7、．84
2．(2015·福建)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．(2014·北京)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．(2014·重慶)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是( )
A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列
B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C．a(chǎn)2
8、，a4，a8成等比數(shù)列
D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
5．(2015·安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和等于________．
6．(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________．
7．(2014·江蘇)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________．
8．(2014·安徽)如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2.過點A作BC的垂線，垂足為A1；過點A1作AC的垂線，垂足為A2；過點A2
9、作A1C的垂線，垂足為A3；…，依此類推，設(shè)BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________.
9．(2014·廣東)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
10．(2014·江西)已知首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求數(shù)列{cn}的通項公式；
(2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
考
10、點16 等比數(shù)列
一年模擬試題精練
1．(2015·山東日照模擬)設(shè)數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2·a4＝1，S3＝7，則S5＝( )
A. B. C. D.
2．(2015·湖北八校模擬)已知實數(shù)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列結(jié)論中一定成立的是( )
A．若a3＞0，，則a2 013＜0 B．若a4＞0，則a2 014＜0
C．若a3＞0，則S2 013＞0 D．若a4＞0，則S2 014＞0
3．(2015·青島模擬)已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，其公比q≠1且bi＞0(i＝1，2，…，n)，若a1＝b1，
11、a11＝b11，則( )
A．a(chǎn)6＞b6 B．a(chǎn)6＝b6
C．a(chǎn)6＜b6 D．a(chǎn)6＜b6或a6＞b6
4．(2015·江西贛州模擬)在公比大于1的等比數(shù)列{an}中，a3a7＝72，a2＋a8＝27，則a12＝( )
A．96 B．64 C．72 D．48
5．(2015·湖南常德模擬)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
6．(2015·甘肅一模)拋物線 x2＝y(tǒng)在第一象限內(nèi)
12、圖象上一點(ai，2a)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)記為ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，則a2＋a4＋a6＝( )
A．64 B．42
C．32 D．21
7．(2015·江蘇宿遷模擬)已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，a3，2a2成等差數(shù)列，則等于________．
8．(2015·安徽安慶模擬)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a＝4Sn＋4n＋1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比數(shù)列{bn}的前三項．
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
(2)記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若對任意的n∈N*，k≥3n－6恒成立，求實數(shù)
13、k的取值范圍．
9．(2015·山東濟(jì)南模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)．
(1)求p的值及數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足＝(3＋p)anbn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
考點17 數(shù)列求和
兩年高考真題演練
1．(2015·天津)已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝qan(q為實數(shù)，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差數(shù)列．
(1)求q的值和{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和．
14、
2．(2014·湖南)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．
3．(2014·大綱全國)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
4．(2014·四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)．
(
15、1)若a1＝－2，點(a8，4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；
(2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項和Tn.
考點17 數(shù)列求和
一年模擬試題精練
1．(2015·山東菏澤一模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且對任意的n∈N*，都有a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝n·2n＋3.
(1)若{bn }的首項為4，公比為2，求數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn；
(2)若an＝4n＋4 ，試探究：數(shù)列{bn}中是否存在某一項，它可以表示為該數(shù)列中其它r(r
16、∈N，r≥2)項的和？若存在，請求出該項；若不存在，請說明理由．
2．(2015·山東濰坊一模)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋n2－1，數(shù)列{bn}滿足3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.
(1)求an，bn；
(2)設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求Tn，并求滿足Tn<7時n的最大值．
3．(2015·山東煙臺一模)已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，首項為a1，且，an，Sn成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)數(shù)列{bn}滿足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求證：
17、＋＋＋…＋＜.
4．(2015·廣東江門模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜.
考點18 數(shù)列的綜合應(yīng)用
兩年高考真題演練
1．(2015·湖北)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) 求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2) 當(dāng)d>1時，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
2．(2
18、014·湖南)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.
(1)若{an}是遞增數(shù)列，且a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，求p的值；
(2)若p＝，且{a2n－1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式．
3．(2014·浙江)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2.
(1)求an與bn；
(2)設(shè)cn＝－(n∈N*)．記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn.
①求Sn；
②
19、求正整數(shù)k，使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn.
考點18 數(shù)列的綜合應(yīng)用
一年模擬試題精練
1．(2015·江西重點中學(xué)聯(lián)盟模擬)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝2x＋1上，其中n∈N*.
(1)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求實數(shù)t的值；
(2)設(shè)各項均不為0的數(shù)列{cn}中，所有滿足ci·ci＋1<0的整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{cn}的“積異號數(shù)”，令cn＝(n∈N*)，在(1)的條件下，求數(shù)列{cn}的“積異號數(shù)”．
20、
2．(2015·廣東廣州一模)已知等差數(shù)列{an}的首項為10，公差為2，等比數(shù)列{bn}的首項為1，公比為2，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)第n個正方形的邊長為cn＝min{an，bn}，求前n個正方形的面積之和Sn.
(注： min{a，b}表示a與b的最小值．)
第五章 數(shù) 列
考點15 等差數(shù)列
【兩年高考真題演練】
1．B [由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故選B.]
2．C [A，B選項易舉反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2
21、>成立．]
3．B [∵a3，a4，a8成等比數(shù)列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，整理得a1＝－d，∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－＜0，故選B.]
4．A [從原命題的真假入手，由于＜an?an＋1＜an?{an}為遞減數(shù)列，即原命題和逆命題均為真命題，又原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，則逆命題、否命題和逆否命題均為真命題，選A.]
5．C [{2a1an}為遞減數(shù)列，可知{a1an}也為遞減數(shù)列，又a1an＝a＋a1(n－1)d＝a1dn＋a－a1d，故a1d<0，故選C.]
6．10 [因為{an}是等差數(shù)列，所以a
22、3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.]
7. [由題意知當(dāng)d＜0時，Sn存在最大值，∵a1＝7＞0，∴數(shù)列{an}中所有非負(fù)項的和最大．
又∵當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時，Sn取最大值，∴∴解得－1≤d<－.]
8．8 [∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴當(dāng)n＝8時，其前n項和最大．]
9．解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2，2＋d，2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化簡得d2－4d＝0，解得d
23、＝0或d＝4.
當(dāng)d＝0時，an＝2；
當(dāng)d＝4時，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
從而得數(shù)列{an}的通項公式為an＝2或an＝4n－2.
(2)當(dāng)an＝2時，Sn＝2n.
顯然2n<60n＋800，
此時不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立．
當(dāng)an＝4n－2時，Sn＝＝2n2.
令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n<－10(舍去)，
此時存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41.
綜上，當(dāng)an＝2時，不存在滿足題意的n；
當(dāng)an＝4n－2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.
【一年模擬試題精
24、練】
1．A [由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.所以S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝36d，所以＝＝＝4，選A.]
2．D [由2a＝a＋a(n≥2)可知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，且以a＝1為首項，公差d＝a－a＝4－1＝3，所以數(shù)列的通項公式為a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a＝3×6－2＝16，即a6＝4.選D.]
3．C [a1＝tan 225°＝tan 45°＝1，
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由a5＝13a1，得a5＝13，
d＝＝＝3，
∴S2 014＝－a1＋a2－a3＋a4＋…＋(－1)2 014a2 014＝－(a1＋a
25、3＋…＋a2 013)＋(a2＋a4＋…＋a2 014)＝1 007d＝1 007×3＝3 021.故選C.]
4．D [設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，
由a2＝2，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，得(2＋d)2＝(2－d)(2＋7d)，解得d＝1.∴a1＝a2－d＝2－1＝1，∴Sn＝na1＋＝n＋＝＋，故選D.]
5．C
6．解 (1)∵數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋4(n∈N*)，∴數(shù)列{an}是以公差為4，以a1＝－20為首項的等差數(shù)列．故數(shù)列{an}的通項公式為an＝－20＋4(n－1)＝4n－24(n∈N*)，數(shù)列{an}的前n項和An＝2n2－22n(n∈N*)
26、．
(2)∵bn＝＝＝－(n∈N*), ∴數(shù)列{bn}的前n項Sn為Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝.]
7．解 (1)由a2＋a6＝6，得a4＝3，又由S5＝＝5a3＝，得a3＝，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則解得
∴an＝n＋.
(2)當(dāng)n≥2時，bn＝＝＝
當(dāng)n＝1時，上式同樣成立，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＝
又隨n遞增，且＜·1≤m，
∴m≥5，mmin＝5.
考點16 等比數(shù)列
【兩年高考真題演練】
1．B [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝
27、2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故選B.]
2．D [由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有：a，－2，b；b，－2，a.
∴或解之得：或
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故選D.]
3．D [當(dāng)數(shù)列{an}的首項a1<0時，若q>1，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)數(shù)列{an}的首項a1<0時，要使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則01”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條
28、件．故選D.]
4．D [由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，選D.]
5．2n－1 [由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以聯(lián)立方程解得或又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝1，a4＝8，從而a1q3＝8，∴q＝2.
∴數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝＝2n－1.]
6．3n－1 [由3S1，2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比數(shù)列通項an＝a1qn－1＝3n－1.]
7．4 [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q>0.則a8＝a6＋2a4即為a4q4＝a4q2＋2a
29、4，解得q2＝2(負(fù)值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.]
8. [由題意知數(shù)列{an}是以首項a1＝2，公比q＝的等比數(shù)列，∴a7＝a1·q6＝2×＝.]
9．50 [由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10·a11＝e5，于是ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10ln e5＝50.]
10．解 (1)因為anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，
所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.
所以數(shù)列{cn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故cn＝2n－1.
(2)由bn＝3n－1知an
30、＝cnbn＝(2n－1)3n－1，
于是數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，
3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)·3n，
相減得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝
－2－(2n－2)3n，
所以Sn＝(n－1)3n＋1.
【一年模擬試題精練】
1．B
2．C [設(shè)an＝a1qn－1，因為q2 010＞0所以A，B不成立，對于C，當(dāng)a3＞0時，a1＞0，因為1－q與1－q2 013同號，所以S2 013＞0，所以C正確，對于D，?。?，1，－1，1 ，…不滿足條件
31、，D錯，故選C.]
3．A [∵a6＝，b6＝＝，∴＞，∴a6＞b6.]
4．A [∵a3a7＝a2a8＝72，a2＋a8＝27，∴或
又∵公比大于1，∴∴q6＝8即q2＝2，∴a12＝a2q10＝3×25＝96.]
5．C [因為{an}是等比數(shù)列，所以{anan＋1}成以8為首項，為公比的等比數(shù)列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n) ，故選C.]
6．B [∵y＝2x2(x＞0)，∴y′＝4x，∴x2＝y(tǒng)在第一象限內(nèi)圖象上一點(ai，2a)處的切線方程是：y－2a＝4ai(x－ai)，整理，得4aix－y－2a＝0，
∵切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為ai＋1
32、，
∴ai＋1＝ai，∴{a2k}是首項為a2＝32，公比q ＝的等比數(shù)列，∴a2＋a4＋a6＝32＋8＋2＝42. 故選B.]
7．3＋2 [a1，a3，2a2成等差數(shù)列，所以a3＝a1＋2a2，即q2－2q－1＝0，∴q＝1＋，所以＝q2＝3＋2.]
8．解 (1)當(dāng)n≥2時，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，∵an＞0，∴an＋1＝an＋2，
∴當(dāng)n≥2時，{an}是公差d＝2的等差數(shù)列，∵a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，∴a＝a2·a14，(a2＋8)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3，
由條件可知
33、，4a1＝a－5＝4，∴a1＝1，
∵a2－a1＝3－1＝2，∴{an}是首項a1＝1，公差為d＝2的等差數(shù)列．
數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1，
數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3n.
(2)Tn＝＝＝，∴k≥3n－6對n∈N*恒成立，∴k≥對n∈N*恒成立，
令cn＝，cn－cn－1＝－＝，當(dāng)n≤3時，cn＞cn－1，當(dāng)n≥4時，cn＜cn－1，∴(cn)max＝c3＝，k≥.
9．解 (1)由an＝Sn－Sn＋1＝2n＋1＋2p－2n－2p＝2n，n≥2，
a1＝S1＝4＋2p＝2，由a1，a2，a3成等比得p＝－1.
(2)由＝(3＋p)anbn，可得bn＝，
34、Tn＝＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋－，
Tn＝－，
Tn＝2－－.
考點17 數(shù)列求和
【兩年高考真題演練】
1．解 (1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，
即a4－a2＝a5－a3，
所以a2(q－1)＝a3(q－1)，又因為q≠1，
故a3＝a2＝2，由a3＝a1q，得q＝2.
當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時，an＝a2k－1＝2k－1＝2；
當(dāng)n＝2k(k∈N*)時，an＝a2k＝2k＝2.
所以，{an}的通項公式為an＝
(2)由(1)得bn＝＝.
設(shè){bn}的前n項和為Sn，
則Sn＝1×＋2
35、×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，
Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×.
上述兩式相減得：
Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－－，
整理得，Sn＝4－，n∈N*.
所以，數(shù)列{bn}的前n項和為4－，n∈N*.
2．解 (1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則
A＝＝22n＋
36、1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
3．解 (1)由a1＝10，a2為整數(shù)知，等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)．
又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.
解得－≤d≤－.因此d＝－3.
數(shù)列{an}的通項公式為an＝13－3n.
(2)bn＝＝(－)．
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
4．解 (1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2.
解得d＝a8－a7＝2.
所以，Sn＝na
37、1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，
它在x軸上的截距為a2－.
由題意得，a2－＝2－，
解得a2＝2.
所以d＝a2－a1＝1.
從而an＝n，bn＝2n.
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋.
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.
所以，Tn＝.
【一年模擬試題精練】
1．解 (1)因為a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝n·2n＋3，所以當(dāng)n≥2時，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝(n－1)·2n＋2，兩式相減
38、，得
anbn＝n·2n＋3－(n－1)·2n＋2＝(n＋1)·2n＋2(n≥2)，
而當(dāng)n＝1時，a1b1＝16適合上式，從而anbn＝(n＋1)·2n＋2(n∈N*)，
又因為{bn}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，即bn＝2n＋1，所以an＝2n＋2，
從而數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn＝＋＝2n＋2＋n2＋3n－4.
(2)因為an＝4n＋4，anbn＝(n＋1)·2n＋2(n∈N*)，所以bn＝2n，
假設(shè)數(shù)列{bn}中第k項可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N，r≥2)項bt1，bt2，bt3，…，btn(t1＜t2＜t3…＜tn)的和，
即bk＝bt1，bt2，bt3
39、，…，btn，從而2k＝2t1＋2t2＋2t3＋…＋2tn，易知k≥tn＋1，(*)
又2k＝2t1＋2t2＋2t3＋…＋2tn≤21＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＜2n＋1，
所以k＜tn＋1此與(*)矛盾，從而這樣的項不存在．
2．解 (1)n≥2時，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，
兩式相減，得an＝an－an－1＋2n－1，∴an－1＝2n－1，
∴an＝2n＋1，∴3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3，
∴bn＋1＝，當(dāng)n≥2時，bn＝，又b1＝3適合上式，∴bn＝.
(2)由(1)知bn＝，
∴Tn＝＋
40、＋＋…＋＋①
Tn＝＋＋＋…＋＋②
①－②，得Tn＝3＋＋＋＋…＋－
＝3＋4·－＝5－，
∴Tn＝－，
Tn－Tn＋1＝－＝－＜0，
所以，Tn＜Tn＋1即{Tn}為遞增數(shù)列，又T3＝＜7，T4＝＞7，
當(dāng)Tn＜7時，n的最大值為3.
3．(1)解 ∵，an，Sn成等差數(shù)列，∴2an＝Sn＋，
當(dāng)n＝1時，2a1＝S1＋，∴a1＝，
當(dāng)n≥2時，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，
兩式相減得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2 ，
所以數(shù)列{an}是首項為，公比為2的等比數(shù)列．
an＝×2n－1＝2n－2.
(2)證明 bn＝log2a2n＋1
41、×log2a2n＋3＝log222n＋1－2×log222n＋3－2
＝(2n－1)(2n＋1)
＝×＝
＋＋＋…＋＝
＝
＜.
4．(1)解 a1＝S1＝＝1.
(2)解 n＞1時，an＝Sn－Sn－1＝－
＝n(2n－1)，n＝1時，n(2n－1)＝1＝a1，
所以?n∈N*，an＝n(2n－1)．
(3)證明 由(2)知，n＞1時，＝＝＜＝
＋＋…＋＜1＋
＝1＋
＝1＋<1＋＝，
∵＋＋…＋單調(diào)遞增，
∴?n∈N*，＋＋…＋＜.
考點18 數(shù)列的綜合應(yīng)用
【兩年高考真題演練】
1．解 (1)由題意有，即
解得或故或
(2)由d>1，知an＝2n－
42、1，bn＝2n－1，故cn＝，于是
Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
2．解 (1)因為{an}是遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.
而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.
又a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，所以4a2＝a1＋3a3，
因而3p2－p＝0，解得p＝，p＝0.
當(dāng)p＝0時，an＋1＝an，這與{an}是遞增數(shù)列矛盾．
故p＝.
(2)由于{a2n－1}是遞增數(shù)列，因而a2n＋1－a2n－1＞0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)＞
43、0.①
但<，所以|a2n＋1－a2n|＜|a2n－a2n－1|.②
由①，②知，a2n－a2n－1＞0，
因此a2n－a2n－1＝＝.③
因為{a2n}是遞減數(shù)列，同理可得，a2n＋1－a2n＜0，
故a2n＋1－a2n＝－＝.④
由③，④即知，an＋1－an＝.
于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋－＋…＋
＝1＋·
＝＋·.
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝＋·.
3．解 (1)由題意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，
知a3＝()b3－b2＝8，
又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2，舍去)，
所以數(shù)列
44、{an}的通項為an＝2n(n∈N*)．
所以，a1a2a3…an＝2 ＝()n(n＋1)
故數(shù)列{bn}的通項為bn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，所以Sn＝－(n∈N*)．
②因為c1＝0，c2＞0，c3＞0，c4＞0，
當(dāng)n≥5時，cn＝，
而－＝>0，
得≤<1.
所以，當(dāng)n≥5時，cn＜0.
綜上，對任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.
【一年模擬試題精練】
1．解 (1)由題意，當(dāng)n≥2時，有
兩式相減，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，
所以，當(dāng)n≥2時{an}是等比數(shù)列，要使n≥1時{a
45、n}是等比數(shù)列，則只需＝＝3，
從而得出t＝1
(2)由(1)得，等比數(shù)列{an}的首項為a1＝1，公比q＝3，∴an＝3n－1，
∴cn＝＝＝1－，
∵c1＝1－＝－3，c2＝1－＝，∴c1c2＝－1<0，
∵cn＋1－cn＝－＝>0，
∴數(shù)列{cn}遞增.
由c2＝>0，得當(dāng)n≥2時，cn>0.
∴數(shù)列{cn}的“積異號數(shù)”為1.
2．解 (1)因為等差數(shù)列{an}的首項為10，公差為2，
所以an＝10＋(n－1)×2，即an＝2n＋8.
因為等比數(shù)列{bn}的首項為1，公比為2，
所以bn＝1×2n－1，即bn＝2n－1.
(2)因為a1＝10，a2＝1
46、2，a3＝14，a4＝16，a5＝18，a6＝20，
b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝8，b5＝16，b6＝32.
易知當(dāng)n≤5時，an>bn.
下面證明當(dāng)n≥6時，不等式bn>an成立．
法一?、佼?dāng)n＝6時，b6＝26－1＝32>20＝2×6＋8＝a6，不等式顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥6)時，不等式成立，即2k－1>2k＋8.
則有2k＝2×2k－1>2(2k＋8)＝2(k＋1)＋8＋(2k＋6)>2(k＋1)＋8.
這說明當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立．
綜合①②可知，不等式對n≥6的所有整數(shù)都成立．
所以當(dāng)n≥6時，bn>an.
法二 因為當(dāng)n≥6時，
bn
47、－an＝2n－1－(2n＋8)＝(1＋1)n－1－(2n＋8)
＝(C＋C＋C＋…＋C)－(2n＋8)
≥(C＋C＋C＋C＋C＋C)－(2n＋8)
＝2(C＋C＋C)－(2n＋8)
＝n2－3n－6＝n(n－4)＋(n－6)>0，
所以當(dāng)n≥6時，bn>an.
所以cn＝min{an，bn}＝
則c＝
當(dāng)n≤5時，Sn＝c＋c＋c＋…＋c＝b＋b＋b＋…＋b
＝20＋22＋24＋…＋22n－2＝＝(4n－1)．
當(dāng)n>5時，
Sn＝c＋c＋c＋…＋c
＝(b＋b＋…＋b)＋(a＋a＋…＋a)
＝ (45－1)＋4[(6＋4)2＋(7＋4)2＋…＋(n＋4)2]
＝341＋4[62＋72＋…＋n2)＋8(6＋7＋…＋n)＋16(n－5)]
＝341＋4[(12＋22＋…＋n2)－(12＋22＋…＋52)]＋32(6＋7＋…＋n)＋64(n－5)
＝341＋4＋32×＋64(n－5)
＝n3＋18n2＋n－679.
綜上可知，Sn＝
2016版《一點一練》高考數(shù)學(xué)(理科)專題演練：第五章-數(shù)-列(含兩年高考一年模擬)
