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1、 （新課標(biāo)）備戰(zhàn)2020高考數(shù)學(xué)“3＋1”保分大題強(qiáng)化練（七）理 “3＋1”保分大題強(qiáng)化練(七) 前3個(gè)大題和1個(gè)選考題不容有失 1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－n. (1)求證數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求an； (2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3＝a2，b7＝a3，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和． 解：(1)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，所以a1＝1. 因?yàn)镾n＝2an－n，① 所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－(n－1)② ①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1， 所以＝＝＝2. 所以{an＋1

2、}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． 所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1. (2)由(1)知，a2＝3，a3＝7， 所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7. 設(shè){bn}的公差為d， 則b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1. 所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n. 所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n. 設(shè)數(shù)列{n·2n}的前n項(xiàng)和為Kn，數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和為Tn， 則Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，③ 2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，④ ③－④得， －Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·

3、2n＋1－2， 所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2. 又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝， 所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2， 所以{anbn}的前n項(xiàng)和為(n－1)·2n＋1－＋2. 2．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中點(diǎn)，M是棱AA1上的點(diǎn)，且AA1⊥MC. (1)證明：MN∥平面ABC； (2)若AB⊥A1B，求二面角A-CM-N的余弦值． 解：(1)證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，連接BM. 因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是矩形， 所以BC⊥BB1. 因?yàn)锳A1∥BB1，所以AA1

4、⊥BC. 又AA1⊥MC，BC∩MC＝C，所以AA1⊥平面BCM， 所以AA1⊥MB，又AB＝A1B，所以M是AA1的中點(diǎn)． 取BC的中點(diǎn)P，連接NP，AP，因?yàn)镹是B1C的中點(diǎn)，所以NP∥BB1，且NP＝BB1， 所以NP∥MA，且NP＝MA， 所以四邊形AMNP是平行四邊形，所以MN∥AP. 又MN?平面ABC，AP?平面ABC， 所以MN∥平面ABC. (2)因?yàn)锳B⊥A1B，所以△ABA1是等腰直角三角形． 設(shè)AB＝a，則AA1＝2a，BM＝AM＝a. 又在Rt△ACM中，AC＝a，所以MC＝a. 在△BCM中，CM2＋BM2＝2a2＝BC2， 所以MC⊥BM，

5、 所以MA1，MB，MC兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則M(0,0,0)，C(0,0，a)，B1(2a，a,0)，N， 所以＝(0,0，a)，＝. 設(shè)平面CMN的法向量為n1＝(x，y，z)， 則即 取x＝1，得y＝－2. 故平面CMN的一個(gè)法向量為n1＝(1，－2,0)． 因?yàn)槠矫鍭CM的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,0)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝－. 因?yàn)槎娼茿-CM-N為鈍角， 所以二面角A-CM-N的余弦值為－. 3．某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車，為制定適宜的經(jīng)營策略，該企業(yè)首先在已

6、投放單車的乙市進(jìn)行單車使用情況調(diào)查．調(diào)查過程分隨機(jī)問卷、整理分析及開座談會三個(gè)階段．在隨機(jī)問卷階段，A，B兩個(gè)調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時(shí)收回；在整理分析階段，兩個(gè)調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中，針對15歲至45歲的人群，按比例隨機(jī)抽取了300份，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，具體情況如下表： 　　　組別 年齡 　　　 A組統(tǒng)計(jì)結(jié)果 B組統(tǒng)計(jì)結(jié)果 經(jīng)常使 用單車 偶爾使 用單車 經(jīng)常使 用單車 偶爾使 用單車 [15,25) 27人 13人 40人 20人 [25,35) 23人 17人 35人 25人 [35,45] 20人 20人 35人 2

7、5人 (1)先用分層抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達(dá)到35歲”抽出一個(gè)容量為60人的樣本，再用分層抽樣的方法將“年齡達(dá)到35歲”的被抽個(gè)體分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”中去． ①求這60人中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù)． ②為聽取對發(fā)展共享單車的建議，調(diào)查小組專門組織所抽取的“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人員召開座談會．會后共有3份禮品贈送給其中3人，每人1份(其余人員僅贈送騎行優(yōu)惠券)．已知參加座談會的人員中有且只有4人來自A組，求A組這4人中得到禮品的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望． (2)從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可直觀得出“經(jīng)常使用共享單車與年齡達(dá)到m歲有關(guān)”的結(jié)論．

8、在用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法說明該結(jié)論成立時(shí)，為使犯錯(cuò)誤的概率盡可能小，年齡m應(yīng)取25還是35？請通過比較K2的觀測值的大小加以說明． 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)①從300人中抽取60人，其中“年齡達(dá)到35歲”的人數(shù)為100×＝20，再將這20人用分層抽樣法按“是否經(jīng)常使用單車”進(jìn)行名額劃分，其中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù)為20×＝9. ②A組這4人中得到禮品的人數(shù)X的可能取值為0,1,2,3，則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝

9、0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)按“年齡是否達(dá)到35歲”對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表： 經(jīng)常使用單車 偶爾使用單車 總計(jì) 未達(dá)到35歲 125 75 200 達(dá)到35歲 55 45 100 總計(jì) 180 120 300 m＝35時(shí)，可求得K2的觀測值 k1＝＝＝. 按“年齡是否達(dá)到25歲”對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表： 經(jīng)常使用單車 偶爾使用單車 總計(jì) 未達(dá)到25歲 67 33 100 達(dá)到25歲 113 87 200 總計(jì) 180 120 300 m＝25時(shí)，可求得K2的觀測值 k2＝＝＝， ∴k2>k1

10、. 欲使犯錯(cuò)誤的概率盡可能小，需取m＝25. 選考系列(請?jiān)谙旅娴膬深}中任選一題作答) 4．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)射線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)，若射線OP與曲線C的交點(diǎn)為A，與直線l的交點(diǎn)為B，求線段AB的長． 解：(1)由可得 所以x2＋(y－1)2＝3， 所以曲線C的普通方程為x2＋(y－1)2＝3. 由ρsin＝2，可得ρ＝2， 所以ρsin θ＋ρ

11、cos θ－2＝0， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. (2)法一：曲線C的方程可化為x2＋y2－2y－2＝0， 所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ－2＝0. 由題意設(shè)A，B， 將θ＝代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ2－ρ－2＝0， 所以ρ＝2或ρ＝－1(舍去)，即ρ1＝2， 將θ＝代入ρsin＝2，可得ρ＝4，即ρ2＝4， 所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2. 法二：因?yàn)樯渚€OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)， 所以射線OP的直角坐標(biāo)方程為y＝x(x≥0)， 由解得A(，1)， 由解得B(2，2)， 所以|AB|＝＝2. 5．[選修4－5：

12、不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|2x－1|. (1)求不等式f(x)≤3的解集； (2)若不等式f(x)≤ax的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：由題意f(x)＝ 作出f(x)的圖象如圖所示， 注意到當(dāng)x＝0或x＝2時(shí)，f(x)＝3， 結(jié)合圖象可知，不等式的解集為[0,2]． (2)由(1)可知，f(x)的圖象如圖所示，不等式f(x)≤ax的解集為空集可轉(zhuǎn)化為f(x)>ax對任意x∈R恒成立， 即函數(shù)y＝ax的圖象始終在函數(shù)y＝f(x)的圖象的下方， 當(dāng)直線y＝ax過點(diǎn)A(2,3)以及與直線y＝－3x＋3平行時(shí)為臨界情況， 所以－3≤a<，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 16