《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第30講 平面向量的數(shù)量積練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第30講 平面向量的數(shù)量積練習(xí) 理（含解析）新人教A版（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第30講　平面向量的數(shù)量積 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p65】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算； 4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角及判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系； 5．會(huì)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問題及力學(xué)問題． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， ∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a

2、·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 從而(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】C 2．已知向量a，b滿足|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角為π.若a⊥(a＋λb)，則實(shí)數(shù)λ＝(　　) A．1 B. C. D．2 【解析】∵a⊥，∴a·＝0，即a2＋λa·b＝0，3＋λ×2××cosπ＝0，解得λ＝. 【答案】C 3．已知點(diǎn)A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為(　　) A.B.C．－D．－ 【解析】由題意知＝(2，1)

3、，＝(5，5)，則在方向上的投影為||·cos〈，〉＝＝. 【答案】A 4．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a與b的夾角是(　　) A. B. C.D. 【解析】∵(a－b)⊥a，∴a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，|a|2－|a||b|cos θ＝0，∴2－2cos θ＝0，cos θ＝，所以θ＝. 【答案】B 5．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足＝＋，則·＝________． 【解析】因?yàn)椤ぃ健ぃ健ぃ剑?2－×12＋×12×＝－2. 【答案】－2 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．兩向量的夾角 已知非零向量a，b，作＝a，＝b，

4、則∠AOB叫做a與b的夾角． a與b的夾角的取值范圍是__[0，π]__． 當(dāng)a與b同向時(shí)，它們的夾角為__0__；當(dāng)a與b反向時(shí)，它們的夾角為__π__；當(dāng)夾角為90°時(shí)，我們說a與b垂直，記作a⊥b. 2．向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把__|a||b|cos__θ__叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0. 3．向量數(shù)量積的幾何意義 向量的投影：|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，當(dāng)θ為銳角時(shí)，它是正值；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，__它是負(fù)值__；當(dāng)θ為直角時(shí)，它是零． a

5、·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于__a的長(zhǎng)度|a|__與b在a方向上的投影|b|cos θ的乘積． 4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝____ 數(shù)量積 a·b＝|a|·|b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的 關(guān)系 |a·b|≤|a|·|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1

6、x2＋y1y2|≤ · 5.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 典例剖析　【p65】 考點(diǎn)1　平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 (1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x＝(　　) A．－1 B．－C.D．1 【解析】a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1. 【答案】D (2)已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實(shí)數(shù)k的值為________． 【解析】因?yàn)閍·b＝(e1

7、－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)(e1·e2)－2e，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－，所以k＋(1－2k)·－2＝0，解得k＝. 【答案】 (3)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 【解析】∵向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2， ∴·＝||·||cos 120°＝2×3×＝－3. ∵＝λ＋，且⊥， ∴·＝·＝·＝0， 即λ·－·＋||2－λ||2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得λ＝. 【答案】 (4)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，中心為O，直線l經(jīng)過中心O，交AB于M，交C

8、D于N, P為平面上一點(diǎn)，且2＝λ＋(1－λ)，則·的最小值是(　　) A．－B．－1 C．－D．－2 【解析】由題意可得： ·＝ ＝(42－42)＝2－2， 設(shè)2＝，則＝λ＋(1－λ)， ∵λ＋(1－λ)＝1，∴Q，B，C三點(diǎn)共線． 當(dāng)MN與BD重合時(shí)，最大，且max＝2， 據(jù)此：(·)min＝－2＝－. 【答案】C 【點(diǎn)評(píng)】向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法 方法 運(yùn)用提示 適用題型 定義法 當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題 坐標(biāo)法 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，

9、即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2 適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題 考點(diǎn)2　平面向量的夾角與垂直問題 已知a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb(λ∈R)． (1)λ為何值時(shí)，|c|最??？此時(shí)c與b的位置關(guān)系如何？ (2)λ為何值時(shí)，c與a的夾角最小？此時(shí)c與a的位置關(guān)系如何？ 【解析】(1)c＝(1－3λ，2＋4λ)， |c|2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4， 當(dāng)λ＝－時(shí)， |c|最小，此時(shí)c＝， b·c＝(－3，4)·＝0，∴b⊥c， ∴當(dāng)λ＝－時(shí)， |c|最小，此時(shí)b

10、⊥c. (2)設(shè)c與a的夾角為θ，則cos θ＝＝＝， 要c與a的夾角最小，則cos θ最大， ∵0≤θ≤π，故cos θ的最大值為1，此時(shí)θ＝0， cos θ＝1，＝1，解之得λ＝0，c＝(1，2)． ∴λ＝0時(shí)，c與a的夾角最小，此時(shí)c與a平行． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算．求解兩個(gè)向量之間的夾角的步驟：第一步，先計(jì)算出兩個(gè)向量的數(shù)量積；第二步，分別求出這兩個(gè)向量的模；第三步，根據(jù)公式cos〈a，b〉＝，求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值；第四步，根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍在[0，π]內(nèi)及其余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角．其中當(dāng)向量的夾角為銳角時(shí)a·b>0，且兩向量不共線，

11、當(dāng)向量的夾角為鈍角時(shí)a·b<0，且兩向量不共線． 考點(diǎn)3　平面向量的模及其應(yīng)用 (1)已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C.D. 【解析】由(a－c)·(b－c)＝0，得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，因?yàn)閍與b垂直，所以a·b＝0，進(jìn)而可得c2＝(a＋b)·c，即|c|2＝|a＋b||c|cos θ，又由a、b為互相垂直的兩個(gè)單位向量可知|a＋b|＝.所以|c|＝cos θ，|c|∈，即|c|的最大值為. 【答案】C (2)已知|a|＝4，e為單位向量，當(dāng)a、e的夾角為時(shí)，a＋e在a

12、－e上的投影為(　　) A．5 B. C.D. 【解析】由題設(shè)＝＝，(a＋e)·(a－e)＝42－12＝15，所以＝＝. 【答案】D 【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解向量在另一個(gè)向量上的投影的概念．求解時(shí)先求兩個(gè)向量a＋e和a－e的模及數(shù)量積的值，然后再運(yùn)用向量的射影的概念，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，從而使得問題獲解． 在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)． (1)求向量，夾角的大??； (2)若動(dòng)點(diǎn)D滿足||＝1，求|＋＋|的最大值． 【解析】(1)因?yàn)锳(－1，0)，B(0，)，C(3，0)， 所以＝(4，0)，＝(3，－)， 所以cos〈，

13、〉＝＝， 所以向量，的夾角為30°. (2)因?yàn)镃的坐標(biāo)為(3，0)且|CD|＝1，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以C為圓心的單位圓，則D的坐標(biāo)滿足參數(shù)方程(θ為參數(shù)且θ∈[0，2π))，所以設(shè)D的坐標(biāo)為(3＋cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，則|＋＋|＝＝. 因?yàn)?cos θ＋sin θ的最大值為＝，所以|＋＋|的最大值為＝＝1＋. 【點(diǎn)評(píng)】平面向量數(shù)量積求向量的模的策略 ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，則|a|＝. 方法總結(jié)　　【p66】 1．要準(zhǔn)確理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的五個(gè)重要性質(zhì)及三個(gè)運(yùn)

14、算規(guī)律．向量的數(shù)量積的運(yùn)算不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，數(shù)量積不滿足結(jié)合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·c/ b＝c；a·b＝0/ a＝0或b＝0，但滿足交換律和分配律． 2．公式a·b＝|a||b|cos θ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的關(guān)系非常密切，必須能夠靈活綜合運(yùn)用． 3．通過向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度，平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，兩個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩直線是否垂直． 4．a(chǎn)∥bx1y2－x2y1＝0與a⊥bx1x2＋y1y2＝0要區(qū)分清楚． 走進(jìn)高考　　【p66】 1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝

15、1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 【解析】因?yàn)閍·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3. 【答案】B 2．(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C．2 D．2－ 【解析】法一：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓．因?yàn)閍與e

16、的夾角為，所以不妨令點(diǎn)A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|a－b|min＝||－||＝－1. 法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0. 設(shè)b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中點(diǎn)為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖．設(shè)a＝，作射線OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1. 【答案】A 3．(2017·山東)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是______

17、__． 【解析】(e1－e2)·(e1＋λe2)＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ， |e1－e2|＝＝＝2， |e1＋λe2|＝＝＝， ∴－λ＝2××cos 60°＝，解得λ＝. 【答案】 考點(diǎn)集訓(xùn)　　【p210】 A組題 1．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，則·＝(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 【解析】法一：因?yàn)閏os A＝，所以·＝||||·cos A＝AC2＝16. 法二：在上的投影為||cos A＝||，故·＝||·||cos A＝AC2＝16. 【答案】D 2．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(c

18、os 15°，sin 15°)，則向量a與向量b的夾角為(　　) A．90° B．0°C．45° D．60° 【解析】cos θ＝＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos 60°，所以θ＝60°. 【答案】D 3．已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a與b的夾角為45°，若c＝a＋b，d＝a－b，則c在d方向上的投影為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 【解析】∵a·b＝|a|·|b|cos 45°＝1××＝1， |d|＝|a－b|＝＝＝＝1， c·d＝a2－b2＝－1， ∴|c|cos θ＝＝＝－1. 【答案】D 4．若向量|a

19、|＝，|b|＝1，|c|＝，且a·b＝0，則a·c＋b·c的最大值是(　　) A．1 B.C.D．3 【解析】a·c＋b·c＝(a＋b)·c＝·cos〈a＋b，c〉≤3，選D. 【答案】D 5．在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，則·的值為________． 【解析】∵S△ABC＝＝×4×1×sin A，∴sin A＝，∴cosA＝±，∴·＝4×1×＝±2. 【答案】±2 6．已知向量，的夾角是120°，且||＝2，||＝3，若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值是________． 【解析】＝－，∵⊥， ∴·＝0·＝0， 即－λ2＋2＋·＝0，① ∵2＝4，2

20、＝9，·＝·cos∠BAC＝－3， ∴①式變?yōu)椋海?λ＋9－3＝0，解得λ＝. 【答案】 7．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°. (1)計(jì)算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|； (2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a＋2b)⊥(ka－b)． 【解析】由已知得a·b＝4×8×＝－16. (1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4. ②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝16. (2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)

21、＝0， ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7. 即k＝－7時(shí)，a＋2b與ka－b垂直． 8．已知平面上三點(diǎn)A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4)． (1)若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件； (2)若△ABC為直角三角形，求k的值． 【解析】(1)由A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，得A，B，C在同一直線上，即向量與平行， ∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝. (2)∵＝(2－k，3)，∴＝(k－2，－3)， ∴＝＋＝(k，1)．若△ABC為直角三角形， 則當(dāng)A是直角時(shí)，⊥，即·＝0， ∴2

22、k＋4＝0，解得k＝－2； 當(dāng)B是直角時(shí)，⊥，即·＝0， ∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1； 當(dāng)C是直角時(shí)，⊥，即·＝0， ∴16－2k＝0，解得k＝8. 綜上得k的值為－2，－1，3，8. B組題 1．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，則·的值為(　　) A．－B．－ C.D. 【解析】在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，＝2，＝3， ∴·＝· ＝||2－||2－· ＝×4－×4－×2×2×＝－. 【答案】A 2．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝，則·的取值范圍是

23、(　　) A. B. C. D. 【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(3，0)，B(0，3)， ∴AB所在直線的方程為＋＝1，則y＝3－x. 設(shè)M(a，3－a)，N(b，3－b)，且0≤a≤3，0≤b≤3，不妨設(shè)a＞b，∵M(jìn)N＝， ∴(a－b)2＋(b－a)2＝2，∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2， ∴·＝(a，3－a)·(b，3－b)＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3)＝2(b－1)2＋4， 又0≤b≤2， ∴當(dāng)b＝0或b＝2時(shí)有最大值6；當(dāng)b＝1時(shí)有最小值4， ∴·的取值范圍是[4，6]． 【答案】D 3．已知

24、向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求x與y之間的關(guān)系式； (2)在(1)的條件下，若⊥，求x，y的值及四邊形ABCD的面積． 【解析】(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， ∴＝－＝(－x－4，2－y)， 又∥且＝(x，y)， ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.?、? (2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)， ＝＋＝(x－2，y－3)， 又⊥，∴·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.?、? 聯(lián)立①②，化簡(jiǎn)得y2－2y－3＝0. 解得y＝3或y＝－1. 故當(dāng)y＝3時(shí)，x＝－6， 此時(shí)＝(0，4)，＝(－8，0

25、)， ∴S四邊形ABCD＝||·||＝16； 當(dāng)y＝－1時(shí)，x＝2， 此時(shí)＝(8，0)，＝(0，－4)， ∴S四邊形ABCD＝||·||＝16. 4．已知向量a，b夾角為，|b|＝2，且對(duì)任意x∈R，有|b＋xa|≥|a－b|.求|tb－a|＋|tb－|(t∈R)的最小值． 【解析】向量a，b夾角為，|b|＝2，對(duì)任意x∈R，有|b＋xa|≥|a－b|， 兩邊平方整理可得x2a2＋2xa·b－(a2－2a·b)≥0， 則Δ＝4(a·b)2＋4a2(a2－2a·b)≤0，即有(a2－a·b)2≤0，即a2＝a·b， 則(a－b)⊥a，由向量a，b夾角為，|b|＝2， 由a2＝a·b＝|a|·|b|·cos，即有|a|＝1， 則|a－b|＝＝， 畫出＝a，＝b，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示． 則A(1，0)，B(0，)，∴a＝(－1，0)，b＝(－1，)． ∴|tb－a|＋ ＝＋ ＝＋ ＝2 表示P(t，0)與M，N的距離之和的2倍， 當(dāng)M，P，N共線時(shí)，取得最小值2|MN|. 即有2|MN|＝2＝. 備課札記 17