為等差數(shù)列，a3＝2，a7＝1，
所以數(shù)列的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝，故選C.
2．(一題多解)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝2，S3＝－6，則S5＝( )
A．18 B．10
C．－14 D．－22
解析：選D.法一：設等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意，得，解得，所以S5＝＝－22，故選D.
法二：設等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1，令A＝，則Sn＝Aqn－A，，解得，所以Sn＝[(－2)n－1]，所以S5＝×[(－2)5－1]＝－22，故選D.
27、
3．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan 的值是 ( )
A．－ B．－1
C．－ D．
解析：選A.依題意得，a＝(－)3，3b6＝7π，所以a6＝－，b6＝，所以＝＝－，故tan＝tan＝tan＝－tan＝－，故選A.
4．(一題多解)(2019·合肥市第一次質量檢測)已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，a5＋a7－a＝0，則S11的值為( )
A．11 B．12
C．20 D．22
解析：選D.通解：設等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，則由(a1＋4d)＋(a1＋6
28、d)－(a1＋5d)2＝0，得(a1＋5d)(a1＋5d－2)＝0，所以a1＋5d＝0或a1＋5d＝2，又a1>0，所以a1＋5d>0，則a1＋5d＝2，則S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×2＝22，故選D.
優(yōu)解：因為{an}為正項等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質，并結合a5＋a7－a＝0，得2a6－a＝0，a6＝2，則S11＝＝＝11a6＝22，故選D.
5．等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n的值為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選C.由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以
29、－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－<0，a9＝>0，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C.
6．(多選)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則下列命題正確的是( )
A．數(shù)列{|an|}是等比數(shù)列
B．數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列
C．數(shù)列是等比數(shù)列
D．數(shù)列{lg a}是等比數(shù)列
解析：選ABC.因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以＝q.對于A，＝＝|q|，所以數(shù)列{|an|}是等比數(shù)列，A正確；對于B，＝q2，所以數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列，B正確；對于C，＝＝，所以數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；對于D，＝＝，不一定是常數(shù)，所以D錯誤．
二、填空題
30、
7．(2019·貴陽市第一學期監(jiān)測)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝7.當n∈N*時，an＋2是乘積an·an＋1的個位數(shù)，則a2 019＝________．
解析：a1＝3，a2＝7，a1a2＝21，a3＝1，a2a3＝7，a4＝7，a3a4＝7，a5＝7，a4a5＝49，a6＝9，a5a6＝63，a7＝3，a6a7＝27，a8＝7，a7a8＝21，a9＝1，a8a9＝7，所以數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，又2 019＝6×336＋3，所以a2 019＝a3＝1.
答案：1
8．在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”
31、的判斷：
①k不可能為0；
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0.
其中所有正確判斷的序號是________．
解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以①正確，當?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯誤；當{an}是等比數(shù)列，且公比q＝1時，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯誤；數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以④正確．
答案：①④
9．(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝f(x－1)＋1，則g(x)的圖象關于_____
32、___對稱，若an＝g＋g＋g＋…＋g(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
解析：因為f(x)＝，所以f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．因為g(x)＝f(x－1)＋1，所以g(x)的圖象關于點(1，1)對稱，若x1＋x2＝2，則有g(x1)＋g(x2)＝2，所以an＝g＋g＋g＋…＋g＝2(n－1)＋g(1)＝2n－2＋f(0)＋1＝2n－1，即an＝2n－1，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1.
答案：(1，1) an＝2n－1
三、解答題
10．(2019·昆明市診斷測試)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q<1，若a2＝2，a1＋a2
33、＋a3＝7.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和．
解：(1)由已知得，
則或(舍去)．
所以an＝4×＝23－n.
(2)因為bn＝log2an＝log223－n＝3－n，所以數(shù)列{bn}是首項為2，公差為－1的等差數(shù)列．
設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，
則Tn＝＝.
11．(2019·武漢調研)已知等差數(shù)列{an}前三項的和為－9，前三項的積為－15.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若{an}為遞增數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.
解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題意得a2＝－3，則
34、a1＝－3－d，a3＝－3＋d，
所以(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，得d2＝4，d＝±2，
所以an＝－2n＋1或an＝2n－7.
(2)由題意得an＝2n－7，所以|an|＝，
①n≤3時，Sn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝n＝6n－n2；
②n≥4時，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2.
綜上，數(shù)列{|an|}的前n項和Sn＝.
12．(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，a3＝7，且對任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，數(shù)列{bn}滿足bn＝a2
35、n－1，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)求使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值．
解：(1)令n＝1得，a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5.
又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2，
故數(shù)列{an}是首項a1＝3，公差d＝2的等差數(shù)列，
于是an＝2n＋1，bn＝a2n－1＝2n＋1.
(2)由(1)知，bn＝2n＋1.
于是b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.
令f(n)＝2n＋1＋n－2，易知f(n)是關于n的單調遞增函數(shù)，
又f(9)＝210＋9－2＝1 031，f(10)＝211＋10－2＝2 056，
故使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值是10.
- 16 -
（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習（含解析）
