《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題22 不等式選講練習(xí) 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題22 不等式選講練習(xí) 理（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、22　不等式選講 1.已知函數(shù)f(x)=m-|x-3|,m∈R,不等式f(x)>2的解集為{x|22,得m-|x-3|>2, 所以5-m2的解集為(2,4), 所以5-m=2且m+1=4,解得m=3.　 (2)關(guān)于x的不等式|x-a|≥f(x)恒成立,等價(jià)于|x-a|+|x-3|≥3恒成立, 即|a-3|≥3恒成立,解得a≥6或a≤0. 2.已知函數(shù)f(x)=|x+

2、m|+|2x-1|. (1)當(dāng)m=-1時(shí),求不等式f(x)≤2的解集; (2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含34,2,求m的取值范圍. 解析?　(1)當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=|x-1|+|2x-1|, 當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=3x-2≤2,解得1≤x≤43; 當(dāng)12

3、m≤x≤2-m. 由題意知f(x)≤|2x+1|在34,2上恒成立, 所以-2-m≤34且2-m≥2,解得-114≤m≤0, 因此m的取值范圍為-114,0. 3.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)>1的解集; (2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍. 解析?　(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x+1|-|2x-1|, 即f(x)=x-2,x≤-1,3x,-11得x-2>1,x≤-1或3x>1,-11,x≥12,解得13

4、故不等式f(x)>1的解集為x|13x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí),|ax-1|<1成立. 若a≤0,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),|ax-1|≥1,不合題意; 若a>0,由|ax-1|<1,解得00,b>0,a2+b2=a+b.證明: (1)(a+b)2≤2(a2+b2); (2)(a+1)(b+1)≤4. 解析?　(1)因?yàn)?a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)2≤0, 所以(a+b)2≤2(a2+b

5、2). (2)由(1)及a2+b2=a+b,得0

6、≤-1; 當(dāng)0

7、:①求零點(diǎn);②劃分區(qū)間,去絕對值符號;③分段解不等式;④求各段的并集.此外,還常用絕對值的幾何意義,結(jié)合數(shù)軸直觀求解. 已知函數(shù)f(x)=|2x+a|-|x-1|. (1)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f(x)>2; (2)當(dāng)a=0時(shí),不等式f(x)>t2-t-7對x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解析?　(1)當(dāng)a=1時(shí),由f(x)>2得|2x+1|-|x-1|>2, 故有x<-12,-2x-1+x-1>2或-12≤x≤1,2x+1+x-1>2或x>1,2x+1-(x-1)>2, 即x<-4或231, 即x<-4或x>23, 故原不等式的解集為x|x<-4或x>23

8、. (2)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=|2x|-|x-1|=-x-1,x<0,3x-1,0≤x≤1,x+1,x>1, 由函數(shù)f(x)的圖象(圖略)知,f(x)min=f(0)=-1. 由-1>t2-t-7得t2-t-6<0,解得-2

9、16a2. 因?yàn)閎2+2bc+c2≤2(b2+c2), 當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號, 所以16a2≤2(b2+c2),所以8≤a2(b2+c2), 即a2(b2+c2)≥8. (2)因?yàn)閍(b+c)=4,所以ab+ac=4. 因?yàn)閍b≤a2+b22,ac≤a2+c22, 所以ab+ac≤a2+b22+a2+c22, 即ab+ac≤2a2+b2+c22,即4≤2a2+b2+c22, 所以2a2+b2+c2≥8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=±2時(shí)取等號. 所以原命題得證. 　　(1)證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法和反證法,其中比較法和綜合法是基礎(chǔ),且綜合法證明的關(guān)鍵是找

10、到證明的切入點(diǎn). (2)當(dāng)較難發(fā)現(xiàn)要證的不等式的條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí),可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的命題,那么考慮用反證法. 已知a>0,b>0,且a2+b2=1,證明: (1)4a2+b2≥9a2b2; (2)(a3+b3)2<1. 解析?　(1)∵a2+b2=1,∴4a2+b2=(4a2+b2)(a2+b2)=4a4+b4+5a2b2≥4a2b2+5a2b2=9a2b2, 當(dāng)且僅當(dāng)b2=2a2=23時(shí)取得等號, ∴4a2+b2≥9a2b2. (2)∵a>0,b>

11、0,∴a,b∈(0,1), ∴a30的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析?　(1)∵f(x)=|x+2|+|x-1|≥|x+2-(x-1)|=3, ∴函數(shù)f(x)的最小值為3,此時(shí)x的取值范圍為[-2,1]. (2)不等式f(x)+ax-1>0的解集為R,等價(jià)

12、于f(x)>-ax+1成立時(shí),即函數(shù)f(x)的圖象恒位于直線y=-ax+1的上方. ∵f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x<-2,3,-2≤x≤1,2x+1,x>1, 又函數(shù)y=-ax+1表示過點(diǎn)(0,1),斜率為-a的一條直線,如圖所示, ∴由題意可知,3-1-2-0<-a<3-11-0,解得-2

13、,須有f(x)maxm恒成立,須有f(x)min>m;③不等式的解集為R,即不等式恒成立;④不等式的解集為空集,即不等式無解. 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R. (1)若不等式f(x)≤2-|x-1|有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)當(dāng)a<2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為3,求實(shí)數(shù)a的值. 解析?　(1)由f(x)≤2-|x-1|,得x-a2+|x-1|≤1. 由絕對值的幾何意義知x-a2+|x-1|≥a2-1. ∵不等式f(x)≤2-|x-1|有解, ∴a2-1≤1,解得0≤a≤4. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,4]. (2)函數(shù)f(x)

14、=|2x-a|+|x-1|的零點(diǎn)為a2和1,當(dāng)a<2時(shí),a2<1, ∴f(x)=-3x+a+1x1), 　　 作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖可知f(x)在-∞,a2上單調(diào)遞減,在a2,+∞上單調(diào)遞增, ∴f(x)min=fa2=-a2+1=3,解得a=-4<2(符合題意),∴實(shí)數(shù)a的值為-4. 1.已知函數(shù)f(x)=x2+|x-2|. (1)解不等式f(x)>2|x|. (2)若f(x)≥a2+2b2+3c2對任意x∈R恒成立,求證:ac+2bc≤78. 解析?　(1) f(x)>2|x|?x2+|x-2|>2|x|?x≥

15、2,x2+x-2>2x或02x或x≤0,x2+2-x>-2x?x>2或02或x<1, 所以不等式f(x)>2|x|的解集為(-∞,1)∪(2,+∞). (2)當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x2+x-2≥4; 當(dāng)x<2時(shí),f(x)=x2-x+2=x-122+74≥74. 所以f(x)的最小值為74. 因?yàn)閒(x)≥a2+2b2+3c2對任意x∈R恒成立, 所以a2+2b2+3c2≤74. 又a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)≥2ac+4bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號成立, 所以ac+2bc≤78. 2.若a>0,b>0,a+

16、b=1.求證: (1)1a+41+b≥92; (2)2a+1+2b+1≤22. 解析?　(1)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1=12[a+(b+1)], ∴1a+41+b=121a+41+b[a+(b+1)]=125+b+1a+4ab+1≥92, 當(dāng)且僅當(dāng)b+1=2a,即a=23,b=13時(shí),等號成立. (2)(分析法)要證2a+1+2b+1≤22, 只需證2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)≤8, ∵a>0,b>0,a+b=1, ∴只需證(2a+1)(2b+1)≤2. 由基本不等式可得(2a+1)(2b+1)≤(2a+1)+(2b+1)2=2, 由此逆推

17、而上,則不等式2a+1+2b+1≤22成立. 3.已知函數(shù)f(x)=|ax-1|. (1)當(dāng)a=3時(shí),解不等式f(x)≥|x+1|; (2)若關(guān)于x的不等式f(x)+f(-x)<|m-1|有實(shí)數(shù)解,求m的取值范圍. 解析?　(1)當(dāng)a=3時(shí),f(x)≥|x+1|化為|3x-1|≥|x+1|, 兩邊平方得9x2-6x+1≥x2+2x+1,即8x(x-1)≥0,解得x≤0或x≥1, 所以原不等式的解集為(-∞,0]∪[1,+∞). (2)f(x)+f(-x)<|m-1|等價(jià)于|ax-1|+|-ax-1|<|m-1|, 因?yàn)閨ax-1|+|-ax-1|≥|ax-1-ax-1|=2,所

18、以f(x)+f(-x)的最小值為2, 因?yàn)椴坏仁絝(x)+f(-x)<|m-1|有實(shí)數(shù)解, 所以2<|m-1|,即m-1<-2或m-1>2, 解得m<-1或m>3. 4.已知函數(shù)f(x)=|tx-3|+|x-1|(t為常數(shù)). (1)當(dāng)t=4時(shí),求不等式f(x)≥2的解集; (2)當(dāng)t=1時(shí),若函數(shù)f(x)的最小值為M,正數(shù)a,b滿足2a+8b=M,證明:a+b≥9. 解析?　(1)當(dāng)t=4時(shí),f(x)≥2等價(jià)于|4x-3|+|x-1|≥2. ①當(dāng)x≥1時(shí),4x-3+x-1≥2,∴x≥65; ②當(dāng)34

19、34時(shí),3-4x+1-x≥2,∴5x≤2,∴x≤25. 綜上,不等式f(x)≥2的解集為x|x≤25或x≥65. (2)當(dāng)t=1時(shí),f(x)=|x-3|+|x-1|≥|(x-3)-(x-1)|=2, ∴2a+8b=M=2,即1a+4b=1, ∴a+b=(a+b)·1a+4b=5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=6時(shí),等號成立. 5.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-1|. (1)求不等式f(x)≤5的解集; (2)若函數(shù)g(x)=x2-2x+|a2-3|的最小值不小于f(x)的最小值,求a的取值范圍. 解析?　(1)由f(x)≤5,得|x-2|+|x-

20、1|≤5, ∴x>2,2x-3≤5或1≤x≤2,1≤5或x<1,3-2x≤5, 解得2-2,

21、g(x)=x2+2ax+74,若對于x∈-1,a2,都有f(x)≥g(x)成立,求a的取值范圍. 解析?　(1)當(dāng)a=6時(shí),f(x)=|2x+4|+|2x-6|,f(x)≥12等價(jià)于|x+2|+|x-3|≥6. 因?yàn)閨x+2|+|x-3|=2x-1,x>3,5,-2≤x≤3,-2x+1,x<-2, 所以|x+2|+|x-3|≥6等價(jià)于x>3,2x-1≥6或-2≤x≤3,5≥6或x<-2,-2x+1≥6, 解得x≥72或x≤-52, 所以不等式f(x)≥12的解集為x|x≤-52或x≥72. (2)當(dāng)a>-2,且x∈-1,a2時(shí),f(x)=2x+4-(2x-a)=4+a, 所以f(x)≥g(x),即4+a≥g(x). 又g(x)=x2+2ax+74的最大值必為g(-1),ga2之一, 所以4+a≥114-2a,4+a≥54a2+74,即3a≥-54,54a2-a-94≤0, 解得-512≤a≤95, 所以a的取值范圍為-512,95. 9