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△＜0時，方程沒有實數(shù)根 2．反過來說也是成立的 17.4 一元二次方程的應(yīng)用 1．一般來說，如果二次三項式（）通過因式分解得=；、是一元二次方程的根 2．把二次三項式分解因式時； 如果≥0，那么先用公式法求出方程的兩個實數(shù)根，再寫出分解式 如果＜0，那么方程沒有實數(shù)根，那此二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式 3． 實際問題：設(shè)，列，解，答 第十八章 正比例函數(shù)和反比例函數(shù) 18.1．函數(shù)的概念 1．在問題研究過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保持數(shù)值不變的量叫做常量 2．在某個變化過程中有兩個變量，設(shè)為x和y，如果在變量x的允許取之范圍內(nèi)，變量y隨變量x的變化而變化，他們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量y叫做變量x的函數(shù)，x叫做自變量 3．表達兩個變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學是自稱為函數(shù)解析式 4．函數(shù)的自變量允許取之的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域；如果變量y是自變量x的函數(shù)，那么對于x在定義域內(nèi)去頂?shù)囊粋€值a，變量y的對應(yīng)值叫做當x=a時的函數(shù)值 18.2 正比例函數(shù) 1． 如果兩個變量每一組對應(yīng)值的比是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成正比例 2．正比例函數(shù):解析式形如y=kx（k是不等于零的常數(shù)）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，氣質(zhì)常數(shù)k叫做比例系數(shù)；正比例函數(shù)的定義域是一切實數(shù) 3．對于一個函數(shù)，如果一個圖形上任意一點的坐標都滿足關(guān)系式，同時以這個函數(shù)解析式所確定的x與y的任意一組對應(yīng)值為坐標的點都在圖形上，那么這個圖形叫做函數(shù)的圖像 4．一般地，正比例函數(shù)的圖像時經(jīng)過原點O（0,0）和點（1，k）的一條直線，我們把正比例函數(shù)的圖像叫做直線 5． 正比例函數(shù)有如下性質(zhì)： （1）當k＜0時，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過一、三象限，自變量x的值逐漸增大時，y的值也隨著逐漸增大 （2）當k＜0時 ，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過二、四象限，自變量x的值逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減小 18.3 反比例函數(shù) 1．如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成反比例 2．解析式形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中k也叫做反比例系數(shù) 反比例函數(shù)的定義域是不等于零的一切實數(shù) 3．反比例函數(shù)有如下性質(zhì)： （1）當k＞0時，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限，在每一個象限內(nèi)，當自變量x的值逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減小 （2）當k＜0時 ，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)。自變量x的值逐漸增大時，y的值也隨著逐漸增大 18.4函數(shù)的表示法 1．把兩個變量之間的依賴關(guān)系用數(shù)學式子來表達------解析法 2．把兩個變量之間的依賴關(guān)系用圖像來表示------圖像法 3．把兩個變量之間的依賴關(guān)系用表格來表示------列表法 第十九章 幾何證明 19.1 命題和證明 1．我們現(xiàn)在學習的證明方式是演繹證明，簡稱證明 2．能界定某個對象含義的句子叫做定義 3．判斷一件事情的句子叫做命題；其判斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯誤的命題叫做假命題 4．數(shù)學命題通常由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成 5．命題可以寫成“如果……那么……”的形式，如果后是題設(shè)，那么后市結(jié)論 19.2 證明舉例 1．平行的判定，全等三角形的判定 19.3 逆命題和逆定理 1．在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，二第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題 2．如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理 19.4線段的垂直平分線 1. 線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。 2、逆定理：和一條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段垂直 平分線上。 19.5 角的平分線 1、角的平分線定理：在角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。 2、逆定理：在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。 19.6 軌跡 1、和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線 2、在一個叫的內(nèi)部（包括頂點）且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線 3、到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心、定長為半徑的圓 19.7 直角三角形全等的判定 1．定理1：如果直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為H.L） 2．其他全等三角形的判定定理對于直角三角形仍然適用 19.8 直角三角形的性質(zhì) 1．定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 2．推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 3．推論2：在直角三角形中，如果一條之驕傲便等于斜邊的一般，那么這條直角邊所對的角等于 19.9 勾股定理 1．定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊 2．勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形 19.10 兩點間距離公式 1．如果直角坐標平面內(nèi)有兩點 、，那么 、兩點的距離 八年級下冊 第二十章 一次函數(shù) 20.1 一次函數(shù)的概念 1．一般地，解析式形如的函數(shù)叫做一次函數(shù)； 一次函數(shù)的定義域是一切實數(shù) 2．一般地，我們把函數(shù)（c為常數(shù)）叫做常值函數(shù) 20.2一次函數(shù)的圖像 1．列表、描點、連線 2．一條直線與軸的交點的縱坐標叫做這條直線在軸上的截距，簡稱直線的截距 3．一般地，直線與y軸的交點坐標是（0，b）， 直線的截距是b 4．一次函數(shù)（b≠0）的圖像可以由正比例函數(shù)的圖像平移得到 當b＞0時，向上平移b個單位，當b＜0時，向下平移b的絕對值個單位 5．一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系（看圖） 20.3一次函數(shù)的性質(zhì) 1． 一次函數(shù)具有以下性質(zhì)： 當k＞0時，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大 當k＜0時，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小 2． 一次函數(shù) ①如圖所示，當k＞0，b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）； ②如圖所示，當k＞0，b﹥O時，直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）； ③如圖所示，當k﹤O，b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）； ④如圖所示，當k﹤O，b﹤O時，直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）． 20.4一次函數(shù)的應(yīng)用 1．利用一次函數(shù)及圖像解決實際問題 第二十一章 代數(shù)方程 21.1一元整式方程 1．（a是正整數(shù)），x是未知數(shù)，a是用字母表示的已知數(shù)。于是，在項ax中，字母a是項的系數(shù)，我們把a叫做字母系數(shù)，我們把a叫做字母系數(shù)，這個方程是含字母系數(shù)的一元一次方程 2．如果方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式， 那么這個方程叫做一元整式方程 3．如果經(jīng)過整理的一元整式方程中含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是n（n是正整數(shù)），那么這方程就叫做一元n次方程；其中次數(shù)n大于2的方程統(tǒng)稱為一元高次方程，本章簡稱高次方程 21.2二項方程 1．如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項方程；一般形式為（，n是正整數(shù)） 2．解一元n（n＞2）次二項方程，可轉(zhuǎn)化為求一個已知數(shù)的n次方根 3．對于二項方程（） 當n為奇數(shù)時，方程有且只有一個實數(shù)根 當n為偶數(shù)時，如果ab＜0，那么方程有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為相反數(shù)；如果ab＞0，那么方程沒有實數(shù)根 21.3可化為一元二次方程的分式方程 1．解分式方程，可以通過方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡公分母，約去分母，轉(zhuǎn)化為正式方程來解 2．注意將所得的根帶入最簡公分母中檢驗是否為增根（也可帶入方程中） 3．換元法可將某些特殊的方程化繁為簡，并且在解分式方程的過程中，避免了出現(xiàn)解高次方程的問題，起到降次的作用 21.4無理方程 1．方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程 2．整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程 3．有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡稱代數(shù)方程 4．解簡單的無理方程，可以通過去根號轉(zhuǎn)化為有理方程來解，解簡單無理方程的一般步驟 5．注意無理方程的檢驗必須帶入原方程中檢驗是否為增根 21.5二元二次方程和方程組 1．僅含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫二元二次方程 2．關(guān)于x、y的二元二次方程的一般形式是： （a、b、c、d、e、f都是常數(shù)，且a、b、c中至少有一個不是零；當b為零時，a與d以及c與e分別不全為零） 3．僅含有兩個未知數(shù)，各方程是整式方程，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)為2。像這樣的方程組叫做二元二次方程組 4．能是二元二次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元二次方程 5．方程組中所含各方程的公共解叫做這個方程組的解 21.6二元二次方程組的解法 1．代入消元法 2．因式分解法 21.7列方程（組）解應(yīng)用題 第二十二章 四邊形 22.1多邊形 1．由平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段收尾順次聯(lián)結(jié)所組成的封閉圖形驕傲做多邊形 2．組成多邊形每一條線段叫做多邊形的邊；相鄰的兩條線段的公共端點叫做多邊形的頂點 3．多邊形相鄰兩邊所成的角叫做多邊形的內(nèi)角 4．對于一個多邊形，畫出它的任意一邊所在的直線，如果其余個邊都在這條直線的一側(cè)，那么這個多邊形叫做凸多邊形；否則叫做凹多邊形 5．多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180° 6．多邊形的一個內(nèi)角的鄰補角叫做多邊形的外角 7．對多邊形的每一個內(nèi)角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的所有的外角的和叫做多邊形的外角和 8．多邊形的外角和等于360° 22.2平行四邊形 1．兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；用符號 表示 2．（1）性質(zhì)定理1：如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等 簡述為：平行四邊形的對邊相等 （2）性質(zhì)定理2：如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對角分別相等 簡述為：平行四邊形的對角相等 （3）夾在平行線間的平行線段相等 （4）性質(zhì)定理3：如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分 （5）性質(zhì)定理4：平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點 3．（1）判定定理1：如果一個四邊形兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形 簡述為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 （2）判定定理2：如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形 簡述為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 （3）判定定理3：如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，那么這個四邊形是平行四邊形 簡述為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 （4）判定定理4：如果一個四邊形的兩組對角分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形 簡述為：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 22.3特殊的平行四邊形 1．有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形 2．有一組林邊相等的平行四邊形叫做菱形 3．矩形的性質(zhì)定理1：矩形的四個角都是直角 2：矩形的兩條對角線相等 菱形的性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等 2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 4．矩形的判定定理1：有三個內(nèi)角是直角的四邊形是矩形 2：對角線相等的平行四邊形是矩形 菱形的判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形 2.：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 5．有一組鄰邊相等并且有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做正方形 6．正方形的判定定理1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形 2：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形 7．正方形的性質(zhì)定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等 2：正方形的兩條對角線相等，并互相垂直，每條對角線平分一組對角 22.4梯形 1．一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形 2．梯形中，平行的兩邊叫做梯形的底（短—上底；長—下底）；不平行的兩邊叫做梯形的腰；兩底之間的距離叫做梯形的高 3．有一個角是直角的梯形叫做等腰梯形 4．兩腰相等的梯形叫做等腰梯形 22.5等腰梯形 1．等腰梯形性質(zhì)定理1：等腰梯形在同一底商的兩個內(nèi)角相等 2． 性質(zhì)定理2.：等腰梯形的兩條對角線相等 3．等腰梯形判定定理1：在同一底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形 4． 判定定理2：對角線相等的梯形是等腰梯形 22.6三角形、梯形的中位線 1．聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線 2．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半 3．聯(lián)結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線 4．梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 22.7平面向量 1．規(guī)定了方向的線段叫做有向線段，有向線段的方向是從一點到另一點的指向，這時線段的兩個端點有順序，我們把前一點叫做起點，另一點叫做終點，畫圖時在終點處畫上箭頭表示它的方向 2．既有大小。又有方向的量叫做向量，向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模） 3．方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的量 4．方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量 5．方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量 22.8平面向量的加法 1．求兩個向量的和向量的運算叫做向量的加法 2．求不平行的兩個向量的和向量時，只要把第二個向量與第一個向量收尾相接，那么以第一個向量的起點為起點、第二個向量的終點為終點的向量就是和向量，這樣的規(guī)定叫做向量加法的三角形法則 3．一般地，我們把長度為零的向量叫做零向量 4．向量的加法滿足交換律、結(jié)合律 22.9平面向量的減法 1．已知兩個向量的和及其中一個向量，求另一個向量的運算叫做向量的減法 2．在平面內(nèi)任取一點，以這點為公共起點作出這兩個向量，那么它們的差向量是以減向量的終點為起點、被減向量的終點為終點的向量；求兩個向量的差向量的規(guī)定叫做向量減法的三角形法則 3．減去一個向量等于加上這個向量的相反向量 4．向量加法的平行四邊形法則 副章 向量 一、向量的基本概念 1、向量 既有大小又有方向的量叫向量。 2、零向量 長度為零的向量叫零向量，記為. 零向量的方向不確定，是任意的，因此零向量與任意向量平行。 3、單位向量 長度為1的向量叫單位向量。記做 4、負向量 與非零向量長度相等并且方向相反的向量稱為的負向量（或的反向量），記作 -，的負向量規(guī)定為 -， = - 5、相等向量 如果兩個向量 ,的長度相等并且方向相同,則稱這兩個向量相等，記為=。 6、共線向量 如果把一組向量平行移動到同一個起點后，這些向量在同一條直線上，那么這一組向量叫做共線向量。共線向量也叫平行向量。共線向量與平行向量的關(guān)系是：共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量。兩個向量與共線的充要條件是：與方向相同或相反，或者有一個是零向量。 二、向量的表示 1、幾何表示：用有向線段表示一個向量，起點A到終點B的指向表示的方向，線段AB的長度表示的大小。長度相等并且方向相同的有向線段表示相等的向量。 2、坐標表示：在平面上取不共線的兩個向量,，則平面上每一個向量都可以唯一地表示成,的線性組合 =x+y, 我們稱,是平面的一個基，把(x, y)稱為在基,下的坐標。特別的，在平面上取一個直角坐標系[O; ,]，平面上每一個向量在基 ,下的坐標(x, y)稱為的直角坐標，其中x稱為橫坐標，y稱為縱坐標。定位向量的坐標等于它的終點坐標。任一向量的坐標等于它的終點坐標減去起點坐標。 三、向量的線性運算 向量有加法、減法和數(shù)乘運算，它們統(tǒng)稱為向量的線性運算，有兩種方式進行向量的線性運算： 1、用有向線段 加法有三角形法則： +=; 對于不共線的兩個向量的加法還有平行四邊形法則： +=; 其中AC是以AB、AD為鄰邊的平行四邊形的對角線。 減法：-=+(-)。 用有向線段表示向量時，有-=. 數(shù)乘向量：λ的長度為|λ||| ; 對于非零向量λ,λ的方向為：當λ>0時，與同向 ; 當λ<0時，與反向。 2、用坐標 兩個向量的和（差）的坐標等于它們的坐標的和（差）。 實數(shù)k與向量的乘積坐標等于k乘以的坐標。 向量的加法與數(shù)乘運算滿足8條運算法則：對任意向量、、,任意實數(shù)λ,μ有 ① +=+; ② (+)+=+(+) ; ③ +=+=; ④ +(-)=(-)+= ⑤ 1= ⑥ (λμ)= λ(μ) ⑦ (λ+μ)=λ+μ ⑧ λ(+)=λ+λ 利用向量的線性運算可以很容易得出下列公式： 線段的中點坐標公式： 設(shè)A(x1, y1) ,B(x2, y2)兩點，則線段AB的中點M的坐標(x , y)滿足 x = , y = 線段的定比分點坐標公式： 設(shè)兩點A(x1, y1) , B(x2, y2), 點C分線段AB成定比λ(即=λ)，則定比分點C的坐標(x, y)滿足： x = , y = 平移公式：設(shè)的坐標為(a1, a2)，則由決定的平移的公式為 x’=x+a1 y’=y+a2 其中(x’, y’)是平面上任一點P(x, y)在平移下的象P’的坐標。 四、向量的內(nèi)積 利用向量的內(nèi)積可以統(tǒng)一地研究有關(guān)長度、角度、垂直等度量問題。 任給兩個向量,，實數(shù)||||cos<,> 稱為與的內(nèi)積，記作· 由定義立即得到 ·= ·=0 向量的內(nèi)積有4條基本性質(zhì)：對任意向量、、，任意實數(shù)k，有 ① ·=·; （對稱性）； ② (k)·= k(·)（線性性之一）； ③ (+)·=·+·（線性性之二）； ④·≥0, 等號成立=（正定性）。 利用向量、的直角坐標(a1, a2),( b1, b2)，可以很容易計算它們的內(nèi)積： ·=a1b1+a2b2 向量內(nèi)積的應(yīng)用： 1、計算向量的長度：設(shè)的直角坐標為(a1, a2)，則 ||== 2、計算兩點間距離：設(shè)在直角坐標系中，P(x1, y1)，Q(x2, y2),則 |PQ|= 3、計算兩個非零向量的夾角：設(shè)兩個非零向量,的直角坐標分別為(a1, a2),( b1, b2)，則 cos<,>= 4、判斷兩個向量是否垂直：設(shè)、的直角坐標分別為(a1, a2), ( b1, b2)，則 ⊥·=0 =0 第二十三章 概率初步 23.1確定事件和隨機事件 1．在一定條件下必定出現(xiàn)的現(xiàn)象叫做必然事件 2．在一定條件下必定不出現(xiàn)的現(xiàn)象叫做不可能事件 3．必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件 4．那些在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象叫做隨機時間，也稱為不確定事件 23.2事件發(fā)生的可能性 23.3時間的概率 1．用來表示某事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做這個事件的概率 2．規(guī)定用0作為不可能事件的概率；用1作為必然時間的概率 3．事件A的概率我們記作P（A）；對于隨機事件A，可知0＜P（A）＜1 4．如果一項可以反復(fù)進行的試驗具有以下特點： （1）試驗的結(jié)果是有限個，各種結(jié)果可能出現(xiàn)的機會是均等的； （2）任何兩個結(jié)果不可能同時出現(xiàn) 那么這樣的試驗叫做等可能試驗 5．一般地，如果一個試驗共有n個等可能的結(jié)果，事件A包含其中的k個結(jié)果，那么事件A的概率 P（A）=事件A包含的可能結(jié)果數(shù)／所有的可能結(jié)果總數(shù)=k／n 6．列舉法、樹狀圖、列表 25 .