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微專題5立體幾何中體積的求解策略,微專題5立體幾何中體積的求解策略題型一等積轉(zhuǎn)換法求體積,例1(2017江蘇楚州中學(xué)月考)如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn).求三棱錐的體積.,解析由題意得EF=BD1=,B1F===,B1E===3.∴EF2+B1F2=B1E2,∴∠EFB1=90.又易知CF⊥平面EFB1,∴==CF=EFB1FCF==1.,【方法歸納】①所謂等積法就是利用轉(zhuǎn)化思想,把要求的幾何體體積轉(zhuǎn)化為另一個(gè)同體積幾何體來求.②變化觀察角度是計(jì)算體積常用的轉(zhuǎn)化策略之一.變換的基本依據(jù)是變化前后等體積,變換的標(biāo)準(zhǔn)是看相應(yīng)的底面和高是否容易求解.,1-1(2018南京師大附中高三模擬)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為2,D為棱B1C1上任意一點(diǎn),則三棱錐D-A1BC的體積是.,答案,解析三棱錐D-A1BC的體積==22=.,1-2如圖,已知多面體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E,F分別是棱AA1和CC1的中點(diǎn),求四棱錐A1-EBFD1的體積.,解析∵EB=BF=FD1=D1E==a,∴四棱錐A1-EBFD1的底面EBFD1是菱形.連接EF,則△EFB≌△EFD1,,∵三棱錐A1-EFB與三棱錐A1-EFD1等底同高,∴它們的體積相等.∵CC1∥平面ABB1A1,∴三棱錐F-EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距離,即,為棱長a.又△EBA1的邊A1E上的高是BA=a,∴三棱錐A1-EFB的體積等于三棱錐F-EBA1的體積=aa=a3.∴四棱錐A1-EBFD1的體積=2a3=a3.,題型二割補(bǔ)法求體積,例2已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,且長度分別為3、4、5,求該三棱錐外接球的表面積和體積.,解析將三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直的三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長方體,兩兩垂直的三側(cè)棱就是長方體的長、寬、高,則該長方體的體對(duì)角線就是三棱錐P-ABC的外接球的直徑,設(shè)其長為2R,則2R==5,所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR2=π(2R)2=π(5)2=50π,體積為πR3=π=π.,【方法歸納】①割補(bǔ)法是求體積、表面積、距離的基本方法,常常將一個(gè)不太容易求體積的幾何體轉(zhuǎn)化為易求的規(guī)則幾何體求解,是一種常用的技巧.②在解題中遇到三側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,通常將它補(bǔ)成長方體,便于解決問題.特別地,若三棱錐的三側(cè)棱兩兩垂直且相等,則可將它補(bǔ)成正方體.,2-1在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為.,答案,解析如圖,分別過點(diǎn)A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,且EG⊥平面ADG,FH⊥平面BHC,∴S△ADG=S△BHC=1=,∴VABCDEF=VE-ADG+VF-BHC+VADG-BCH=2VE-ADG+VADG-BCH=2+1=.,2-2如圖,已知三棱錐P-ABC中,棱AC的長為6,其余各棱長均為5,求該三棱錐的體積.,解析取AC的中點(diǎn)D,連接PD,BD,易證得直線AC與平面PBD垂直,則VP-ABC=VA-PBD+VC-PBD=ADS△PBD+CDS△PBD=(AD+CD)S△PBD=6S△PBD=2S△PBD.∵PB=5,且易知BD=PD=4,∴S△PBD=5=,∴VP-ABC=.,題型三置入法求體積,例3已知一四面體各面都是邊長為13、14、15的全等三角形,求此四面體的體積.,解析如圖甲,不妨設(shè)BC=13,AB=14,AC=15,將圖甲中的四面體置入圖乙所示的長方體中.由此,該四面體的體積就轉(zhuǎn)化成長方體的體積與四個(gè)全等的四面體的體積之,差.設(shè)長方體的棱BE=x,CE=y,AE=z,則解之得∴V長方體=xyz==126,∵VC-ABE==21,∴VD-ABC=V長方體-4VC-ABE=42.,【方法歸納】①所謂置入法就是依據(jù)各種幾何體形狀之間的聯(lián)系,把幾何體放入一個(gè)比較規(guī)則的幾何體中來求體積的方法.②將不太容易求體積的幾何體置入熟悉的幾何體中,使圖形結(jié)構(gòu)更完整、更充實(shí),便于體積的計(jì)算.,3-1如圖,在多面體ABCDE中,AE⊥平面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,求多面體ABCDE的體積.,解析將多面體ABCDE置入如圖所示的直三棱柱ABC-ADC中,由已知條件不難得出多面體的體積為直三棱柱體積的一半,則VABCDE=VABC-ADC=222=.,1.(2017江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1-EDF的體積為.,答案,解析三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積.因?yàn)镋,F分別為AA1,B1C上的點(diǎn),所以△EDD1的面積為定值,F到平面AA1D1D的距離為定值1,所以==1=.,2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1與側(cè)面BCC1B1的距離為2,側(cè)面BCC1B1的面積為4,此三棱柱ABC-A1B1C1的體積為.,答案4,解析如圖,將三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,記A1到平面BCC1B1的距離為d,則d=2,則==d=42=4.,3.(2018蘇州學(xué)業(yè)陽光指標(biāo)調(diào)研)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),它的外觀是如圖所示的十字立方體,其上下、左右、前后完全對(duì)稱,六根等長的正四棱柱體分成三組,經(jīng)90榫卯起來.若正四棱柱的高為5,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi),則該球形容器的表面積至少為.(容器壁的厚度忽略不計(jì),結(jié)果保留π),答案30π,解析該球即為長、寬、高分別是1、2、5的長方體的外接球,其直徑2R==,則該球的表面積為4πR2=π(2R)2=30π.,