《（名師導學）2020版高考數學總復習 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第66講 橢圓練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（名師導學）2020版高考數學總復習 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第66講 橢圓練習 理（含解析）新人教A版（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第66講　橢　圓 夯實基礎　【p150】 【學習目標】 1．掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質． 2．熟練掌握常見的幾種數學思想方法——函數與方程、數形結合、轉化與化歸． 3．了解橢圓的實際背景及橢圓的簡單應用． 【基礎檢測】 1．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且橢圓的長軸與焦距之差為4，則該橢圓為方程為(　　) A.＋＝1B.＋＝1 C.＋＝1D.＋＝1 【解析】設橢圓的焦距為2c，由條件可得＝，故a＝2c，由橢圓的長軸與焦距之差為4可得2(a－c)＝4，即a－c＝2，所以a＝4，c＝2，故b2＝a2－c2＝12，故該橢圓的方程為＋＝1. 【答案

2、】D 2．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)經過點A(，0)，B(0，3)，則橢圓E的離心率為(　　) A.B.C.D. 【解析】由橢圓E：＋＝1(a>b>0)，經過點A(，0)，B(0，3)，可得a＝3，b＝， 所以c＝＝2， 其離心率e＝. 【答案】A 3．設橢圓C：＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，A是橢圓C上任意一點，則△AF1F2的周長為(　　) A．9B．13C．15D．18 【解析】由橢圓C：＋＝1知a＝5，b＝3，∴c＝4， 則△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18. 【答案】D 4．已知F是橢圓C：＋y2＝

3、1的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q的坐標為(4，3)，則|PQ|＋|PF|的最大值為__________． 【解析】∵點F為橢圓＋y2＝1的左焦點， ∴F(－1，0)，設橢圓的右焦點為F′(1，0)， ∵點P為橢圓C上任意一點，點Q的坐標為(4，3)，∴|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2－|PF′|＝2＋|PQ|－|PF′|， 又∵|PQ|－|PF′|≤|QF′|＝3， ∴|PQ|＋|PF|≤5， 即|PQ|＋|PF|的最大值為5，此時Q、F′、P共線． 【答案】5 5．已知橢圓方程為＋y2＝1，則過點P且被P平分的弦所在直線的方程為____________． 【解析】設這

4、條弦與橢圓＋y2＝1交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由中點坐標公式知x1＋x2＝1，y1＋y2＝1， 把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入＋y2＝1， 作差整理得(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，∴kAB＝＝－. ∴這條弦所在的直線方程為y－＝－， 即2x＋4y－3＝0. 【答案】2x＋4y－3＝0 【知識要點】 1．橢圓的定義 平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于__|F1F2|__)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點F1，F2叫做焦點，兩焦點間的距離叫做焦距． 2．橢圓的標準方程 (1)__＋＝1__(a>b>0)，焦點F1(－c，0)，

5、F2(c，0)，其中c＝____． (2)＋＝1(a>b>0)，焦點__F1(0，－c)，F2(0，c)__，其中c＝____． 3．橢圓的幾何性質(以＋＝1(a>b>0)為例) (1)范圍：__|x|≤a，|y|≤b__． (2)對稱性：對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：O(0，0)． (3)頂點：長軸端點：A1(－a，0)，A2(a，0)，短軸端點：B1(0，－b)，B2(0，b)；長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，焦距|F1F2|＝2c. (4)離心率e＝____，0

6、a2－b2或a2＝c2＋b2. 典例剖析　【p151】 考點1　橢圓的定義及應用 (1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是(　　) A．橢圓B．雙曲線 C．拋物線D．圓 【解析】由條件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P點的軌跡是以O，F為焦點的橢圓． 【答案】A (2)設F1，F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為_____

7、___． 【解析】由題意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4. 【答案】4 (3)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1B.＋y2＝1 C.＋＝1D.＋＝1 【解析】∵△AF1B的周長為4，∴4a＝4， ∴a＝，∵離心率為，∴c＝1， ∴b＝＝，∴橢圓C的方程為＋＝1. 【答案】A 考點2　求橢圓的標準方程 (1)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且過點P(3，0)，則橢圓的方程為__________

8、______________________________________________________________． 【解析】若焦點在x軸上，設方程為＋＝1(a>b>0)， ∵橢圓過P(3，0)，∴＋＝1，即a＝3， 又2a＝3×2b，∴b＝1，方程為＋y2＝1. 若焦點在y軸上，設方程為＋＝1(a>b>0)． ∵橢圓過點P(3，0)．∴＋＝1，即b＝3. 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程為＋＝1. ∴所求橢圓的方程為＋y2＝1或＋＝1. 【答案】＋y2＝1或＋＝1 (2)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點P(－3，0)，Q(0，－2)，則橢圓的方

9、程為________________________________________________________________________． 【解析】法一：設方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． 將點的坐標代入，求出m＝，n＝. ∴所求橢圓方程為＋＝1. 法二：利用橢圓的幾何性質 以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點， 于是焦點在x軸上，且點P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點， 故a＝3，b＝2，所以橢圓的標準方程為＋＝1. 【答案】＋＝1 (3)設F1，F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

10、A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________． 【解析】設點B的坐標為(x0，y0)． ∵x2＋＝1，∴F1(－，0)，F2(，0)． ∵AF2⊥x軸，∴A(，b2)． ∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3， ∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)． ∴x0＝－，y0＝－. ∴點B的坐標為. 將B代入x2＋＝1，得b2＝. ∴橢圓E的方程為x2＋y2＝1. 【答案】x2＋y2＝1 【點評】(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數2a>|F1F2|這一條件． (2)求橢圓標準方程的基本方法是

11、待定系數法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 考點3　橢圓的幾何性質及應用 (1)已知點F1，F2是橢圓x2＋2y2＝2的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|＋|的最小值是(　　) A．0B．1C．2D．2 【解析】設P(x0，y0)，則＝(－1－x0，－y0)， ＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)， ∴|＋|＝＝2 ＝2. ∵點P在橢圓上，∴0≤y≤1， ∴當y＝1時，

12、|＋|取最小值2. 【答案】C (2)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F(c，0)關于直線y＝x的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是________． 【解析】法一：設橢圓的另一個焦點為F1(－c，0)，如圖，連接QF1，QF，設QF與直線y＝x交于點M.由題意知M為線段QF的中點，且OM⊥FQ. 又O為線段F1F的中點， ∴F1Q∥OM， ∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|. 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c， 可解得|OM|＝，|MF|＝， 故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝. 由橢圓的定義得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，

13、整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝. 法二：設Q(x0，y0)，則FQ的中點坐標，kFQ＝，依題意 解得又因為(x0，y0)在橢圓上， 所以＋＝1，令e＝，則4e6＋e2＝1， ∴離心率e＝. 【答案】 【點評】(1)利用橢圓幾何性質的注意點及技巧 ①注意橢圓幾何性質中的不等關系 在求與橢圓有關的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經常用到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關系． ②利用橢圓幾何性質的技巧 求解與橢圓幾何性質有關的問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內在聯系． (2)求橢圓的離心率問題的一般

14、思路 求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據題設得出一個關于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍． 考點4　直線與橢圓的位置關系 已知橢圓＋＝1(a>b>0)過點(0，－1)，離心率e＝. (1)求橢圓的方程； (2)已知點P(m，0)，過點(1，0)作斜率為k(k≠0)的直線l，與橢圓交于M，N兩點，若x軸平分∠MPN，求m的值． 【解析】(1)因為橢圓的焦點在x軸上，過點(0，－1)，離心率e＝， 所以b＝1，＝， 所以由a2＝b2＋c2，得a2＝2. 所以橢圓C的標準方程是＋y2＝1. (2)因為過橢圓的右焦點F作斜率為k的

15、直線l，所以直線l的方程是y＝k(x－1)． 聯立方程組消去y，得 (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 顯然Δ＞0.設點M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以x1＋x2＝，x1·x2＝. 因為x軸平分∠MPN，所以∠MPO＝∠NPO. 所以kMP＋kNP＝0. 所以＋＝0.所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0. 所以k(x1－1)(x2－m)＋k(x2－1)(x1－m)＝0. 所以2k·x1x2－(k＋km)(x1＋x2)＋2km＝0. 所以2k·－(k＋km)＋2km＝0. 所以＝0. 所以－4k＋2km＝0. 因為k≠0， 所以m＝2.

16、方法總結　　【p152】 1．在解題中凡涉及橢圓上的點到焦點的距離時，通常利用定義求解． 2．求橢圓方程的方法，除了直接根據定義法外，常用待定系數法．當橢圓的焦點位置不明確時，可設方程為＋＝1(m>0，n>0)，或設為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)． 3．橢圓中有“兩軸”(兩條對稱軸)，“六點”(兩個焦點、四個頂點)，注意它們之間的位置關系(如焦點在長軸上等)及相互間的距離等． 走進高考　　【p152】 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°

17、，則C的離心率為(　　) A.B.C.D. 【解析】因為△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°， 所以PF2＝F1F2＝2c， 由AP斜率為得，tan∠PAF2＝， ∴sin∠PAF2＝，cos∠PAF2＝， 由正弦定理得＝， 所以＝＝＝，∴a＝4c，e＝. 【答案】D 2．(2017·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，四點P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上． (1)求C的方程； (2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定點． 【解析】(1)由于P3，P4兩點關

18、于y軸對稱，故由題設知C經過P3，P4兩點． 又由＋>＋知，C不經過點P1，所以點P2在C上． 因此解得 故C的方程為＋y2＝1. (2)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2， 如果l與x軸垂直，設l：x＝t，由題設知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標分別為，. 則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合題設． 從而可設l：y＝kx＋m(m≠1).將y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由題設可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 而k1＋k2＝＋＝＋

19、＝. 由題設k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0. 解得k＝－. 當且僅當m>－1時，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l過定點(2，－1)． 考點集訓　　【p262】 A組題 1．若方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．(0，2) C．(2，4) D．(2，＋∞) 【解析】若方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則解得0

20、】如果m<2，則c＝，故＝，所以m＝； 如果m>2，則c＝，故＝，則m＝. 【答案】A 3．已知直線3x－y＋6＝0經過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F1，且與橢圓在第二象限的交點為M，與y軸的交點為N，F2是橢圓的右焦點，且|MN|＝|MF2|，則橢圓的方程為(　　) A.＋＝1B.＋y2＝1 C.＋y2＝1D.＋＝1 【解析】由題意得直線3x－y＋6＝0與x軸，y軸的交點分別為(－2，0)，(0，6)． ∵直線3x－y＋6＝0經過橢圓的左焦點F1， ∴F1(－2，0)，∴c＝2. ∵直線3x－y＋6＝0與橢圓在第二象限的交點為M，與y軸的交點為N(0，6)，且|MN|＝

21、|MF2|， ∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MN|＝|NF1|＝2， ∴a＝， ∴b2＝6， ∴橢圓的方程為＋＝1. 【答案】D 4．若橢圓＋＝1的弦被點(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是(　　) A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0 C．2x＋3y－12＝0D．x＋2y－8＝0 【解析】設直線與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有，兩式相減可得＋＝0， 即＝－， ∵ ∴kAB＝－， ∴直線AB的方程為y－2＝－(x－4)， 即x＋2y－8＝0. 【答案】D 5．已知F為橢圓C：＋＝1的下焦點，點P為橢圓C上任意一點，Q點的坐

22、標為(1，1)，則當|PQ|＋|PF|取最大值時點P的坐標為________． 【解析】設橢圓上焦點為F1， 則|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PF1|＝4＋|PQ|－|PF1|≤4＋|QF1|＝5， 當P，F1，Q共線且點P在第二象限時，|PQ|＋|PF|有最大值5， 直線F1Q的方程為y＝1與橢圓方程聯立， 可得P. 【答案】 6．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與橢圓交于A，B的兩點，且AF2⊥x軸．若P為橢圓上異于A，B的動點，且S△PAB＝4S△PBF1，則該橢圓的離心率為________． 【解析】根據題意，因為AF2

23、⊥x軸且F2(c，0)，假設A在第一象限，則A， 過B作BC⊥x軸于C，則易知△AF1F2∽△BF1C， 由S△PAB＝4S△PBF1得|AF1|＝3|BF1|， 所以|AF2|＝3|BC|，|F1F2|＝3|CF1|， 所以B，代入橢圓方程得＋＝1，即25c2＋b2＝9a2， 又b2＝a2－c2，所以3c2＝a2， 所以橢圓離心率為e＝＝. 【答案】 7．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為2，長軸長為4. (1)求橢圓C的標準方程； (2)直線l：y＝x＋m與橢圓C交于A，B兩點．若OA⊥OB，求m的值． 【解析】(1)∵橢圓C：＋的焦距為2，長軸長為4， ∴c

24、＝，a＝2，∴b＝1，∴橢圓C的標準方程為＋y2＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線l的方程代入橢圓方程得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， 則x1＋x2＝－，x1·x2＝.① 又Δ＝64m2－20(4m2－4)>0，m2<5. 由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0， 將①代入，得m＝±，又∵滿足m2<5，∴m＝±. 8．設F1，F2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F1到直線l的距離為2. (1)求橢圓C

25、的焦距； (2)如果＝2，求橢圓C的方程． 【解析】(1)設橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離c＝2，故c＝2. 所以橢圓C的焦距為4. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l(fā)的傾斜角為60°，知y1<0，y2>0， 直線l的方程為y＝(x－2)． 由消去x， 整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝. 因為＝2，所以－y1＝2y2， 即＝2·，解得a＝3. 而a2－b2＝4，所以b2＝5. 故橢圓C的方程為＋＝1. B組題 1．若橢圓上存在三點，使得這三點與橢圓中心恰好是一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離

26、心率為(　　) A.B. C.D. 【解析】由正方形和橢圓的對稱性可得，正方形的一條對稱軸在x軸上， 設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由B(a，0)，OABC為正方形，可得A，C， 將A點坐標代入橢圓方程可得 ＋＝1，即有a2＝3b2，c2＝a2－b2＝a2， 即有e＝＝. 【答案】D 2．已知F是橢圓C：＋＝1的右焦點，P是橢圓上一點，A，當△APF周長最大時，該三角形的面積為__________． 【解析】由＋＝1得右焦點F(3，0)，左焦點F′(－3，0)， △APF周長|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′|≤10＋(|AF|＋|A

27、F′|)， 當A，P，F′共線時△APF周長最大， 此時直線AF′方程為＋＝1與＋＝1聯立， 解得yP＝－，可得S△APF＝|FF′|(yA－yP)＝×6×＝. 【答案】 3．(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m>0)． (1)證明：k<－； (2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數列，并求該數列的公差． 【解析】(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1，＋＝1. 兩式相減，并由＝k得＋·k＝0. 由題設知＝1，＝m，于是k＝－.① 由題設得0

28、故k<－. (2)由題意得F(1，0)．設P(x3，y3)，則 (x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)． 由(1)及題設得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 又點P在C上，所以m＝，從而P，||＝. 于是||＝＝＝2－. 同理||＝2－.所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3. 故2||＝||＋||，即||，||，||成等差數列． 設該數列的公差為d，則2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|＝.② 將m＝代入①得k＝－1. 所以l的方程為y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0. 故x1＋x2

29、＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝. 所以該數列的公差為或－. 4．設橢圓＋＝1(a>)的右焦點為F，右頂點為A，已知＋＝，其中O原點，e為橢圓的離心率． (1)求橢圓的方程； (2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直線的l斜率． 【解析】(1)設F(c，0)，由＋＝，即＋＝， 可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3， 所以c2＝1，因此a2＝4，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設B(xB，yB)，直線的斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y＝k(x－2)， 由方程組消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 解得x＝2或x＝， 由題意得xB＝，從而yB＝， 設H(0，yH)，由(1)知F(1，0)，有＝(－1，yH)，＝， 由BF⊥HF，得·＝0， 所以＋＝0，解得yH＝， 因此直線MH的方程為y＝－x＋， 設M(xM，yM)，由方程組消去y，得xM＝， 在△MAO中，∠MOA＝∠MAO?|MA|＝|MO|， 即(xM－2)2＋y＝x＋y，化簡得xM＝1，即＝1， 解得k＝－或， 所以直線l的斜率為－或. 17