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1、第三節(jié) 圓的方程
A組 基礎(chǔ)題組
1.以M(1,0)為圓心,且與直線x-y+3=0相切的圓的方程是( )
A.(x-1)2+y2=8 B.(x+1)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=16 D.(x+1)2+y2=16
答案 A 因為所求圓與直線x-y+3=0相切,所以圓心M(1,0)到直線x-y+3=0的距離為該圓的半徑r,即r=|1-0+3|2=22,所以所求圓的方程為(x-1)2+y2=8.故選A.
2.圓(x-3)2+(y-1)2=5關(guān)于直線y=-x對稱的圓的方程為( )
A.(x+3)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y-3)2=5
C.(x+1)2+(
2、y+3)2=5 D.(x-1)2+(y+3)2=5
答案 C 由題意知,所求圓的圓心坐標為(-1,-3),所以所求圓的方程為(x+1)2+(y+3)2=5,故選C.
3.(2019四川成都模擬)若拋物線y=x2-2x-3與坐標軸的交點在同一個圓上,則該圓的方程為( )
A.x2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+y2=4 D.(x-1)2+(y+1)2=5
答案 D 拋物線y=x2-2x-3關(guān)于直線x=1對稱,與坐標軸的交點為A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),設(shè)圓心坐標為M(1,b),可得|MA|2=|MC|2=r2,即4+b2=1
3、+(b+3)2=r2,解得b=-1,r=5,∴所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5,故選D.
4.若圓C與y軸相切于點P(0,1),與x軸的正半軸交于A,B兩點,且|AB|=2,則圓C的標準方程是( )
A.(x+2)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=2
答案 C 設(shè)AB的中點為D,則|AD|=|CD|=1,∴r=|AC|=2,∴C(2,1),∴所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=2.故選C.
5.已知P(x,y)是圓x2+(y-3)2=a2(a>0)上的動點,定點A(2,0)
4、,B(-2,0),△PAB的面積的最大值為8,則a的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A 要使△PAB的面積最大,只需點P到直線AB的距離最大.
由于AB的方程為y=0,圓心(0,3)到直線AB的距離d=3,
故P到直線AB的距離的最大值為3+a.
再根據(jù)AB=4,可得△PAB面積的最大值為12AB·(3+a)=2(3+a)=8,所以a=1,故選A.
6.已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D,且|CD|=410.
(1)求直線CD的方程;
(2)求圓P的方程.
解析 (1)由已知得直線AB的斜率k=1,
5、AB的中點坐標為(1,2),則直線CD的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)設(shè)圓心P(a,b),
則由P在CD上得a+b-3=0.①
又∵直徑|CD|=410,
∴|PA|=210,
∴(a+1)2+b2=40.②
由①②解得a=-3,b=6或a=5,b=-2,
∴圓心為P(-3,6)或P(5,-2),
∴圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
7.(2018課標全國Ⅱ,20,12分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求
6、過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.
解析 (1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=k(x-1),y2=4x消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.
由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
因此l的方程為y=x-1.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線的方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.
設(shè)所求圓的圓心
7、坐標為(x0,y0),
則y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.
因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
B組 提升題組
1.自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點P(x,y)引該圓的一條切線,切點為Q,PQ的長度等于點P到原點O的距離,則點P的軌跡方程為( )
A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0
C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0
答案 D 由題意得,圓心C的坐標為(3,-4),半徑r=2,如圖.
因為|PQ
8、|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2.
所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,
即6x-8y-21=0,
所以點P的軌跡方程為6x-8y-21=0,故選D.
2.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若此方程表示圓,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M,N兩點,且OM⊥ON(O為坐標原點),求m的值;
(3)在(2)的條件下,求以MN為直徑的圓的方程.
解析 (1)由D2+E2-4F>0得(-2)2+(-4)2-4m>0,
解得m<5.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由x+2y-4
9、=0得x=4-2y.將x=4-2y代入x2+y2-2x-4y+m=0,得5y2-16y+8+m=0,所以y1+y1=165,y1y2=8+m5.因為OM⊥ON,所以y1x1·y2x2=-1,即x1x2+y1y2=0.因為x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2,所以x1x2+y1y2=16-8(y1+y2)+5y1y2=0,即(8+m)-8×165+16=0,解得m=85.
(3)設(shè)所求圓的圓心C的坐標為(a,b),則a=12(x1+x2)=45,b=12(y1+y2)=85,半徑r=|OC|=455,所以所求圓的方程為x-452+y-852=165.
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10、.在平面直角坐標系xOy中,曲線Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A,B,曲線Γ與y軸交于點C.
(1)是否存在以AB為直徑的圓過點C?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請說明理由;
(2)求證:過A,B,C三點的圓過定點.
解析 曲線Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,即x2-mx+2m=0.
設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則Δ=m2-8m>0,x1+x2=m,x1x2=2m.
令x=0,即y=2m,即C(0,2m).
(1)若存在以AB為直徑的圓過點C,則AC·BC=0,即x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0或m=-12.
由Δ>0得m<0或m>8,所以m=-12,
此時C(0,-1),AB的中點M-14,0即圓心,半徑r=|CM|=174,
故所求圓的方程為x+142+y2=1716.
(2)證明:設(shè)過A,B兩點的圓的方程為x2+y2-mx+Ey+2m=0,
將點C(0,2m)代入可得E=-1-2m,
所以過A,B,C三點的圓的方程為x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,
整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.
令x2+y2-y=0,x+2y-2=0,可得x=0,y=1或x=25,y=45,
故過A,B,C三點的圓過定點(0,1)和25,45.
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