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突破點8　回歸分析、獨立性檢驗 提煉1 變量的相關性 (1)正相關：在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域． (2)負相關：在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域． (3)相關系數(shù)r：當r>0時，兩變量正相關；當r<0時，兩變量負相關；當|r|≤1且|r|越接近于1，相關程度越高，當|r|≤1且|r|越接近于0，相關程度越低. 提煉2 線性回歸方程 方程＝x＋稱為線性回歸方程，其中＝，＝－.(，)稱為樣本中心點. 提煉3 獨立性檢驗 (1)確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表． (2)求觀測值：k＝. (3)根據(jù)臨界值表，作出正確判斷．如果k≥kα，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”． 回訪1　變量的相關性 1．(2015全國卷Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是(　　) 圖81 A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關 D　對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對于B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確．對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關，故選D.] 2．(2012全國卷)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為(　　) A．－1　　　 B．0　　　　 C.　　　 D．1 D　樣本點都在直線上時，其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的，即yi＝i，代入相關系數(shù)公式r＝＝1.] 3．(2015全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． 圖82 (xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)(yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，w]＝wi. (1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題： ①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ ②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－. 解]　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.2分 (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． 由于＝＝＝68， ＝－ ＝563－686.8＝100.6，4分 所以y關于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關于x的回歸方程為＝100.6＋68.6分 (3)①由(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預報值＝576.60.2－49＝66.32.8分 ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預報值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.10分 所以當＝＝6.8，即x＝46.24時，取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.12分 回訪2　獨立性檢驗 4．(2012遼寧高考)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖： 圖83 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”． (1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？ 非體育迷 體育迷 合計 男 女 10 55 合計 (2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)． 附：K2＝， P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 解]　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而22列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 2分 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得 k＝＝＝≈3.030.因為3.030<3.841，所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關.6分 (2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.8分 由題意知X～B，從而X的分布列為 X 0 1 2 3 P 10分 E(X)＝np＝3＝， D(X)＝np(1－p)＝3＝.12分 熱點題型1　回歸分析 題型分析：高考命題常以實際生活為背景，重在考查回歸分析中散點圖的作用、回歸方程的求法和應用，難度中等. 　在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5組數(shù)據(jù)，得到一個變量y關于x的回歸方程模型，其對應的數(shù)值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 (1)試作出散點圖，根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝＋m哪一個適宜作為變量y關于x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立變量y關于x的回歸方程； (3)根據(jù)(2)中所求的變量y關于x的回歸方程預測：當x＝3時，對應的y值為多少？(保留四位有效數(shù)字) 解]　(1)作出變量y與x之間的散點圖，如圖所示， 2分 由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關系， 那么y＝＋m適宜作為變量y關于x的回歸方程模型.4分 (2)由(1)知y＝＋m適宜作為變量y關于x的回歸方程模型，令t＝，則y＝kt＋m，由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表如下： t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 ……………6分 作出y與t的散點圖，如圖所示． 8分 由圖可知y與t近似地呈線性相關關系． 又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312 5， 所以k＝＝≈4.134 4，m＝－k＝7.2－4.134 41.55≈0.8， 所以y＝4.134 4t＋0.8， 所以y關于x的回歸方程為y＝＋0.8.10分 (3)由(2)得y關于x的回歸方程是y＝＋0.8， 當x＝3時，可得y＝＋0.8≈2.178.12分 1．正確理解計算，的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵．其中線性回歸方程必過樣本中心點(，)． 2．在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值． 變式訓練1]　(2016石家莊二模)為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)對價格y(單位：千元/噸)和年利潤z的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表： x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 (1)求y關于x的線性回歸方程＝x＋； (2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤z取到最大值？(保留兩位小數(shù)) 參考公式：＝＝， ＝－. 解]　(1)＝3，＝5，2分 i＝15，i＝25，iyi＝62.7，＝55， 解得＝－1.23，＝8.69，4分 所以＝8.69－1.23x.6分 (2)年利潤z＝x(8.69－1.23x)－2x＝－1.23x2＋6.69x，10分 所以當x＝2.72，即年產(chǎn)量為2.72噸時，年利潤z取得最大值.12分 熱點題型2　獨立性檢驗 題型分析：盡管全國卷Ⅰ近幾年未在該點命題，但其極易與分層抽樣、概率統(tǒng)計等知識交匯，是潛在的命題點之一，須引起足夠的重視. 　(2016山西四校第二次聯(lián)考)心理學家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男30，女20)，給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：(單位：人) 幾何題 代數(shù)題 總計 男同學 22 8 30 女同學 8 12 20 總計 30 20 50 (1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關？ (2)經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率； (3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人對她們的答題情況進行全程研究，記丙、丁2名女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E(X)． 附表及公式： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝，n＝a＋b＋c＋d. 解題指導]　計算k下結(jié)論求概率求X的分布列及E(X)． 解]　(1)由表中數(shù)據(jù)得k＝＝≈5.556>5.024，2分 所以有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關.3分 (2)設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x，y分鐘，則表示的平面區(qū)域如圖所示． 設事件A為“乙比甲先做完此道題”，則x>y滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示.5分 由幾何概型可得P(A)＝＝， 即乙比甲先解答完的概率為.7分 (3)由題可知，在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人的方法有C＝28種，其中丙、丁2人沒有一個人被抽到的有C＝15種；恰有一人被抽到的有CC＝12種；2人都被抽到的有C＝1種． 所以X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝，8分 P(X＝1)＝＝，9分 P(X＝2)＝.10分 X的分布列為： X 0 1 2 P 11分 E(X)＝0＋1＋2＝.12分 求解獨立性檢驗問題時要注意：一是22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)與公式中各個字母的對應，不能混淆；二是注意計算得到k之后的結(jié)論． 變式訓練2]　(名師押題)2016年1月1日起全國統(tǒng)一實施全面二孩政策．為了解適齡民眾對放開生育二孩政策的態(tài)度，某市選取70后和80后作為調(diào)查對象，隨機調(diào)查了100人，得到數(shù)據(jù)如下表： 生二孩 不生二孩 總計 70后 30 15 45 80后 45 10 55 總計 75 25 100 (1)以這100人的樣本數(shù)據(jù)估計該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率估計概率，若從該市70后公民中隨機抽取3人，記其中生二孩的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望； (2)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，是否有90%以上的把握認為“生二孩與年齡有關”，并說明理由． 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 參考公式：K2＝，其中 n＝a＋b＋c＋d 解]　(1)由已知得70后“生二孩”的概率為，并且X～B，所以P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，4分 X的分布列為 X 0 1 2 3 P 6分 所以E(X)＝3＝2.8分 (2)由表中數(shù)據(jù)知k＝＝≈3.030>2.706，10分 所以有90%以上的把握認為“生二孩與年齡有關”.12分