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1、全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集 第十一講 勾股定理與應用 　　在課內我們學過了勾股定理及它的逆定理． 　　勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即 a2+b2=c2． 　　勾股定理逆定理 如果三角形三邊長a，b，c有下面關系： a2+b2=c2 　　那么這個三角形是直角三角形． 　　早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法． 　　關于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的．下面的證法1是歐幾里得證法． 　　證法1 如圖2-16所示．在Rt△ABC的外側，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACF

2、G，它們的面積分別是c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和． 　　過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因為 AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG， 　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而 　 　　所以 SAEML=b2． ① 　　同理可證 SBLMD=a2． ② 　　①+②得 SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2， 　　即 c2=a2+b2． 　　證法2 如圖2-17所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b

3、，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 　　所以 　　AG=GH=HB=AB=c， 　　∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 　　因此，AGHB為邊長是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即 　　化簡得 a2+b2=c2． 　 　　證法3 如圖2-18．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF， DH分別垂直EG于F

4、，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等： △AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB． 　　設五邊形ACKDE的面積為S，一方面 　　S=SABDE+2S△ABC， ① 　　另一方面 　　S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ② 　　由①，② 　　 　　所以 c2=a2+b2． 　　關于勾股定理，在我國古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習題中展示其中一小部分，它們都以中國古代數(shù)學家的名字命名． 　　利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個更一般的結論． 　　定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加

5、上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍． 　　證 (1)設角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D， 則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中， 　　AB2=AD2+BD2， ① 　　在直角三角形ACD中， 　　AD2=AC2-CD2， ② 　　又 　　BD2=(BC-CD)2， ③ 　?、冢鄞擘俚? 　　AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2 　　　=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD 　　　=AC2+BC2-2BC·CD， 　　即 　　c2=a2+b2-2a·CD． ④ 　　(2)設角C為鈍角，如圖

6、2-20所示．過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影．在直角三角形ABD中， 　　AB2=AD2+BD2， ⑤ 　　在直角三角形ACD中， 　　AD2=AC2-CD2， ⑥ 　　又 　　BD2=(BC+CD)2， ⑦ 　　將⑥，⑦代入⑤得 　　AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2 　　　=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD 　　　=AC2+BC2+2BC·CD， 　　即 　　c2=a2+b2+2a·cd． ⑧ 　　綜合④，⑧就是我們所需要的結論 　　 　　特別地，當∠C=90°時，CD=0，上述結論正是勾股定理的

7、表述： c2=a2+b2． 　　因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)． 　　由廣勾股定理我們可以自然地推導出三角形三邊關系對于角的影響．在△ABC中， 　　(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°； 　　(2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90°； 　　(3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90°． 　　勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內部的邊角關系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應用． 　　例1 如圖2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2

8、． 　　分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應有AF=AB，這啟發(fā)我們去證明△ABE≌△AFE． 　　證 因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以 Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)， 　　所以 AF=AB． ① 　　在Rt△AGF中，因為∠FAG=45°，所以 AG=FG， 　　AF2=AG2+FG2=2FG2． ② 　　由①，②得 AB2=2FG2． 　　說明 事實上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應使我們意識到兩個直角三角形△AFE與△

9、ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進行證明了． 　　例2 如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)． 　　證 過A引AD⊥BC于D(不妨設D落在邊BC內)．由廣勾股定理，在△ABM中， 　　AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ① 　　在△ACM中， 　　AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ② 　　①+②，并注意到MB=MC，所以 　　AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③ 　　如果設△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應邊上的中線長分別為ma，

10、mb，mc，由上述結論不難推出關于三角形三條中線長的公式． 　　推論 △ABC的中線長公式： 　　　 　　 　　　 　　說明 三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其中一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項，獲得中線公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長． 　　例3 如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍． 　　分析 如圖2-23所示．對角線中點連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結論，不難證明本題． 　　證 設四邊形ABCD對角線AC，

11、BD中點分別是Q，P．由例2，在△BDQ中， 　　即 　　2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ① 　　在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以 　　 　　在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以 　　 　　將②，③代入①得 　　 　　=4PQ2+BD2， 　　即 AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2． 　　說明 本題是例2的應用．善于將要解決的問題轉化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知的方法．下面，我們再看兩個例題，說明這種轉化方法的應用． 　　例4 如圖2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC

12、，AC上的任意一點．求證：AD2+BE2=AB2+DE2． 　　分析 求證中所述的4條線段分別是4個直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手． 　　證 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以 　　AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2 　　例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍． 　　如圖2-25所示．設直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線．求證： 4(AM2+BN2)=5AB2． 　 　　分析 由于AM，BN，AB均可看作某個直角三角形的斜邊，因此，仿例4

13、的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況——即M，N分別是所在邊的中點，那么可直接利用例4的結論，使證明過程十分簡潔． 　　證 連接MN，利用例4的結論，我們有 AM2+BN2=AB2+MN2， 　　所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ① 　　由于M，N是BC，AC的中點，所以 　　所以 4MN2=AB2． ② 　　由①，② 4(AM2+BN2)=5AB2． 　　說明 在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會知道中位線的基本性質：“MN∥AB且MN=圖2-26所示．MN是△ABC的一條中位線，設△ABC的面積為S．由于M，N分別是所在

14、邊的中點，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN． 練習十一 　　1．用下面各圖驗證勾股定理(虛線代表輔助線)： 　　(1)趙君卿圖(圖2-27)； 　　(2)項名達圖(2-28)； 　　(3)楊作枚圖(圖2-29)． 　　2．已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內的任意一點，求證：PA2+PC2=PB2+PD2． 　 　　(提示：應分三種情形加以討論，P在矩形內、P在矩形上、P在矩形外，均有這個結論．) 　　3．由△ABC內任意一點O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)．求證： AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2． 　　4．如圖2-30所示．在四邊形ADBC中，對角線AB⊥CD．求證：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？證明你的結論． 　　5．如圖2-31所示．從銳角三角形ABC的頂點B，C分別向對邊作垂線BE，CF．求證： BC2=AB·BF+AC·CE．