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基于路徑幾何約束的高效機械手控制算法
Kang G. Shin and Neil D. McKay
Department of Electrical and Computer Engineering
The University of Michigan
Ann Arbor， Michigan 48109
摘要：傳統(tǒng)上，機械手控制運算法則被區(qū)分為兩級，即路徑規(guī)劃和路徑跟蹤（或路徑控制）。這種劃分方法已經被主要地應用于減輕復雜連結的機械手動力學。不幸的是，這種簡單的劃分方法是以犧牲機械手的工作效率為代價的。
為了改善這種低效率的情況，本文認為要使機械手在最短時間內沿著一條指定的幾何路徑移動受到輸入扭矩/扭力的限制。我們首先采用幾何學路徑約束引入避免碰撞和操作需求的變量函數來描述機械手動力要求，然后將輸入扭矩/扭力的限制參數轉變成這些變量。最后最短時間的求解就可用相平面技術進行推導運算求解。
1、前言
在過去的幾年人們主要關注于工業(yè)自動化技術，尤其是使用通用機器人技術。由于工業(yè)機器人的目的是為了提高生產力，如何使每1美元的機器人控制投入獲得盡可能多的效益成為越來越突出的問題。通常固定成本在生產項目成本中占主導地位，所以人們總希望在給定的時間中生產盡可能多的產品。
有多種算法可用于最短時間或接近最短時間機械手控制運算。這些算法通常劃分為兩個層次。第一個層次是所謂的路徑規(guī)劃，第二個層次是所謂的路徑跟蹤或路徑控制。通常路徑控制的定義是企圖實現讓機器人的實際位置和速度匹配理想的位置和速度。這種控制用控制器來實現。控制器接收上一次計算的理想位置值與速度值進行路徑位置描述，然后通過路徑跟蹤系統(tǒng)跟蹤機械手實際位置和速度得到運動偏差。
這樣分開控制方案是基于機械手控制程序，如果把控制作為一個整體考慮將會非常復雜，由于幾乎最簡單的機械手的動力學之后是高度地非線性甚至更復雜。把控制分為兩部分來分別處理使得整個控制過程變得簡單。路徑追蹤通常是一個線性的控制算法，機械手動力學的非線性在這一個水平時常不被考慮，如此的追蹤控制通常能得到需要的軌道并使機械手運動與實際要求保持非常接近。使得精密加工得以實現，例如解析運動速度控制（參考文獻[1] ） ，突然的加速度控制（參考文獻[2] ）， 及斷續(xù)速度變化控制（參考文獻[3]-[5] ）。
不幸的是，單純地劃分為路徑規(guī)劃和路徑追蹤是以犧牲效率為代價的。效率低下的根源是路徑規(guī)劃，為了提高機械手的效率，路徑規(guī)劃時必須了解該機器人的動態(tài)特性，以及準確的動態(tài)模型。然而，規(guī)劃運算法則的大部份的路徑計算只與數據計算有關，有關機械手的動力學計算非常少。通常假定機械手的速度和加速度為恒定或按一定規(guī)律變化的（參考文獻[6，7]），并具有一定的區(qū)域邊界約束。事實上，這些約束因位置，負載大小，甚至隨有效載荷面積而改變。因此為了使邊界約束為有效的恒定值，速度面積法的邊界取值必須是速度和加速度的整體最低值；換句話說，對于最壞情況的限制必須有效。由于機械手關節(jié)處的轉動慣量加速度有限制，可能被三個或更多的條件所約束，這些多出的約束造成機械手的效率低下。
為了提高效率，本文提出了一種依據幾何路徑和輸入扭矩/扭力上的最短時間機械手路徑控制解決方案，方案以路徑運算法則的方式加入機械手動力學運算。
路徑規(guī)劃輸出真實的最短時間，作為其它可被測量的路徑規(guī)劃的測量標準。
注意，本文提到的問題和解決辦法與參考文獻 [8，9] 中的接近最短時間控制理論不同。
本文分為五個部分分別論述，第二部分描述了使機械手輸入扭矩的動態(tài)約束方程更易于處理和控制的方法；第三部分考慮公式化－時間控制的細節(jié)問題；第四部分用狀態(tài)－平面的技術求解最優(yōu)解；第五部分是本文亮點，推導產生最佳的運動軌跡的運算法則；最后部分是該方法則使用意義討論。
2、機器人動力學與約束
在進行最短時間控制問題研究前，先考慮對系統(tǒng)的行為進行控制，即機器人的手臂動力學模型。有多種方法獲得的機器人臂的動力學方程，即方程中有關位置處的綜合力和扭矩，速度扭矩和加速度。最常使用的兩種方法是拉格朗日和牛頓、歐拉公式。牛頓、歐拉公式雖然計算效率高，但卻很難用于控制問題的遞推計算。拉格朗日雖然計算效率不高，但確實產生一組非常適用于機械手控制問題的微分方程式。在這里動力方程僅用于獲得分析結果，我們使用拉格朗日的方法得出以下機械手動力學方程(參考文獻[12，13])。
qi=vi (1a)
ui=Jijqvj+Rijvj+Cijkqvjvk+Giq (1b)
式中
qi=ith 廣義坐標
vi=ith 廣義速度
ui=ith 廣義力
Jij= 慣性矩陣
Gi = 在 ith 加上重力的力
Cijk= 科氏陣列
Rij= 粘性摩擦矩陣
愛因斯坦求和約束的使用使所有指數從1到n包含在n自由度機器人中。
慣性矩陣Jij的比例常數是施加于ith的總的扭矩/扭力與Jij上的總加速度?？评飱W利數列描述了結合 j 和 k 的速度進入Cijk的力。粘性摩擦矩陣R給出由于速度 j 產生的 i 而受到的摩擦力。注意這個矩陣為對角矩陣，所有輸入數值無負值。
機器人的手臂運動當然不會完全不受約束。事實上，在關節(jié)處機器人手臂必須限制在一個固定的空間運動，且運動軌跡為給定的參數化曲線。曲線被由參數 λ 的n個函數集決定，所以我們有
qi=fiλ ， 0≤λ≤λmax (2)
其中λ為理想軌跡的一個參數，當λ從 0 到λmax變化時坐標 qi 也連續(xù)地變化且路徑不重復，即λ0=0 ，λtf=λmax .
應當指出，在實際空間的運動軌跡是建立在笛卡爾坐標上。一般很難把曲線從笛卡爾坐標完全轉換到機械臂關節(jié)空間坐標中，相對地執(zhí)行單個點的轉換卻很容易。在笛卡爾的路徑上拾足夠多的點進行坐標變換，利用插值法技術 （例如 三次樣條函數）獲得機械臂關節(jié)空間的一個相似的軌跡。（見［10］為一個例子）
回到之前的問題，我們用時間來區(qū)分參數化的qi 得到
其中μ =λ 運動方程沿著曲線（Le．幾何學的路徑）變成
注意，如果λ表示沿著路徑的弧長，那么μ和μ分別表示沿著路徑的速度和加速度。
基于這種參數化有兩個狀態(tài)變量，即λ和μ，但有（n + 1）個方程。選擇方程λ=μ和剩余方程序之一為狀態(tài)方程，其他方程作為輸入 μ 的約束。將ith乘以dfi(λ)dλ 就可以從給出的n個方程中得到一個狀態(tài)方程
這個公式有個明顯的優(yōu)點，在約束函數導出的向量中參數μ是二次的，當一階導數存在時曲線可以進行參數化，且慣性矩正定，整個的方程能被正的、非零的參數μ分開，由λ和μ得到μ的一個解?，F在得到二個狀態(tài)方程，而最初的n個方程則由輸入和 μ 約束（關于這方面將在后面討論）。
通過變換，狀態(tài)方程變?yōu)?
現在考慮由|ui|≤umaxi和公式（4a）限制的約束，動態(tài)方程（4a）可以寫成這樣的形式：ui=gi(λ)u+hi(λ，μ). 對于一個給定的狀態(tài)，也就是給定的 h 和，u，這是一個參數p的一組線性參數方程，約束存在于輸入變化區(qū)間及因輸入變化形成的約束矩陣中。因此把矩陣約束在u上，通過方程參數使輸入扭矩/扭力變化的所有位置、速度在路徑上彼此限制，給出初始的(λ，μ）及u的大小，如果知道機械手關節(jié)處的輸入扭矩、扭力這樣就能用數的處理來代替n個矢量的處理進而得到一系列的約束（路徑狀態(tài)方程）。
因為性能完全由u決定，我們用-umaxi≤ui≤+umaxi于是有：
簡化：
于是得到：
注意：前面的方程都是λ的函數，為了簡化計算，功能的依賴性在下面的計算不再指出。
給出的控制不等式：
另一種格式：
LBi≤u≤UBi，這些參數由n決定，u滿足：maxLBi≤u≤minUBi 或者
GLB(λ，μ)≤u≤LUB(λ，μ) （7e）
路徑計劃要呈現的運算法則與之前依照慣例得到方程的不同，可知參數λ 是笛卡爾的空間的弧長，μ是速度，μ是幾何加速度。傳統(tǒng)路徑規(guī)劃把加速度劃分為幾個常數間隔，于是：
GLB(λ，μ)≤umin≤u≤umax≤LUB(λ，μ)
式中umin 和 umax是常數。傳統(tǒng)方法把加速度進行了過多的約束，使速度也有過多的約束。
3、最佳控制問題的公式化
現在我們得到根據幾何路徑和輸入系統(tǒng)規(guī)定參數的機械手動力方程，就可以分析實際控制問題了。機械手控制的目的是以最小的輸入得到最大的動力輸出，這可以用最佳控制語言來描述，常用的方法使龐特里亞金最大值原理[11]。最大值問題即點的連接問題，除了一些簡單的點不能使用閉環(huán)控制，而且很難以數字的方式解決。我們使用最大值原理獲得加工質量而不僅僅是獲得方程的解，這個解將用于之后的最小時間求解。
考慮實際情況，最低成本即最短加工時間，就是求機械手運動最大速度，可以表示為：
C=0tf l ? dt (8)
這里tf由電子激光器決定，價值函數C必須服從下面給出的3個約束：機械手的動力微分方程約束（即式（6a），(6b)）;輸入量要求，關節(jié)驅動器輸入扭矩允許范圍要求（即|ui|≤umaxi）；第三個參數是空間參數設置，機械手運動到達指定工位不能與如何物體相碰。假定理想的幾何方程已經把最小時間控制參數化，就像之前希望的（即等式（3）），但最初的點為λ=0，結束點為λ=λmax且dfidλ存在，這樣保證（6a），（6b）存在，同時當λ從0到λmax方程是單調的。把這些代入動力方程，我們得到如下的最短時間方程（簡稱MTPP）。
MTPP：求出x0=λ0，μ0和ui0 通過將式（8）代入（6a），(6b)， |ui|≤umaxi ，及邊界條件
μ0=μ0 , μtf=μf (9a)
λ0=0 , λtf=λmax (9b)
3.1、最大原則的應用
為了使0≤λ≤λmax需要增加一個第三個狀態(tài)方程，第三狀態(tài)v，并要求：
v=λ2l-λ+λmax-λ2lλ-λmax (10)
其中：lx=1 (x≥0) 0 (x<0)
v≥0要求邊界約束v0=vtf=0這樣v無限接近0，當λ在0≤λ≤λmax中間隔取值使v無限接近0。
在對狀態(tài)方程進行變化前，先定義函數：
這樣就可以簡化公式，得到：
區(qū)間M表示機械手功能的二次形式，如果把參數qi加入到動能方程，得到K=Mμ2/2 ；Q表示科里奧利的組成和沿著路勁加上參數化的地心引力；區(qū)間R表示摩擦力，S給出沿著路勁的地心引力，U表示輸入重力區(qū)間。
之前的MTPP可以這樣變化
將（8）代入（11a），(11b)，(11c)，(7d)，(9a)，(9b)求y0=λ0，μ0，v0和U0的極小值，通過MTPP變換哈米爾頓函數變?yōu)椋?
或使用前面的替換得到哈米爾頓函數
對μ求導，
對λ求導，
最后對v求導，
應用最大值原理，我們需求出H在（12b）中的最小值，聯(lián)合各式（11a），(11b)，(11c)，(9a)及（7b），且H必須滿足邊界條件。
這里y是矢量（λ，μ，v）的狀態(tài)向量，我們得到一個簡單的輸入區(qū)間
在式（14）中知道H不明確依賴t，也可以看作 是由約束（9）和vtf=0得到。
注：哈米爾頓函數（12b）在U上線性，且由于ui和dfidλ在[0，λmax]有界使得U有界，這就要求U的最優(yōu)解必須滿足繼電氣控制邏輯，
在最優(yōu)軌跡上任意點的式（12b）中U的解是U的最大或最小值，通過對ui求導得到U的極值，關于ui的等式約束為ui=gi(λ)μ+ hi (λ，μ)，得到
由于U的繼電器控制和給定的參數（λ，μ）U的大小線性地跟隨μ，μ也必須滿足繼電氣控制邏輯。因此μ等于GLB(λ，μ)或LUB(λ，μ)。再考慮三維空間，μ作用于不均等加工時輸入等式約束線上一點，如果 i－th 的聯(lián)合輸入在約束的一邊慢慢趨近于最大值，將推使機械手向正方向推動。
無論輸入的系數是否為零以上的推論都成立，即p2在（13a）中不為0。如果p2只在孤立的點處為0，則得到各處的最佳控制。另一方面，如果p2在某些區(qū)間內為0，我們有下列的定理。
定理1：如果p2在區(qū)間[t1，t2] (t1
S0>Umin(0) 則p2(0)<0，p2(tf)>0 ;
證明：已知0≤λ≤λmax則當t=tf有μ≤0，又μtf=0，則當tλmax。但在tf處μtf=M-1U-S<0，又M>0于是U-S<0，在時間tf時H的值為0，則
如果p2(tf)≤0，那么Htf>0，矛盾，故有p2(tf)>0；
確定p2(0)的符號及μ（0）的大小，同理可得μ0>0 ，則U-S>0，使用繼電器控制于是有U=Umax否則 U=Umin且Umin-S<0，但如果U=Umax則p2<0，于是p2(0)<0.
這些理論的一個重要原則是開關點個數為奇數，如果開關點個數為偶數，p2(tf)的符號將和p2(0)的符號相同，則sinp2tf=（-1）msin( p20)其中m為符號變化次數。
4、相平面解釋
在相位平面中審查系統(tǒng)行為，相位平面軌跡的方程由方程（11 b ）及（11 a）獲得
有趣的是整個時間T從開始到結束可以寫為
然后將得到給定的整體最小參數，這就希望μ越大越好。
參數μ有兩個影響因數：運動軌跡的斜率和μ值的大小。用μ除以μ得到dμdλ=μμ ；為了得到μ就必須考慮μ的范圍，通過λ和μ的特征值，我們有LUB(λ，μ)< GLB(λ，μ)， μ不存在允許值。對于λ的每個值，對應一個由不等式UBi(λ，μ)- LBi (λ，μ)≥0決定的μ值。對于所有的i，j不等式UBi(λ，μ)- LBi (λ，μ)≥0都成立。不等式決定的區(qū)間重合處相平面的軌跡不能丟失，這一區(qū)域將會作為i和j不等式最大、最小相位檢測區(qū)，即
對不等式進行變化
或
除以Mi?Mj
左邊是關于μ的二次方程，如果對于所有的i，Si≤umaxi成立，則μ=0時上面的不等式成立，就能從二次方式中得到μ的邊界值。
引入簡化方程：
不要把Cij和C或Cijk弄混了，于是不等式簡化為：
Aijμ2+Bijμ+Cij+Dij≥0 (17b)
注：由定義Aij=-Aji，Bij=-Bji，Cij=-Cji，Dij=-Dji，對于所有的i和j能被互相交換、對稱或者系數的反對稱，得到不等式
-Aijμ2-Bijμ+Cij-Dij≥0 (17c)
當i≠j時，有n(n-1)/2對方程，n為機械手自由度數。
5、最佳軌跡確定
為了說明我們先找出一個無摩擦機械手最優(yōu)軌跡的運算法則，運算法則包含普通情況，在零磨擦情況，我們有n（n -1)/2 個關于μ的解，每一個解都是關于μ=0對稱的。在相平面內沒有需要避開的孤島，唯一的限制是 μ由一對連續(xù)的曲線軌跡分段連續(xù)導出。最佳的軌跡能構建在叫做構建無摩擦最優(yōu)軌跡運算法則（簡稱ACOTNF）。
第一步：從λ=0，μ=μ0構建具有最大加速度值的軌跡，延長這一曲線直到它在相平面內穿越過可行域或越過λ=λmax，注意“離開可行域 " 暗示如果軌道的一部份碰巧與可行域接口的一個斷面重合，那么軌跡應該沿著接口被延長，直到碰觸到可行域的邊緣，否則軌跡將不連續(xù)。
第二步：從λ=λmax，μ=μf 轉折點建立第二個曲線軌跡，它是一個減速曲線。這一個曲線應該被延長，直到它離開可行域或越過λ=0。
第三步：這兩個曲線交點即轉折點，從λ=0到轉折點的第一條曲線和從轉折點到λ=λmax的第二條曲線組成運動的最佳軌跡。運算法則到此次結束。
第四步：如果兩條曲線在區(qū)域內不相交，那么它們一定離開可行域，稱加速度離開可行域的點為λ1，這是可行域邊界曲線上的一個點。如果邊界曲線由μ=g(λ)給出，從λ1處沿著曲線搜索，直到找到點使 dμdλ=dgdλ 。這個點作為下一個轉換點，記為λd。
第五步：從λd向后建立一個減速曲線，直到它與加速曲線相交，這樣得到另一個轉折點。
第六步：從λd建立一個加速曲線，延長曲線直到它與減速曲線相交或者離開可行域。如果它與減速曲線相交，那么得到另一個轉折點。如果曲線離開可行域，那么重新計算第四步。
這個運算法則依次交替加速減速計算給出最佳的運動軌跡，在討論軌道的最優(yōu)性之前，必須保證ACOTNF 的所有階段是可行的而且 ACOTNF 會結束。
回到最初的問題，步驟1、2、3、5、6明確可行，但是第4步要求找到函數的0點。在給定的狀態(tài)之下，函數至少存在一個零點嗎？回答是的，可由下證明：
注意，在λ=λ1處 ，曲線軌跡從可行域溢出。
同樣地，在點λ=λ2 處減速曲線在可行域外經過，軌跡一定穿過內部。如果在這些點處可行域的邊界曲線的斜率連續(xù)，那么我們有
g(λ)是可行域邊界方程，dμdλ=dg（λ）dλ的值必須在λ1和λ2之間變化。如果 g（λ ）在這一范圍內連續(xù)，那么至少存在一個零點。然而， g（ λ ）只是大體上分段地可見，所以可能導出不連續(xù)的點，這種情況有可能「零點不存在」，事實上零點總是存在的，我們通過下列的定理證明。
定理3a：左導數使?λ=dμdλ-dg（λ）dλ，如果?λ1>0且?λ2<0，則?λ在區(qū)間[λ1，λ2]至少存在一個零點。
證明：如果g（ λ ）的微分在區(qū)間[λ1，λ2]連續(xù)，那么一定存在一個零點。如果g（ λ ）不連續(xù)，假設不存在零點，則在g（ λ ）溢出區(qū)間存在一個或更多的點，符號變化發(fā)生于這一個或更多的這些點。
如果不是這樣，那么在g（ λ ）存在一個符號變化的點使g（ λ ）微分連續(xù)，而且因此會有一個零點。兩個限制參數記為g1，g2;g1作用于λ<λd，g2作用于λ>λd，由limλ>0>limφλ有
對于ε>0我們有代入約束，由g（ λ ）=min gi（ λ ）得g1 λd+ε λdi的約束解，和假設矛盾。這樣至少存在一個點使?λ為零。這一個定理的圖解意義在圖 7 說明。從圖中看出， g（ λ ）一定超出區(qū)域，且?λ是分段連續(xù)的，曲線向上跳躍。證明完畢。
為了要證明ACOTNF 結束，我們對函數fi(λ) 進行一些假設 ，假設fi可分段求解且由有限個不含實際價值的數組成。非正式地，因為慣性矩陣，科里奧利數列，重力加速度等是全局解析函數，而且自從路徑被限制之后是分段求解的，我們已經處理的所有函數也是分段求解的，函數?λ也是分段求解的，于是將會因此在每個區(qū)域中產生一個零點或有限個零點。如果?λ間隔地為0，軌跡將沿著邊界停止在間隔結束的地方，相同的零間隔不會引起問題。只有間隔的最右面點可能是一個交換點，因此只有如此有限的間隔會引起ACOTNF 有限的反復。如此收斂被保證，因此有限數目的解域我們有下列的定理：
定理3b：如果函數fi有有限個實際價值解，那么函數?λ存在一定數量的間隔結束于區(qū)域外的零。
證明：慣性矩陣，科里奧利陣列，重力加速度在 qi 中分段解，fiλ在λ處的解等等作為λ函數（就像公式（4a）和(4b)）的分段解或有限的單解。公式（7b）中的M，Q，R，S也是單個的解。一個在有限區(qū)間內沒有奇點的實際價值的解析函數，一定存在有限個零點或同一零點，工程量M必須在區(qū)間內為零。如果假設
我們可以得到所有的Mi零點。如果其中一個Mi不為零，就不存在邊界曲線，就沒有零點。只要有兩個或更多不為零的點，就可得到邊界曲線。坐標i，j代入式(17b)(用=代替≥)得到曲線，式（17b）中系數A，B，C，D排除在Mi中的零之外，由于Mi存在零點，考慮用Mi中的零點進行區(qū)間分割。在每個小區(qū)間內，只有一個（17b）方程有效。在區(qū)間內μ是λ的一個解，邊界曲線g（ λ ）是特解，?λ也是特解且在每個區(qū)間內存在一個或數個零點。由于?λ在區(qū)間內存在一個或數個零點，因此區(qū)間個數是有限的，且結束于區(qū)域外的零。證明完畢。
定理4：由ACOTNF產生的任何軌跡在最短時間控制上是最優(yōu)的。
證明：該定理的證明是直接證明。假設一個軌跡比由ACOTNF算法產生的軌跡有更小的運動時間。由等式（8）可知，必然存在λ使新軌跡上的點（λ，μ’）高于ACOTNF軌跡上的點（λ，μ），即μ’>μ。否則，就不存在一個運動時間更短的軌跡。我們根據最大原則分析可知解不唯一，即存在數條最大加減速曲線，所以我們只能應用那些不確定的軌跡?，F在有四種可能，（λ，μ’）可能位于ACOTNF軌跡初始的加速段，也可能位于最后的減速段，也有可能位于其他的加速或減速軌跡上。在第一種情況下，新軌跡的初始值必須大于ACOTNF的初始值。否則，新的軌跡必須在某些點上具有比ACOTNF更大的加速度，而這是不可能的，因為ACOTNF軌跡擁有可允許的最大加速度。新軌跡因此就可能達到合適的臨界條件。第二種情況與之類似。因為（λ，μ’）點在ACOTNF軌跡上，新軌跡必須比擁有最大的減速度的ACOTNF軌跡減速更快才能達到相同的臨界條件。這也是不可能的，因為ACOTNF使用最大的減速度。在第三種情況下，（λ，μ’）在其他的加速軌跡上，在這種情況下，通向（λ，μ’）點的軌跡必須移出可行域的邊界。否則，這些軌跡必須通過ACOTNF軌跡的加速階段，因為它們通過邊界上的一個點。新軌跡在該相交點的加速度將大于ACOTNF的軌跡，同樣，這也是不可能的。最后一種情況與前者類似。從（λ，μ’）出發(fā)的加速或者減速軌跡必須要么與可行域的邊界相交，要么比ACOTNF減速軌跡減速快，因此，無解。證明完畢。
這種產生最優(yōu)軌跡的方法可以在相位平面內任何有可行域的情況下工作，而不只是無摩擦的情況?；舅枷胧菬o限接近可行域的邊緣而不超出它。因此軌跡僅僅是沒有接觸到非可行域。在實際中這當然會很危險，因為控制系統(tǒng)輸入和測試系統(tǒng)參數的小錯誤都將很可能使機器人偏離預定的軌跡。然而從理論上說，這個軌跡是最節(jié)約時間的。
我們現在考慮一般的情況，即摩擦力足以使相位平面產生孤島。在這種情況下，該算法必須用一種超微不同的形式來展現。因為存在數條邊界曲線而不是一個，不可能像ACOTNF中做的那樣只研究零點的一個函數。因此我們不再在算法過程中尋找零點，而是一次性的全找出來。然后建立沒有邊界的軌跡，不管這些邊界是可行域的邊緣還是孤島的邊緣。合適的軌跡可以通過搜索結果曲線圖找到——一直選擇盡可能高的軌跡，有必要的話回溯。更正式的，最優(yōu)軌跡建立算法是：
第一步：建立初始的加速軌跡。（與ACOTNF相同）
第二步：建立最終的減速軌跡。（與ACOTNF相同）
第三步：計算可行域邊線和所有的孤島邊線的函數?（λ）。在每一個零點，建立一個以零點為轉換點的軌跡，就像ACOTNF的第五步和第六步。轉換方向（加速到減速或者反過來）應該以不使軌跡離開可行域為準來選擇。延長每條軌跡，使它或者離開可行域或者通過λmax.
第四步:找到軌跡的所有交點。這是潛在的轉換點。
第五步：從λ=0，μ=μC穿過網格，這些網格是由從起始點到終點的最高的軌跡形成的。這在下面的網格穿越算法中有介紹。
穿越有上面的第三步和第四步產生的軌跡形成的網格是對曲線圖的一個搜索，目的是要找到最終的減速軌跡。如果設想一個人沿著這些軌跡搜索這些網格，那么如果這可能的話他就會一直左轉。如果一個轉向引向了死角，那么就有必要回溯，然后就向右轉了。整個過程是遞歸的，就像瀏覽樹狀圖的過程一樣。
算法包含兩個過程，一個是搜索加速曲線，另一個搜索減速曲線。算法是：
加速搜索：在當前的（加速）軌跡上，找到最后一個轉換點。在這一點，當前的軌跡到達一個減速軌跡。如果那條曲線是最終的減速軌跡，那么現在考慮的轉換點就是最終的最優(yōu)軌跡的一個轉換點。否則，從當前的轉換點開始進行減速搜索。如果減速搜索成功，那么當前的點就是最優(yōu)軌跡的一個轉換點。否則，沿當前的加速曲線回到前一個轉換點，重復這個過程。
減速搜索：在當前的（減速）軌跡，找到第一個轉換點。從該點開始應用加速搜索。如果成功，那么當前的點就是一個最優(yōu)軌跡的轉換點，則前移至下一個轉換點并重復這個過程。
這兩個算法一直是首先尋找速度最高的曲線，因為加速搜索總是從加速曲線的末端開始，而減速搜索總是從減速曲線的開端開始。因此算法找到（如果有可能）速度最快的軌跡，因此搜索時間最短。
這個算法的最優(yōu)性和一致性的證明實質上與ACOTNF是一樣的，這里不再重復。注意在ACOTNF的一致性證明中，在零摩擦情況下只存在一條邊界曲線的事實沒有用到；因此同樣的證明也適用于高摩擦條件下。
6.討論和總結
在這篇文章里，我們展示了一種獲得在提供理想的幾何軌跡和輸入扭轉約束力的條件下機械手運動最小時間控制軌跡的方法。
就像前面提出的，最優(yōu)軌跡可能接觸到可行域的邊界，產生相當危險的情況。但是，如果在計算中使用略微保守的扭轉約束值，那么實際的可行域就會略微大于計算可行域，留出失誤的空間。
在高摩擦和低摩擦情況下的算法都已經展示了。在這兩種情況下，算法產生“僅僅丟失”非可行域的軌跡，不管丟失的非可行域部分是一個孤島還是有較高的速度限制形成的域。
假設機器人的輸入轉矩被約束，我們得到一個測試機器人沿給定的空間路徑運動的最小時間開環(huán)控制的算法。但是，對不同的輸入參數也應該可能獲得解。因為該算法產生真正的最小時間解，而不是一個近似值，所以該算法的結果能夠為其他的路徑設計算法提供一個絕對的測量參考。
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附圖：
附件2
外文資料
第一章 概述
1、引言
隨著氣動技術獲得了快速發(fā)展，利用成本性能比低，同時具有許多優(yōu)點的氣動機械手設備來滿足社會生產實踐需要越來越多的受到重視。氣動機械手與其他控制方式的機械手相比，具有價格低廉、結構簡單，功率體積比高、無污染及抗干擾性能強等特點。
1、2機械手的應用與發(fā)展
機械手臂在產業(yè)自動化的應用已經相當廣泛，因為各個國家產業(yè)分布的不同，以及各產業(yè)對于機械手臂的需求量也有差異。主要是使用于人工無法進行或者會耗費較多時間來做的工作，機械手臂在精度與耐用性上可以減少許人為的不可預知問題。自從第一臺產業(yè)用機器人發(fā)明以來，機械手臂的應用也從原本的汽車工業(yè)、模具制造、電子制程等相關產業(yè)，更拓展到農業(yè)、醫(yī)療、服務業(yè)…等等。
多軸機械手臂研發(fā)方面，多軸式機械手臂廣泛應用于汽車制造商、汽車零組件與電子相關產業(yè)。機械手臂可以提升產品技術與品質，而這些初期工作大多可以借由機械手臂來完成。機械手臂的精準、零誤差，對于產品的品質掌握自然擁有其優(yōu)勢，減少品管所花費的時間與人力。 工業(yè)應用上，以裝配、加工、熔接、切削、加壓、貨物搬運、檢測…等，全球目前產業(yè)使用量是以汽車、汽車零組件、化工、橡膠和塑料等最大?，F在，ROBOT的應用已越來越多元化，依據國際機器人協(xié)會（IFR）的統(tǒng)計，至2007年底機械手臂除了工業(yè)以外，最多應用于救援、保全與野地（田野、牧場等），近年來，各先進國家為了提升臺機器人的技術水平，都會推廣機器人產業(yè)與創(chuàng)立相關聯(lián)盟，并且特別針對工業(yè)以外的領域進行推廣，例如：醫(yī)療、服務、生活方面…等。以醫(yī)療為例，有許多大型醫(yī)學中心使用以手動操控方式之機械手臂，結合顯微影像顯示系統(tǒng)所結合的手術型機器人。 機械手臂的研發(fā)也朝向節(jié)省人力、減少人類暴露在危險的工作環(huán)境、甚至進行更加精密的工作或是輔助操作。機械手臂的技術發(fā)展都是為了讓人類在工作與生活中更加便利。
1、3氣動機械手概述
氣動機械手由操作機(機械本體)、控制器、伺服驅動系統(tǒng)和檢測傳感裝置構成，是一種仿人操作，自動控制、可重復編程、能在三維空間完成各種作業(yè)的機電一體化自動化設備。特別適合于多品種、變批量的柔性生產。它對穩(wěn)定、提高產品質量，提高生產效率，改善勞動條件和產品的快速更新?lián)Q代起著十分重要的作用。機器人技術是綜合了計算機、控制論、機構學、信息和傳感技術、人工智能、仿生學等多學科而形成的高新技術，是當代研究十分活躍，應用日益廣泛的領域。機器人應用情況，是一個國家工業(yè)自動化水平的重要標志。機器人并不是在簡單意義上代替人工的勞動，而是綜合了人的特長和機器特長的一種擬人的電子機械裝置，既有人對環(huán)境狀態(tài)的快速反應和分析判斷能力，又有機器可長時間持續(xù)工作、精確度高、抗惡劣環(huán)境的能力，從某種意義上說它也是機器的進化過程產物，它是工業(yè)以及非產業(yè)界的重要生產和服務性設各，也是先進制造技術領域不可缺少的自動化設備.機械手是模仿著人手的部分動作，按給定程序、軌跡和要求實現自動抓取、搬運或操作的自動機械裝置。在工業(yè)生產中應用的機械手被稱為“工業(yè)機械手”。生產中應用機械手可以提高生產的自動化水平和勞動生產率:可以減輕勞動強度、保證產品質量、實現安全生產;尤其在高溫、高壓、低溫、低壓、粉塵、易爆、有毒氣體和放射性等惡劣的環(huán)境中，它代替人進行正常的工作，意義更為重大。因此，在機械加工、沖壓、鑄、鍛、焊接、熱處理、電鍍、噴漆、裝配以及輕工業(yè)、交通運輸業(yè)等方面得到越來越廣泛的引用.機械手的結構形式開始比較簡單，專用性較強，僅為某臺機床的上下料裝置，是附屬于該機床的專用機械手。隨著工業(yè)技術的發(fā)展，制成了能夠獨立的按程序控制實現重復操作，適用范圍比較廣的“程序控制通用機械手”，簡稱通用機械手。由于通用機械手能很快的改變工作程序，適應性較強，所以它在不斷變換生產品種的中小批量生產中獲得廣泛的引用。
1、4機械手的組成和分類
1、4、1機械手的組成
機械手主要由執(zhí)行機構、驅動系統(tǒng)、控制系統(tǒng)以及位置檢測裝置等所組成。各系統(tǒng)相互之間的關系如方框圖1-1所示。
控制系統(tǒng)
驅動系統(tǒng)
被抓取工件
執(zhí)行機構
位置檢測裝置
圖1.1機械手的組成方框圖
(一)執(zhí)行機構
包括手部、手腕、手臂和立柱等部件，有的還增設行走機構。
1、手部
即與物件接觸的部件。由于與物件接觸的形式不同，可分為夾持式和吸附式手部。夾持式手部由手指(或手爪) 和傳力機構所構成。手指是與物件直接接觸的構件，常用的手指運動形式有回轉型和平移型。回轉型手指結構簡單，制造容易構件，故應用較廣泛平移型應用較少，其原因是結構比較復雜，但平移型手指夾持圓形零件時，工件直徑變化不影響其軸心的位置，因此適宜夾持直徑變化范圍大的工件。
手指結構取決于被抓取物件的表面形狀、被抓部位(是外廓或是內孔)和物件的重量及尺寸。常用的指形有平面的、V形面的和曲面的:手指有外夾式和內撐式;指數有雙指式、多指式和雙手雙指式等。
而傳力機構則通過手指產生夾緊力來完成夾放物件的任務。傳力機構型式較常用的有:滑槽杠桿式、連桿杠桿式、斜面杠桿式、齒輪齒條式、絲杠螺母多，式彈簧式和重力式等。
附式手部主要由吸盤等構成，它是靠吸附力(如吸盤內形成負壓或產生電吸磁力)吸附物件，相應的吸附式手部有負壓吸盤和電磁盤兩類。
對于輕小片狀零件、光滑薄板材料等，通常用負壓吸盤吸料。造成負壓的方式有氣流負壓式和真空泵式。
對于導磁性的環(huán)類和帶孔的盤類零件，以及有網孔狀的板料等，通常用電磁吸盤吸料。電磁吸盤的吸力由直流電磁鐵和交流電磁鐵產生。
用負壓吸盤和電磁吸盤吸料，其吸盤的形狀、數量、吸附力大小，根據被吸附的物件形狀、尺寸和重量大小而定。
此外，根據特殊需要，手部還有勺式(如澆鑄機械手的澆包部分)、托式(如冷齒輪機床上下料機械手的手部)等型式。
2、手腕
是連接手部和手臂的部件，并可用來調整被抓取物件的方位(即姿勢)。
3、手臂
手臂是支承被抓物件、手部、手腕的重要部件。手臂的作用是帶動手指去抓取物件，并按預定要求將其搬運到指定的位置。工業(yè)機械手的手臂通常由驅動手臂運動的部件(如油缸、氣缸、齒輪齒條機構、連桿機構、螺旋機構和凸輪機構等)與驅動源(如液壓、氣壓或電機等)相配合，以實現手臂的各種運動。
手臂可能實現的運動如下:
手臂運動
基本運動
復合運動
直線運動與回轉運動的組合(即螺旋運動)
兩直線運動的組合(即平面運動)
回轉運動:如水平回轉、左右擺動運動
直線運動:如伸縮、升降、橫移運動
兩回轉運動的組合(即空間曲面運動)。
手臂在進行伸縮或升降運動時，為了防止繞其軸線的轉動，都需要有導向裝置，以保證手指按正確方向運動。此外，導向裝置還能承擔手臂所受的彎曲力矩和扭轉力矩以及手臂回轉運動時在啟動、制動瞬間產生的慣性力矩，使運動部件受力狀態(tài)簡單。
導向裝置結構形式，常用的有:單圓柱、雙圓柱、四圓柱和V形槽、燕尾槽等導向型式。
4、立柱
立柱也可以是手臂的一部分，手臂的回轉運動和升降(或俯仰)運動均與立柱有密切的聯(lián)系。機械豐的立往通常為固定不動的，但機械手的立柱是支承手臂的部件，因工作需要，有時也可作橫向移動，即稱為可移式立柱。
5、行走機構
當工業(yè)機械手需要完成較遠距離的操作，或擴大使用范圍時，可在機座上安裝滾輪、軌道等行走機構，以實現工業(yè)機械手的整機運動。滾輪式行走機構可分為有軌的和無軌的兩種。驅動滾輪運動則應另外增設機械傳動裝置。
6、機座
機座是機械手的基礎部分，機械手執(zhí)行機構的各部件和驅動系統(tǒng)均安裝于機座上，故起支撐和連接的作用。
（二）驅動系統(tǒng)
驅動系統(tǒng)是驅動工業(yè)機械手執(zhí)行機構運動的動力裝置。通常由動力源、控制調節(jié)裝置和輔助裝置組成。常用的驅動系統(tǒng)有液壓傳動、氣壓傳動、電力傳動和機械傳動。
控制系統(tǒng)有電氣控制和射流控制兩種，它支配著機械手按規(guī)定的程序運動，并記憶人們給予機械手的指令信息(如動作順序、運動軌跡、運動速度及時間)，同時按其控制系統(tǒng)的信息對執(zhí)行機構發(fā)出指令，必要時可對機械手的動作進行監(jiān)視，當動作有錯誤或發(fā)生故障時即發(fā)出報警信號。
（三）位置檢測裝置
控制機械手執(zhí)行機構的運動位置，并隨時將執(zhí)行機構的實際位置反饋給控制系統(tǒng)，并與設定的位置進行比較，然后通過控制系統(tǒng)進行調整，從而使執(zhí)行機構以一定的精度達到設定位置.
1.4.2機械手的分類
工業(yè)機械手的種類很多，關于分類的問題，目前在國內尚無統(tǒng)一的分類標準，在此暫按使用范圍、驅動方式和控制系統(tǒng)等進行分類。
1、 按用途分
機械手可分為專用機械手和通用機械手兩種:
（1） 專用機械手
它是附屬于主機的、具有固定程序而無獨立控制系統(tǒng)的機械裝置。專用機械手具有動作少、工作對象單一、結構簡單、使用可靠和造價低等特點，適用于大批量的自動化生產，如自動機床、自動線的上、下料機械手。
（2） 通用機械手
它是一種具有獨立控制系統(tǒng)的、程序可變的、動作靈活多樣的機械手。在規(guī)格性能范圍內，其動作程序是可變的，通過調整可在不同場合使用，驅動系統(tǒng)和控制系統(tǒng)是獨立的。通用機械手的工作范圍大、定位精度高、通用性強，適用于不斷變換生產品種的中小批量自動化的生產。
2、 按驅動方式分
（1） 液壓傳動機械手
是以液壓的壓力來驅動執(zhí)行機構運動的機械手。其主要特點是:抓重可達幾百公斤以上、傳動平穩(wěn)、結構緊湊、動作靈敏。但對密封裝置要求嚴格，不然油的泄漏對機械手的工作性能有很大的影響，且不宜在高溫、低溫下工作。若機械手采用電液伺服驅動系統(tǒng)，可實現連續(xù)軌跡控制，使機械手的通用性擴大，但是電液伺服閥的制造精度高，油液過濾要求嚴格，成本高。
（2） 氣壓傳動機械手
是以壓縮空氣的壓力來驅動執(zhí)行機構運動的機械手。其主要特點是:介質來源極為方便，輸出力小，氣動動作迅速，結構簡單，成本低。但是，由于空氣具有可壓縮的特性，工作速度的穩(wěn)定性較差，沖擊大，而且氣源壓力較低，抓重一般在30公斤以下，在同樣抓重條件下它比液壓機械手的結構大，所以適用于高速、輕載、高溫和粉塵大的環(huán)境中進行工作。
（3） 機械傳動機械手
即由機械傳動機構(如凸輪、連桿、齒輪和齒條、間歇機構等)驅動的機械手。它是一種附屬于工作主機的專用機械手，其動力是由工作機械傳遞的。它的主要特點是運動準確可靠，動作頻率大，但結構較大，動作程序不可變。它常被用于工作主機的上、下料。
（4） 電力傳動機械手
即有特殊結構的感應電動機、直線電機或功率步進電機直接驅動執(zhí)行機構運動的機械手，因為不需要中間的轉換機構，故機械結構簡單。其中直線電機機械手的運動速度快和行程長，維護和使用方便。此類機械手目前還不多，但有發(fā)展前途。
3、 按控制方式分
（1） 點位控制
它的運動為空間點到點之間的移動，只能控制運動過程中幾個點的位置，不能控制其運動軌跡。若欲控制的點數多，則必然增加電氣控制系統(tǒng)的復雜性。目前使用的專用和通用工業(yè)機械手均屬于此類。
（2） 連續(xù)軌跡控制
它的運動軌跡為空間的任意連續(xù)曲線，其特點是設定點為無限的，整個移動過程處于控制之下，可以實現平穩(wěn)和準確的運動，并且使用范圍廣，但電氣控制系統(tǒng)復雜。這類工業(yè)機械手一般采用小型計算機進行控制。
第二章 氣動機械手的設計
對氣動機械手的基本要求是能快速、準確地拾-放和搬運物件，這就要求它們具有高精度、快速反應、一定的承載能力、足夠的工作空間和靈活的自由度及在任意位置都能自動定位等特性。設計氣動機械手的原則是:充分分析作業(yè)對象(工件)的作業(yè)技術要求，擬定最合理的作業(yè)工序和工藝，并滿足系統(tǒng)功能要求和環(huán)境條件;明確工件的結構形狀和材料特性，定位精度要求，抓取、搬運時的受力特性、尺寸和質量參數等，從而進一步確定對機械手結構及運行控制的要求;盡量選用定型的標準組件，簡化設計制造過程，兼顧通用性和專用性，并能實現柔性轉換和編程控制。
2.1機械手的坐標型式與自由度
按機械手手臂的不同運動形式及其組合情況，其坐標型式可分為直角坐標式、圓柱坐標式、球坐標式和關節(jié)式。由于本機械手在上下料時手臂具有升降、收縮及回轉運動，因此，采用圓柱坐標型式。相應的機械手具有四個自由度，為了彌補升降運動行程較小的缺點，增加手臂擺動機構，從而增加一個手臂上下擺動的自由度。
2.2機械手的手部結構方案設計
為了使機械手的通用性更強，把機械手的手部結構設計成可更換結構，當工件是棒料時，使用夾持式手部；當工件是板料時，使用氣流負壓式吸盤。
2.3機械手的手腕結構方案設計
考慮到機械手的通用性，同時由于被抓取工件是水平放置，因此手腕必須設有回轉運動才可滿足工作的要求。因此，手腕設計成回轉結構，實現手腕回轉運動的機構為回轉氣缸。
2.4機械手的手臂結構方案設計
按照抓取工件的要求，本機械手的手臂有三個自由度，即手臂的伸縮、左右回轉和升降(或俯仰)運動。手臂的回轉和升降運動是通過立柱來實現的，立柱的橫向移動即為手臂的橫移。手臂的各種運動由氣缸來實現。
2.5機械手的驅動方案設計
由于氣壓傳動系統(tǒng)的動作迅速，反應靈敏，阻力損失和泄漏較小，成本低廉因此本機械手采用氣壓傳動方式。
2.6機械手的控制方案設計
考慮到機械手的通用性，同時使用點位控制，因此我們采用可編程序控制器 (PLC)對機械手進行控制。當機械手的動作流程改變時，只需改變PLC程序即可實現，非常方便快捷。
2.7機械手的主要參數
1、主參數機械手的最大抓重是其規(guī)格的主參數，目前機械手最大抓重以10公斤左右的為數最多。故該機械手主參數定為10公斤，高速動作時抓重減半。使用吸盤式手部時可吸附5公斤的重物。
2、基本參數運動速度是機械手主要的基本參數。操作節(jié)拍對機械手速度提出了要求，設計速度過低限制了它的使用范圍。而影響機械手動作快慢的主要因素是手臂伸縮及回轉的速度。
該機械手最大移動速度設計為1. 2m/s，最大回轉速度設計為120o/s。平均移動速度為lm/s，平均回轉速度為900/s。
機械手動作時有啟動、停止過程的加、減速度存在，用速度一行程曲線來說明速度特性較為全面，因為平均速度與行程有關，故用平均速度表示速度的快慢更為符合速度特性。
除了運動速度以外，手臂設計的基本參數還有伸縮行程和工作半徑。大部分機械手設計成相當于人工坐著或站著且略有走動操作的空間。過大的伸縮行程和工作半徑，必然帶來偏重力矩增大而剛性降低。在這種情況下宜采用自動傳送裝置為好。根據統(tǒng)計和比較，該機械手手臂的伸縮行程定為600mm,最大工作半徑約為1500mm，手臂安裝前后可調200mm。手臂回轉行程范圍定為2400(應大于1800，否則需安裝多只手臂)，又由于該機械手設計成手臂安裝范圍可調，從而擴大了它的使用范圍。手臂升降行程定為150mm。定位精度也是基本參數之一。該機械手的定位精度為土0. 5—±1 mm，旋轉角度為180°。
2.8機械手的技術參數列表
一、用途:
用于100噸以上沖床上下料。
二、設計技術參數:
1、抓重
10公斤(夾持式手部)
5公斤(氣流負壓式吸盤)
2、自由度數
4個自由度
3、座標型式
圓柱座標
4、最大工作半徑
1500mm
5、手臂最大中心高
1380mm
6、手臂運動參數
伸縮行程600mm
伸縮速度500mn/s
升降行程200mm
升降速度300mm/s
回轉范圍00 -2400
回轉速度900/s
7、手腕運動參數
回轉范圍 00--1800
回轉速度1800/s
8、手指夾持范圍
棒料:Ф80—Ф150mm
片料:面積不大于0. 5㎡
9、定位精度
士0. 5mm
10、緩沖方式
液壓緩沖器
11、傳動方式
氣壓傳動
12、控制方式
點位程序控制(采用PLC)
2.9機械手裝配
2.9.1手部結構設計
設計針對的是工件是棒料時，使用夾持式手部。夾持式手部結構由手指 (或手爪)和傳力機構所組成。其傳力結構形式比較多，如滑槽杠桿式、斜楔杠桿式、齒輪齒條式、彈簧杠桿式等，本設計選擇齒輪齒條式。
設計時考慮的幾個問題：
(一) 具有足夠的握力 (即夾緊力)
在確定手指的握力時，除考慮工件重量外，還應考慮在傳送或操作過程中所產生的慣性力和振動，以保證工件不致產生松動或脫落。
(二) 手指間應具有一定的開閉角
兩手指張開與閉合的兩個極限位置所夾的角度稱為手指的開閉角。手指的開閉角應保證工件能順利進入或脫開，若夾持不同直徑的工件，應按最大直徑的工件考慮。對于移動型手指只有開閉幅度的要求。
(三) 保證工件準確定位
為使手指和被夾持工件保持準確的相對位置，必須根據被抓取工件的形狀，選擇相應的手指形狀。例如圓柱形工件采用帶“V”形面的手指，以便自動定心。
(四)具有足夠的強度和剛度
手指除受到被夾持工件的反作用力外，還受到機械手在運動過程中所產生的慣性力和振動的影響，要求有足夠的強度和剛度以防折斷或彎曲變形，當應盡量使結構簡單緊湊，自重輕，并使手部的中心在手腕的回轉軸線上，以使手腕的扭轉力矩最小為佳。
(五) 考慮被抓取對象的要求
根據機械手的工作需要，通過比較，我們采用的機械手的手部結構是一支點兩指回轉型，由于工件多為圓柱形，故手指形狀設計成V型，其結構如圖所示。
本課題氣動機械手的手部結構如圖2.1所示，其工件平均重量G=2公斤，V形手指的角度2θ=120°，b=50mm， R=10mm,摩擦系數為f=0. 10。
其中：N = 0.5G*10*tg(θ±5°) ≈ 0.5*20*tg60°=17.3N
夾持工件時所需夾緊氣缸的驅動力為P = N = 173 N。
圖2.1齒輪齒條式手部
2.9.2手腕結構設計
手腕是連接手部和手臂的部件，它的作用是調整或改變工件的方位，因而具有獨立的自由度，以使機械手適應復雜的動作要求。
由于本機械手抓取的工件是水平放置，同時考慮到通用性，因此給手腕設一繞x軸轉動回轉運動才可滿足工作的要求。
目前實現手腕回轉運動的機構，應用最多的為回轉油(氣)缸，因此我們選用回轉氣缸。它的結構緊湊，但回轉角度小于360°，并且要求嚴格的密封。
手腕的回轉、上下和左右擺動均為回轉運動，驅動手腕回轉時的驅動力矩必須克服手腕起動時所產生的慣性力矩，手腕的轉動軸與支承孔處的摩擦阻力矩，動片與缸徑、定片、端蓋等處密封裝置的摩擦阻力矩以及由于轉動件的中心與轉動軸線不重合所產生的偏重力矩。圖2.2所示為手腕受力的示意圖。
1.工件 2.手部 3.手腕
圖2.2 手碗回轉時受力狀態(tài)
手腕轉動時所需的驅動力矩可按下式計算:
M驅 =M慣+ M偏+ M摩+ M封
式中:M驅 — 驅動手腕轉動的驅動力矩(Kg *cm)；
M慣 — 慣性力矩(Kg *cm)；
M偏 — 參與轉動的零部件的重量(包括工件、手部、手腕回轉缸的動片)對轉動軸線所產生的偏重力矩(Kg *cm)；
M摩 — 手腕轉動軸與支承孔處的摩擦阻力矩(Kg *cm)；
M封— 手腕回轉缸的動片與定片、缸徑、端蓋等處密封裝置的摩擦阻力矩(Kg *cm)。
2.9.3回轉氣缸的驅動力矩計算
在機械手的手腕回轉運動中所采用的回轉缸是單葉片回轉氣缸，它的工作原理如圖2.3所示，定片1與缸體2固連，動片3與回轉軸5固連。動片3及密封圈4把氣腔分隔成兩個.當壓縮氣體從孔a進入時，推動輸出軸作逆時針方向回轉，則低壓腔的氣從b孔排出。反之，輸出軸作順時針方向回轉。單葉片回轉氣缸的壓力p和驅動力矩M的關系為: P =
圖2.3回轉氣缸簡圖
式中:M - 回轉氣缸的驅動力矩(N*cm)；
P - 回轉氣缸的工作壓力(N*cm)；
R - 缸體內壁半徑 (cm);
R - 輸出軸半徑 (cm);
b - 動片寬度 (cm).
上述驅動力矩和壓力的關系式是對于低壓腔背壓為零的情況下而言的。若低壓腔有一定的背壓，則上式中的P應代以工作壓力P1與背壓P2之差。
2.9.4手臂結構設計
按照抓取工件的要求，本機械手的手臂有三個自由度，即手臂的伸縮、左右回轉和升降 (或俯仰)運動。手臂的回轉和升降運動是通過立柱來實現的，立柱的橫向移動即為手臂的橫移。手臂的各種運動由氣缸來實現。
（1） 結構設計
手臂的伸縮是直線運動，實現直線往復運動采用的是氣壓驅動的活塞氣缸。由于活塞氣缸的體積小、重量輕，因而在機械手的手臂結構中應用比較多。
同時，氣壓驅動的機械手手臂在進行伸縮(或升降)運動時，為了防止手臂繞軸線發(fā)生轉動，以保證手指的正確方向，并使活塞桿不受較大的彎曲力矩作用，以增加手臂的剛性，在設計手臂結構時，必須采用適當的導向裝置。它應根據手臂的安裝形式，具體的結構和抓取重量等因素加以確定，同時在結構設計和布局上應盡量減少運動部件的重量和減少手臂對回轉中心的轉動慣量。在本機械手中采用的是單導向桿作為導向裝置，它可以增加手臂的剛性和導向性。
（2） 導向裝置
氣壓驅動的機械手手臂在進行伸縮(或升降)運動時，為了防止手臂繞軸線發(fā)生轉動，以保證手指的正確方向，并使活塞桿不受較大的彎曲力矩作用，以增加手臂的剛性，在設計手臂結構時，必須采用適當的導向裝置。它應根據手臂的安裝形式，具體的結構和抓取重量等因素加以確定，同時在結構設計和布局上應盡量減少運動部件的重量和減少手臂對回轉中心的轉動慣量。
目前常采用的導向裝置有單導向桿、雙導向桿、四導向桿等，在本機械手中采用單導向桿來增加手臂的剛性和導向性。
（3） 手臂伸縮驅動力的計算
手臂作水平伸縮時所需的驅動力：
圖2.4手臂伸出時的受力狀態(tài)
圖2.4所示為活塞氣缸驅動手臂前伸時的示意圖。在單桿活塞氣缸中，由于氣缸的兩腔有效工作面積不相等，所以左右兩邊的驅動力和壓力之間的關系式不一樣。當壓力油(或壓縮空氣)輸入工作腔時，驅使手臂前伸(或縮回)，其驅動力應克服手臂在前伸(或縮回)起動時所產生的慣性力，手臂運動件表面之間的密封裝置處的摩擦阻力，以及回油腔壓力(即背壓)所造成的阻力，因此，驅動力計算公式為:
P驅 = P慣+ P摩+ P封+ P背
式中: P慣 - 手伶在起動過程中的慣性力(N)；
P摩 - 摩擦阻力(包括導向裝置和活塞與缸壁之間的摩擦阻力)(N)；
P封 - 密封裝置處的摩擦阻力(N)，用不同形狀的密封圈密封，其摩擦阻力不同。
P背 - 氣缸非工作腔壓力(即背壓)所造成的阻力(N)，若非工作腔與油箱或大氣相連時，則P背=0 。
2.9.5手臂升降和回轉部分
手臂升降裝置由轉柱、升降缸活塞軸、升降缸體,碰鐵、可調定位塊、定位拉桿、緩沖撞鐵、定位塊聯(lián)接盤和導向桿等組成。
實現機械手手臂回轉運動的機構形式是多種多樣的，常用的有葉片式回轉缸、齒輪傳動機構、鏈輪傳動機構、連桿機構等。手臂回轉氣缸采用矩形密封圈來密封，密封性能較好，對氣缸孔的機械加工精度也易于保證。手臂回轉運動采用多點定位緩沖裝置，其工作原理見回轉用液壓緩沖器部分。
2.9.6手臂伸縮氣缸的設計
1、驅動力計算
根據手臂伸縮運動的驅動力公式: （N）
其中，由于手臂運動從靜止開始，所以△v=v。
摩攘系數:設計氣缸材料為ZL3，活塞材料為45鋼，查有關手冊可知f=0.17。
質量計算:手臂伸縮部分主要由手臂伸縮氣缸、手臂回轉氣缸、夾緊氣缸、手臂伸縮用液壓緩沖器、手爪及相關的固定元件組成。氣缸為標準氣缸，根據中國煙臺氣動元件廠的《產品樣本》可估其質量，同時測量設計的有關尺寸，得知伸縮部分夾緊物體時其質量為70kg，放松物件后其質量為55kg.接觸面積:S=0. 5㎡
則上料時:Ff =70×10 ×0. 5=350 (N)
=350+70 × 600 × 10-3/0.05
=1540(N)
下料時:Ff =55 ×10×0. 5=275 (N)
=275+55 ×600 ×10-3/0.05
=935 (N)
考慮安全因素，應乘以安全系數K=1.2
則上料時:F=1540 ×1. 2=1850 (N)
下料時:F=935 × 1. 2=1120 (N)
2、氣缸的直徑
根據雙作用氣缸的計算公式:
其中:F1—活塞桿伸出時的推力，N
F2—活塞桿縮入時的拉力, N
d—活塞直徑，㎜
P—氣缸工作壓力，Pa
代入有關數據，得:當推力做功時
=[4 ×1850/(π×5×105×0.4)]?
=108.5 (mm)
當拉力做功時
D= (1.01-1.09)·(4F2/πpη) ?
=(1.01～1.09) (4 × 1122/(π×5×105×0.4)) ?
=92.12 (mm)
圓整后，取D=100mm
3、活塞桿直徑的計算
根據設計要求，此活塞桿為空心活塞桿，目的是桿內將裝有3根伸縮管。因此，活塞桿內徑要盡可能大，假設取d=70mm, d0=56mm.校核如下:(按縱向彎曲極限力計算)
氣缸承受縱向推力達到極限力Fk以后，活塞桿會產生軸向彎曲，出現不穩(wěn)定現象。因此，必須使推力負載(氣缸工作負載F，與工作總阻力F:之和)小于極限力Fk。
該極限力與氣缸的安裝方式、活塞桿直徑及行程有關。有關公式為:
式中:L—活塞桿計算長度，m
K—活塞桿橫截面回轉半徑,空心桿 m
d0—空心活塞桿內孔直徑，m
A1—活塞桿橫截面積, 空心桿,㎡
f—材料強度實驗值，對鋼取f=2.1 ×107 Pa
a—系數，對鋼a=1/5000
代入有關數據，得:
=573 (KN)
推力負載為:
代入有關數據，得: Ft+ Fz=π/4×0.4×106(100×10-3)2=3142 (N)
Ft+ Fz=<
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