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1、專題能力訓練19　概率 一、能力突破訓練 1.(2018全國Ⅱ,文5)從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務,則選中的2人都是女同學的概率為(　　) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 2.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A.710 B.58 C.38 D.310 3.(2019云南師大附中月考,8)學校足球賽決賽計劃在周三、周四、周五三天中的某一天進行,若這一天下雨,則推遲一天;若這三天都下雨,則推遲至下一周.已知這三天下雨的概率均為12,則這周能進

2、行決賽的概率為(　　) A.18 B.38 C.58 D.78 4.(2019山東青島二模,8)已知圓C:x2+y2=1和直線l:y=k(x+2),在區(qū)間(-3,3)內(nèi)隨機選取一個數(shù)k,則事件“直線l與圓C相交”發(fā)生的概率為(　　) A.15 B.14 C.13 D.12 5.如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站,假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機選一地點,則該地點無信號的概率是(　　) A.1-π4 B.π4-1 C.2-π4 D.π4 6.記函數(shù)f(x)=6+x-x2的

3、定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈D的概率是　　　　　. 7.若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m,n,則m+n≠5的概率是　　　　　.? 8.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品.若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,丙級品的概率為0.01,則對成品抽查一件抽得正品的概率為　　　　　.? 9.(2019貴州貴陽適應性考試,18)PM2.5是衡量空氣污染程度的一個指標,為了了解A市空氣質(zhì)量情況,從2018年每天的PM2.5的數(shù)據(jù)中隨機抽取40天的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示.將PM2.5的數(shù)據(jù)劃分成區(qū)間[0,100),[100,150),[150,200),

4、[200,250],分別稱為一級、二級、三級和四級,統(tǒng)計時用頻率估計概率. (1)根據(jù)2018年PM2.5的數(shù)據(jù)估計該市在2019年中空氣質(zhì)量為一級的天數(shù); (2)按照分層抽樣的方法,從樣本二級、三級、四級中抽取6天的PM2.5數(shù)據(jù),再從這6個數(shù)據(jù)中隨機抽取2個,求僅有二級天氣的概率. 10.某超市隨機選取1 000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買. 商　　品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √

5、× 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估計顧客同時購買乙和丙的概率; (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率; (3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大? 11.(2019北京,文17)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1 000名學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生

6、的支付金額分布情況如下: 支付金額 不大于2 000元 大于2 000元 支付方式 僅使用A 27人 3人 僅使用B 24人 1人 (1)估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù); (2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,求該學生上個月支付金額大于2 000元的概率; (3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元.結(jié)合(2)的結(jié)果,能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化?說明理由. 二、思維提升訓練 12.袋中共有6個除了顏

7、色外完全相同的球,其中有1個紅球、2個白球和3個黑球,從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于(　　) A.15 B.25 C.35 D.45 13.若某公司從5位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用3人,這5人被錄用的機會均等,則甲或乙被錄用的概率為(　　) A.23 B.25 C.35 D.910 14.已知某地春天下雨的概率為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計未來三天恰有一天下雨的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三個隨機數(shù)作為一組,代表未來三天是否下雨的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):90

8、7,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.據(jù)此估計,該地未來三天恰有一天下雨的概率為　　　　　.? 15.某校高二(1)班參加校數(shù)學競賽,學生成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見部分如下,據(jù)此解答如下問題: (1)求高二(1)班參加校數(shù)學競賽人數(shù)及分數(shù)在[80,90)之間的頻數(shù),并計算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高; (2)若要從分數(shù)在[80,100]之間的學生中任選兩人進行某項研究,求至少有一人分數(shù)在[90,100]之間的概率. 專

9、題能力訓練19　概率 一、能力突破訓練 1.D　解析設2名男同學為男1,男2,3名女同學為女1,女2,女3,則任選兩人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10種,其中選中兩人都為女同學共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3種,故P=310=0.3. 2.B　解析因為紅燈持續(xù)時間為40秒, 所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為40-1540=58,故選B. 3.D　解析設在這周能進行決賽為事件A,恰好在周三、周四、周五進行決賽分別為事件A3

10、,A4,A5,則A=A3∪A4∪A5. 又事件A3,A4,A5兩兩互斥, 則有P(A)=P(A3)+P(A4)+P(A5)=12+1-12×12+1-12×1-12×12=78. 4.C　解析直線l的方程為kx-y+2k=0,當直線l與圓C相交時,可得|2k|k2+1<1,解得-33

11、9　解析由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]?[-4,5],由幾何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案為59. 7.89　解析連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m,n,基本事件總數(shù)n=6×6=36, m+n=5包含的基本事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4個, 故m+n≠5的概率是1-436=89. 8.0.96　解析記“生產(chǎn)中出現(xiàn)甲級品、乙級品、丙級品”分別為事件A,B,C.則A,B,C彼此互斥,由題意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B∪C)=1-P(B)-P(C

12、)=1-0.03-0.01=0.96. 9.解(1)由樣本空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知,其頻率分布如下表: PM2.5數(shù)據(jù) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,250) 頻　率 0.125 0.125 0.375 0.25 0.125 由上表可知,如果A市維持現(xiàn)狀不變,那么該市2019年的某一天空氣質(zhì)量為一級的概率為0.25,因此在365天中空氣質(zhì)量為一級的天數(shù)約有365×0.25≈91(天). (2)在樣本中,按照分層抽樣的方法抽取6天的PM2.5數(shù)據(jù),則這6個數(shù)據(jù)中二級、三級、四級天氣的數(shù)據(jù)分別

13、有3個、2個、1個,分別記為A1,A2,A3,B1,B2,C. 從這6個數(shù)據(jù)中隨機抽取2個,基本事件為{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,C},{A3,B1},{A3,B2},{A3,C},{B1,B2},{B1,C},{B2,C},共15個基本事件,事件E為“僅有二級天氣”,包含{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}共3個基本事件,故所求概率為P(E)=315=15. 10.解(1)從統(tǒng)計表可以看出,在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙,所以顧客同時購買乙和丙的概率可以

14、估計為2001000=0.2. (2)從統(tǒng)計表可以看出,在這1000位顧客中,有100位顧客同時購買了甲、丙、丁,另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品. 所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為100+2001000=0.3. (3)與(1)同理,可得: 顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為2001000=0.2,顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為100+200+3001000=0.6, 顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為1001000=0.1. 所以,如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買丙的可能性最大. 11.解(1)由題知,樣本中僅使

15、用A的學生有27+3=30人,僅使用B的學生有24+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人. 故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人. 估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為40100×1000=400. (2)記事件C為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于2000元”,則P(C)=125=0.04. (3)記事件E為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,該學生本月的支付金額大于2000元”. 假設樣本僅使用B的學生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由(2)知,P(E)=0.04.

16、答案示例1:可以認為有變化.理由如下: P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生,一旦發(fā)生,就有理由認為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認為有變化. 答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下: 事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無法確定有沒有變化. 二、思維提升訓練 12.B　解析1個紅球、2個白球和3個黑球分別記為a1,b1,b2,c1,c2,c3.從袋中任取兩球有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c

17、1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15種;滿足兩球顏色為一白一黑的有6種,概率等于615=25. 13.D　解析記事件A:甲或乙被錄用.從5人中錄用3人,基本事件有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10種可能,而A的對立事件A僅有(丙,丁,戊)一種可能,∴A的對立事件A的概率為P(A)=110,故P(A)=1-P(A)=910. 14.0.4　解析根據(jù)題意,因為1,2,3,4表示下雨,當未來三天恰有一天下雨,就

18、是三個數(shù)字xyz中只有一個數(shù)字屬于集合{1,2,3,4},這20組數(shù)據(jù)中有以下8個數(shù)據(jù)符合題意,分別是925,458,683,257,027,488,730,537,所以其概率為820=0.4. 15.解(1)因為分數(shù)在[50,60)之間的頻數(shù)為2,頻率為0.008×10=0.08, 所以高二(1)班參加校數(shù)學競賽人數(shù)為20.08=25. 所以分數(shù)在[80,90)之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4. 頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高為425÷10=0.016. (2)設至少有一人分數(shù)在[90,100]之間為事件A. 將[80,90)之間的4人編號為1,2,3,4,[90,100]之間的2人編號為5,6. 在[80,100]之間任取兩人的基本事件為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個.其中,至少有一個在[90,100]之間的基本事件有9個. 根據(jù)古典概型概率計算公式,得P(A)=915=35. 9