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,歡迎進入數學課堂,3.1數系的擴充與復數的概念,數系的擴充,,用圖形表示包含關系：,復習回顧,知識引入,引入一個新數：,現在我們就引入這樣一個數i，把i叫做虛數單位，并且規(guī)定：（1）i2??1；（2）實數可以與i進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加法與乘法的運算率(包括交換率、結合率和分配率)仍然成立。,形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數.,全體復數所形成的集合叫做復數集，一般用字母C表示.,復數的代數形式：,通常用字母z表示，即,其中稱為虛數單位。,復數a+bi,,復數集，虛數集，實數集，純虛數集之間的關系？,思考？,,復數集,,虛數集,實數集,,純虛數集,練一練：,,1.說明下列數中，那些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，并指出復數的實部與虛部。,5+8，,0,2、判斷下列命題是否正確：（1）若a、b為實數，則Z=a+bi為虛數（2）若b為實數，則Z=bi必為純虛數（3）若a為實數，則Z=a一定不是虛數,例1實數m取什么值時，復數是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？,解:（1）當，即時，復數z是實數．,（2）當，即時，復數z是虛數．,（3）當,即時，復數z是純虛數．,練習:當m為何實數時，復數是（1）實數（2）虛數（3）純虛數,思考：,如何定義兩個復數的相等？,注意：一般對兩個復數只能說相等或不相等；不能比較大小。,0,0,如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等．,例2已知，其中求,解題思考：,復數相等的問題,,轉化,求方程組的解的問題,一種重要的數學思想：轉化思想,小結:,1.虛數單位i的引入；,計算：,1,-1,B,,二次函數的最值,,你能否找到用來表示復數的幾何模型呢？,,x,,o,,1,實數可以用數軸上的點來表示。,一一對應,規(guī)定了正方向，,直線,數軸,,,原點，,單位長度,實數,數軸上的點,,(形),(數),(幾何模型),,,復數z=a+bi,有序實數對(a,b),直角坐標系中的點Z(a,b),,,,x,y,o,,,,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐標系來表示復數的平面,x軸------實軸,y軸------虛軸,,,（數）,（形）,------復數平面(簡稱復平面),一一對應,z=a+bi,概念辨析,例題,,平面向量,實數絕對值的幾何意義:,能否把絕對值概念推廣到復數范圍呢？,,X,O,,A,a,,|a|=|OA|,實數a在數軸上所對應的點A到原點O的距離。,,,x,O,z=a+bi,y,,|z|=|OZ|,復數的絕對值,,,,(復數的模),Z(a,b),,復數z=a+bi在復平面上對應的點Z(a,b)到原點的距離。,例3求下列復數的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i,(3)滿足|z|=5(z∈C)的z值有幾個？,思考：,(2)滿足|z|=5(z∈R)的z值有幾個？,(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a<0),(1)復數的模能否比較大??？,這些復數對應的點在復平面上構成怎樣的圖形？,圖示,,,,,,,,,,,,,,,,x,y,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,O,設z=x+yi(x,y∈R),滿足|z|=5(z∈C)的復數z對應的點在復平面上將構成怎樣的圖形？,5,5,–5,–5,(A)在復平面內，對應于實數的點都在實軸上；(B)在復平面內，對應于純虛數的點都在虛軸上；(C)在復平面內，實軸上的點所對應的復數都是實數；(D)在復平面內，虛軸上的點所對應的復數都是純虛數。,辨析：,1．下列命題中的假命題是（）,D,2．“a=0”是“復數a+bi(a,b∈R)所對應的點在虛軸上”的（）。(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)不充分不必要條件,C,例2已知復數z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面內所對應的點位于第二象限，求實數m允許的取值范圍。,變式：證明對一切m，此復數所對應的點不可能位于第四象限。,解題思考：,表示復數的點所在象限的問題,復數的實部與虛部所滿足的不等式組的問題,,轉化,(幾何問題),(代數問題),一種重要的數學思想：數形結合思想,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,