《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第29講 平面向量的數(shù)量積練習(xí) 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第29講 平面向量的數(shù)量積練習(xí) 文（含解析）新人教A版（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第29講　平面向量的數(shù)量積 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p67】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角及判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 5．會(huì)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．在四邊形ABCD中，·＝0，且＝，則四邊形ABCD是(　　) A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【解析】在四邊形ABCD中， ∵·＝0，∴AB⊥BC， ∵＝，∴AB綊DC， ∴四邊形ABCD是矩形． 故選C.

2、 【答案】C 2．已知向量a＝(1，)，b＝(t，2)，若向量b在a方向上的投影為，則實(shí)數(shù)t＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．5 【解析】根據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影的定義， 可得＝＝，解得t＝－1，故選A. 【答案】A 3．已知a，b，c都是單位向量，且a＋b＝c，則a·c的值為______． 【解析】由a＋b＝c得a－c＝－b， 兩邊平方得a2－2a·c＋c2＝(－b)2， 又a，b，c都是單位向量，所以有1－2a·c＋1＝1， 所以a·c＝. 【答案】 4．已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝2且(a＋2b)·(a－b)＝－2，則向量a與b的夾

3、角為________． 【解析】設(shè)a與b的夾角為θ. 依題意得a2－2b2＋a·b＝－2， 4－8＋4cos θ＝－2，cos θ＝. 又θ∈[0，π]，因此θ＝，即向量a與b的夾角為. 【答案】 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．兩向量的夾角 已知非零向量a，b，作＝a，＝b，則∠AOB叫作a與b的夾角． a與b的夾角的取值范圍是__[0，π]__． 當(dāng)a與b同向時(shí)，它們的夾角為__0__；當(dāng)a與b反向時(shí)，它們的夾角為__π__；當(dāng)夾角為90°時(shí)，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b. 2．向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把__|a||b|cos__θ__叫作a與b的數(shù)量積(或

4、內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0. 3．向量數(shù)量積的幾何意義 向量的投影：|a|cos θ叫作向量a在b方向上的投影，當(dāng)θ為銳角時(shí)，它是正值；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，__它是負(fù)值__；當(dāng)θ為直角時(shí)，它是零． a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于__a的長(zhǎng)度|a|__與b在a方向上的投影|b|cos θ的乘積． 4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝____ 數(shù)量積 a·b＝|a|·|b

5、|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的 關(guān)系 |a·b|≤|a|·|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2＋y1y2|≤ · 5.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 典 例 剖 析　【p68】 考點(diǎn)1　數(shù)量積的運(yùn)算 (1)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，m)，a·(a－2b)＝0，則m＝(　　) A．－2 B

6、．－1 C．1 D．2 【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入坐標(biāo)得 (3，－1)·[(3，－1)－2(1，m)]＝0， 3＋1＋2m＝0， 解得m＝－2， 所以選A. 【答案】A (2)已知四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點(diǎn)M，N滿足＝3，＝2，則·等于(　　) A．20 B．15 C．9 D．6 【解析】＝＋，＝－＝－＋，∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，故選C. 【答案】C (3)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為________；·的最大值為________．

7、【解析】以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 設(shè)E(t，0)，t∈[0，1]， 則＝(t，－1)，＝(0，－1)， 所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因?yàn)椋?1，0)， 所以·＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1， 故·的最大值為1. 【答案】1　1 【小結(jié)】(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義． (2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)再運(yùn)算，但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等

8、還是互補(bǔ)． 考點(diǎn)2　向量的模與夾角 (1)已知向量m與n滿足|m|＝1，|n|＝2，且m⊥(m＋n)，則向量m與n的夾角為________． 【解析】設(shè)m，n的夾角為θ，因?yàn)閙⊥(m＋n)，所以m·(m＋n)＝m2＋m·n＝1＋1×2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝120°. 【答案】120° (2)已知向量a，b都是單位向量，且a·b＝，則|2a－b|的值為________． 【解析】|2a－b|＝＝＝＝. 【答案】 (3)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________

9、． 【解析】設(shè)D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)C為圓心的單位圓． 又＋＋＝(－1，0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)， ∴|＋＋|＝. 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，－)之間距離的最大值． ∵圓心C(3，0)與點(diǎn)P(1，－)之間的距離為＝， 故的最大值為＋1. 【答案】＋1 【小結(jié)】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角． (2)求向量模的最值(范圍)的方法：①代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)

10、合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解． 考點(diǎn)3　平面向量的垂直 (1)已知e1與e2為兩個(gè)夾角為的單位向量， a＝e1－2e2, b＝ke1＋e2.若a·b＝0，則實(shí)數(shù)k的值為__________． 【解析】因?yàn)閑1與e2為兩個(gè)夾角為的單位向量， a＝e1－2e2, b＝ke1＋e2，a·b＝0， 所以(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke－2e＋e1·e2＝2k－＝0， 所以k＝. 【答案】 (2)已知向量，的夾角為120°，||＝5，||＝2，＝＋λ.若⊥，則λ＝________． 【解析】向量⊥，則·＝0， 即(＋λ)·(－)＝0， 整理可得－2＋(1－λ)·＋λ2＝0， 其中2

11、＝25，·＝5×2×cos 120°＝－5，2＝4， 據(jù)此有：－25＋(1－λ)×(－5)＋λ×4＝0，解得λ＝. 【答案】 【小結(jié)】平面向量的垂直關(guān)系利用向量數(shù)量積等于零，但要靈活選擇數(shù)量積的形式． 【能力提升】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 【解析】(1)因?yàn)閙＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n. 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0， 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. (2)因?yàn)閨m|＝|n|＝1，所以m·n＝co

12、s ＝， 即sin x－cos x＝， 所以sin＝， 因?yàn)?

13、向量的長(zhǎng)度，平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，兩個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩直線是否垂直． 4．a(chǎn)∥b?x1y2－x2y1＝0與a⊥b?x1x2＋y1y2＝0要區(qū)分清楚． 走 進(jìn) 高 考　　【p69】 1．(2018·北京)設(shè)向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，則m＝________． 【解析】由題意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根據(jù)向量垂直的充要條件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1. 【答案】－1 2．(2018·天津)在如圖的平面圖形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，則·的值為(　　) A．－15 B．－9 C．－6 D．0 【解析】由＝2，可知＝2，∴＝3. 由＝2，可知＝2，∴＝3， 故＝＝3，連接MN， 則BC∥MN且||＝3||.∴＝3＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3(||·||cos 120°－||2)＝－6.故選C. 【答案】C - 6 -