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1、《恒謙教育教學(xué)資源庫》 教師備課、備考伴侶 專注中國基礎(chǔ)教育資源建設(shè) 2014高考數(shù)學(xué)必考熱點大調(diào)查：熱點15組合體問題 【最新考綱解讀】 (1)認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)． (2)了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記憶)． 【回歸課本整合】 2.棱錐 （1）定義:一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的

2、三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐. (2)性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點至截面距離與棱錐高的立方比. （3））棱錐的側(cè)面積=各側(cè)面三角形面積的和；正棱錐的側(cè)面積＝×底面周長×斜高, 棱錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積. 3.球 （1）球的概念：與定點距離等于或小于定長的點的集合，叫做球體；與定點距離等于定長的點的集合叫做球面. （2）球的截面：用一平面去截一個球，設(shè)是平面的垂線段，為垂足，且，所得

3、的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以為半徑的一個圓，截面是一個圓面.球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓 （3）球的表面積公式：. 4.棱柱、棱錐與球的體積 （1）棱柱：體積＝底面積×高，或體積＝直截面面積×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側(cè)棱長；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離） （2）棱錐：體積＝×底面積×高. （3）球的體積公式：. 5.正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺． 正棱臺的性質(zhì)： ①各側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺的斜高，斜高都相等． ②兩底面以

4、及平行于底面的截面是相似多邊形； ③兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個直角梯形； ④兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個直角梯形； ⑤正棱臺的上、下底面中心的連線是棱臺的一條高． (2)圓柱的結(jié)構(gòu)特征 ①平行于底面的截面都是圓；②過軸的截面(軸截面)是全等的矩形． 除了這兩條重要特征外，還應(yīng)掌握下面的一些重要屬性． ①所有的軸截面是以兩底面直徑和兩條母線為邊的全等矩形，若該矩形為正方形，則圓柱叫等邊圓柱． ②用平行于軸的平面去截圓柱，所得的截面是以底面圓的弦和兩條母線為邊的矩形．也就是說過圓柱任意兩條母線的截面一定是一個矩形，在這所有的截面矩形中，以軸

5、截面面積最大． (3)圓錐的結(jié)構(gòu)特征 ①平行于底面的截面都是圓；②過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形；③過圓錐兩條母線的截面．當軸截面的頂角不大于90°時，軸截面面積最大；當軸截面頂角大于90°時，兩母線垂直時截面面積最大． (4)圓臺的結(jié)構(gòu)特征 ①平行于底面的截面都是圓；②過軸的截面是全等的等腰梯形． 截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為，則. （2）與正方體各棱相切的球： 截面圖為正方形EFGH的外接圓.則. （3）正方體的外接球：截面圖正方形ACA1C1的外接圓.則. 3. 正棱柱(錐)與外接球 以正三棱柱為例，設(shè)高為，底面邊長為，如圖所示

6、.球心必落在高DD1的中點O，因為D和D1分別為正三角形的中心.直角三角形AOD，R＝AO, OD=，AD=，借助勾股定理即可求R.解決關(guān)鍵確定直角三角形. 4. 三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球 （1）如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補形為 一個正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.三棱錐A1-AB1D1的外接球的球心和正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.設(shè)，則 C B A S O (2)如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補形為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.(L為長方體的體對角線長). 5. 各面

7、均為直角三角形三棱錐與球 如右圖，SA面ABC,ABBC,則可推出SBBC,即此三棱錐的四個面全是直角三角形.取SC的中點為O,由直角三角形的性質(zhì)可得：OA=OS=0B=OC,所以O(shè)點為三棱錐的外接球的球心.. 【方法技巧提煉】 1. 求體積常見技巧 當給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利． (1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之． (2)幾何體的“補

8、形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等．另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積． (3)有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素． 3.常見的特殊幾何體的性質(zhì) （1）平行六面體： ①底面是平行四邊形的四棱柱. ②{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}； ③平行六面體的任何一個面都可以作為底面； ④平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分； ⑤平行六面體的四條對角線的

9、平方和等于各棱的平方和. （2）長方體： ①長方體的一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和； ②若長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2+ cos2+cos2=1； ③若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2. （3）正棱錐：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐. ①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等； ②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、

10、底面的半邊長可組成四個直角三角形； ③若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則. （4）正四面體：側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體. ①設(shè)正四面體的棱長為，則高為，斜高 【考場經(jīng)驗分享】 1．注意特殊的四棱柱的區(qū)別：直四棱柱、正四棱柱、長方體、正方體、平行六面體、直平行六面體． 2．棱臺的各側(cè)棱延長線交于一點是判斷棱臺的主要依據(jù)，兩底面平行且是相似多邊形． 3．注意還臺為錐的解題方法的運用，將臺體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì)．注意正棱錐中的四個直角三角形為：高、斜高及底面邊心距組成一個直角三角形；高、側(cè)棱與底面外接圓半徑組成一個直角三角形；底面的邊心距、外接圓半徑及半邊長組成一個

11、直角三角形；側(cè)棱、斜高及底邊一半組成一個直角三角形． 4．將幾何體展開為平面圖形時，要注意在何處剪開，多面體要選擇一條棱剪開，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線剪開. 5．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖. 6.關(guān)于組合體的考查一般放在壓軸的

12、選擇或填空的位置，難度較大，需具有較強的畫圖能力和空間想象能力，尤其是與球相關(guān)的內(nèi)切與外接問題，具有一定的規(guī)律和常用的結(jié)論，故總結(jié)常用的類型，形成解題的套路和模式. 2.【北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】在棱長為1的正方體中，點，分別是線段，（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是 A． B． C． D． 3.【廣西百所高中2013屆高三年級第三屆聯(lián)考】如圖，已知球O 是棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截 球O的截面面積為（ ）

13、 A． B． C． D． 6.【天津市新華中學(xué)2013屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形， 為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（ ） A. B. C. D. 8.【云南玉溪一中2013屆第四次月考試卷】四面體中， 則四面體外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 9.【2012河北省名校名師俱樂部高三第二次調(diào)研考試】已知矩形ABCD的頂點都在半徑為R的球O的球面上，AB=6，，棱錐O-ABCD的體積為，則球O的表面積為 A．

14、B． C． D． 10.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中11月高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的底面邊長為時，其高的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 11.【2012河北省名校名師俱樂部高三第二次調(diào)研考試】已知矩形ABCD的頂點都在半徑為R的球O的球面上，AB=6，，棱錐O-ABCD的體積為，則球O的表面積為 A． B． C． D． 12.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中高三11月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】.已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正棱柱的體積最大值時

15、，其高的值為（ ） A． B． C． D． 13.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中高三11月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】已知ABCD為正方形，點P為平面ABCD外一點，，，二面角為，則點C到平面PAB的距離為 14.【云南師大附中2013屆高三適應(yīng)性月考卷（三）】正三棱錐A－BCD內(nèi)接于球O，且底 面邊長為，側(cè)棱長為2，則球O的表面積為____ ． 15.【北京四中2012-2013年度第一學(xué)期高三年級期中】湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為12 cm，深2 cm的空穴，則該球的半徑是______cm，表面

16、積是______cm2. 體的表面積為，其外接球的表面積為，則____________. 18.【云南玉溪一中高2013屆高三上學(xué)期第三次月考】 設(shè)動點在棱長為1的正方體的對角線上，記.當為鈍角時，則的取值范圍是 . 19.【河南中原名校2012—2013學(xué)年度第一學(xué)期期中聯(lián)考】已知球Ol、O2的半徑分別為l、r，體積分別為V1、V2，表面積分別為S1、S2，當時，的取值范圍是 . 20.【江蘇省南通市2013屆高三第二次調(diào)研測試】 若將一個圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開，其展開圖是半徑為2 cm的半圓，則該圓錐的高為

17、 cm． 21.【2013河北省名校名師俱樂部高三3月模擬考試】 在三棱柱中，側(cè)棱垂直底面，，，BC=1，且三棱柱的體積為3，則三棱柱的外接球的表面積為 【2012-2013學(xué)年云南省昆明市高三（上）摸底調(diào)研測試】已知A，B，C，D四點在半徑為的球面上，且，AD=BC=5，AB=CD，則三棱錐D﹣ABC的體積是?。? 22.【云南玉溪一中2013屆第四次月考試卷】已知正三棱錐，點都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為________. . 23.【2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級第一次診斷性測驗試卷】 如圖，單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在平面A1BC1上，則三棱錐P-ACD1的體積 為______ 適用于新課程各種版本教材的教學(xué) 全國統(tǒng)一客服電話：400-715-6688 第10頁