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習 題 六 6-1 氣 體 在 平 衡 態(tài) 時 有 何 特 征 ?氣 體 的 平 衡 態(tài) 與 力 學 中 的 平 衡 態(tài) 有 何 不同 ? 答 ： 氣 體 在 平 衡 態(tài) 時 ， 系 統(tǒng) 與 外 界 在 宏 觀 上 無 能 量 和 物 質 的 交 換 ； 系 統(tǒng)的 宏 觀 性 質 不 隨 時 間 變 化 ． 力 學 平 衡 態(tài) 與 熱 力 學 平 衡 態(tài) 不 同 ． 當 系 統(tǒng) 處 于 熱 平 衡 態(tài) 時 ， 組 成 系統(tǒng) 的 大 量 粒 子 仍 在 不 停 地 、 無 規(guī) 則 地 運 動 著 ， 大 量 粒 子 運 動 的 平 均 效 果 不 變 ， 這 是 一 種 動 態(tài) 平 衡 ． 而 個 別 粒 子 所 受 合 外 力 可 以 不 為 零 ． 而 力 學平 衡 態(tài) 時 ， 物 體 保 持 靜 止 或 勻 速 直 線 運 動 ， 所 受 合 外 力 為 零 ． 6-2 氣 體 動 理 論 的 研 究 對 象 是 什 么 ?理 想 氣 體 的 宏 觀 模 型 和 微 觀 模 型 各如 何 ? 答 ： 氣 體 動 理 論 的 研 究 對 象 是 大 量 微 觀 粒 子 組 成 的 系 統(tǒng) ． 是 從 物 質 的 微觀 結 構 和 分 子 運 動 論 出 發(fā) ， 運 用 力 學 規(guī) 律 ， 通 過 統(tǒng) 計 平 均 的 辦 法 ， 求 出 熱 運 動 的 宏 觀 結 果 ， 再 由 實 驗 確 認 的 方 法 ．從 宏 觀 看 ， 在 溫 度 不 太 低 ， 壓 強 不 大 時 ， 實 際 氣 體 都 可 近 似 地 當 作 理 想 氣 體 來 處 理 ， 壓 強 越 低 ， 溫 度 越 高 ， 這 種 近 似 的 準 確 度 越 高 ． 理 想氣 體 的 微 觀 模 型 是 把 分 子 看 成 彈 性 的 自 由 運 動 的 質 點 ． 6-3 何 謂 微 觀 量 ?何 謂 宏 觀 量 ?它 們 之 間 有 什 么 聯(lián) 系 ?答 ： 用 來 描 述 個 別 微 觀 粒 子 特 征 的 物 理 量 稱 為 微 觀 量 ． 如 微 觀 粒 子 (原 子 、 分 子 等 )的 大 小 、 質 量 、 速 度 、 能 量 等 ． 描 述 大 量 微 觀 粒 子 (分 子 或原 子 )的 集 體 的 物 理 量 叫 宏 觀 量 ， 如 實 驗 中 觀 測 得 到 的 氣 體 體 積 、 壓 強 、 溫 度 、 熱 容 量 等 都 是 宏 觀 量 ．氣 體 宏 觀 量 是 微 觀 量 統(tǒng) 計 平 均 的 結 果 ． 6-4 計 算 下 列 一 組 粒 子 平 均 速 率 和 方 均 根 速 率 ?21 4 6 8 2 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0解 ： 平 均 速 率 方 均 根 速 率 6-5 速 率 分 布 函 數(shù) 的 物 理 意 義 是 什 么 ?試 說 明 下 列 各 量 的 物 理 意 義 ( 為 分 子 數(shù) 密 度 ， 為 系 統(tǒng) 總 分 子 數(shù) )．（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 解 ： ： 表 示 一 定 質 量 的 氣 體 ， 在 溫 度 為 的 平 衡 態(tài) 時 ， 分 布 在 速 率 附 近 單 位 速 率 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比 .( ) ： 表 示 分 布 在 速 率 附 近 ， 速 率 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比 .( ) ： 表 示 分 布 在 速 率 附 近 、 速 率 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) 密 度 ．( ) ： 表 示 分 布 在 速 率 附 近 、 速 率 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) ． ( ) ： 表 示 分 布 在 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比 ．( ) ： 表 示 分 布 在 的 速 率 區(qū) 間 內 所 有 分 子 ， 其 與 總 分 子 數(shù) 的 比 值 是 .( ) ： 表 示 分 布 在 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) .6-6 最 概 然 速 率 的 物 理 意 義 是 什 么 ?方 均 根 速 率 、 最 概 然 速 率 和 平 均 速 率 ， 它 們 各 有 何 用 處 ?答 ： 氣 體 分 子 速 率 分 布 曲 線 有 個 極 大 值 ， 與 這 個 極 大 值 對 應 的 速 率 叫 做 氣 體 分 子 的 最 概 然 速 率 ． 物 理 意 義 是 ： 對 所 有 的 相 等 速 率 區(qū) 間 而 言 ， 在含 有 的 那 個 速 率 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比 最 大 ．分 布 函 數(shù) 的 特 征 用 最 概 然 速 率 表 示 ； 討 論 分 子 的 平 均 平 動 動 能 用 方 均 根 速 率 ， 討 論 平 均 自 由 程 用平 均 速 率 ． 6-7 容 器 中 盛 有 溫 度 為 的 理 想 氣 體 ， 試 問 該 氣 體 分 子 的 平 均 速 度 是 多 少 ?為 什 么 ?答 ： 該 氣 體 分 子 的 平 均 速 度 為 .在 平 衡 態(tài) ， 由 于 分 子 不 停 地 與 其 他 分 子 及 容 器 壁 發(fā) 生 碰 撞 、 其 速 度 也不 斷 地 發(fā) 生 變 化 ， 分 子 具 有 各 種 可 能 的 速 度 ， 而 每 個 分 子 向 各 個 方 向 運 動 的 概 率 是 相 等 的 ， 沿 各 個 方 向 運 動 的 分 子 數(shù) 也 相 同 ． 從 統(tǒng) 計 看 氣 體 分子 的 平 均 速 度 是 .6-8 在 同 一 溫 度 下 ， 不 同 氣 體 分 子 的 平 均 平 動 動 能 相 等 ， 就 氫 分 子 和 氧 分 子 比 較 ， 氧 分 子 的 質 量 比 氫 分 子 大 ， 所 以 氫 分 子 的 速 率 一 定 比 氧 分子 大 ， 對 嗎 ? 答 ： 不 對 ， 平 均 平 動 動 能 相 等 是 統(tǒng) 計 平 均 的 結 果 ． 分 子 速 率 由 于 不 停 地發(fā) 生 碰 撞 而 發(fā) 生 變 化 ， 分 子 具 有 各 種 可 能 的 速 率 ， 因 此 ， 一 些 氫 分 子 的 速 率 比 氧 分 子 速 率 大 ， 也 有 一 些 氫 分 子 的 速 率 比 氧 分 子 速 率 小 ．6-9 如 果 盛 有 氣 體 的 容 器 相 對 某 坐 標 系 運 動 ， 容 器 內 的 分 子 速 度 相 對 這 坐 標 系 也 增 大 了 ， 溫 度 也 因 此 而 升 高 嗎 ?答 ： 宏 觀 量 溫 度 是 一 個 統(tǒng) 計 概 念 ， 是 大 量 分 子 無 規(guī) 則 熱 運 動 的 集 體 表 現(xiàn) ， 是 分 子 平 均 平 動 動 能 的 量 度 ， 分 子 熱 運 動 是 相 對 質 心 參 照 系 的 ， 平動 動 能 是 系 統(tǒng) 的 內 動 能 ． 溫 度 與 系 統(tǒng) 的 整 體 運 動 無 關 ． 只 有 當 系 統(tǒng) 的 整 體 運 動 的 動 能 轉 變 成 無 規(guī) 則 熱 運 動 時 ， 系 統(tǒng) 溫 度 才 會 變 化 ．6-10 題 6-10圖 (a)是 氫 和 氧 在 同 一 溫 度 下 的 兩 條 麥 克 斯 韋 速 率 分 布 曲 線 ， 哪 一 條 代 表 氫 ?題 6-10圖 (b)是 某 種 氣 體 在 不 同 溫 度 下 的 兩 條 麥 克 斯韋 速 率 分 布 曲 線 ， 哪 一 條 的 溫 度 較 高 ? 答 ： 圖 (a)中 ( )表 示 氧 ， ( )表 示 氫 ； 圖 (b)中 ( )溫 度 高 ． 題 6-10圖6-11 溫 度 概 念 的 適 用 條 件 是 什 么 ?溫 度 微 觀 本 質 是 什 么 ? 答 ： 溫 度 是 大 量 分 子 無 規(guī) 則 熱 運 動 的 集 體 表 現(xiàn) ， 是 一 個 統(tǒng) 計 概 念 ， 對 個別 分 子 無 意 義 ． 溫 度 微 觀 本 質 是 分 子 平 均 平 動 動 能 的 量 度 ． 6 -1 2 下 列 系 統(tǒng) 各 有 多 少 個 自 由 度 ：(1)在 一 平 面 上 滑 動 的 粒 子 ； (2)可 以 在 一 平 面 上 滑 動 并 可 圍 繞 垂 直 于 平 面 的 軸 轉 動 的 硬 幣 ；(3)一 彎 成 三 角 形 的 金 屬 棒 在 空 間 自 由 運 動 ． 解 ： ( ) ， ( ) ， ( ) 6-13 試 說 明 下 列 各 量 的 物 理 意 義 ．（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 解 ： ( )在 平 衡 態(tài) 下 ， 分 子 熱 運 動 能 量 平 均 地 分 配 在 分 子 每 一 個 自 由 度 上 的 能量 均 為 T．( )在 平 衡 態(tài) 下 ， 分 子 平 均 平 動 動 能 均 為 .( )在 平 衡 態(tài) 下 ， 自 由 度 為 的 分 子 平 均 總 能 量 均 為 .( )由 質 量 為 ， 摩 爾 質 量 為 ， 自 由 度 為 的 分 子 組 成 的 系 統(tǒng) 的 內 能 為 .(5) 摩 爾 自 由 度 為 的 分 子 組 成 的 系 統(tǒng) 內 能 為 .(6) 摩 爾 自 由 度 為 的 分 子 組 成 的 系 統(tǒng) 的 內 能 ， 或 者 說 熱 力 學 體 系 內 ， 1摩 爾 分 子 的 平 均 平 動 動 能 之 總 和 為 .6 -1 4 有 兩 種 不 同 的 理 想 氣 體 ， 同 壓 、 同 溫 而 體 積 不 等 ， 試 問 下 述 各 量 是 否 相 同 ?蕌(1)分 子 數(shù) 密 度 ； (2)氣 體 質 量 密 度 ； (3)單 位 體 積 內 氣 體 分 子 總 平 動 動 能 ； (4)單 位 體 積 內 氣 體 分 子 的 總 動 能 ．解 ： ( )由 知 分 子 數(shù) 密 度 相 同 ；( )由 知 氣 體 質 量 密 度 不 同 ；( )由 知 單 位 體 積 內 氣 體 分 子 總 平 動 動 能 相 同 ；(4)由 知 單 位 體 積 內 氣 體 分 子 的 總 動 能 不 一 定 相 同 ．6-15 何 謂 理 想 氣 體 的 內 能 ?為 什 么 理 想 氣 體 的 內 能 是 溫 度 的 單 值 函 數(shù) ? 解 ： 在 不 涉 及 化 學 反 應 ， 核 反 應 ， 電 磁 變 化 的 情 況 下 ， 內 能 是 指 分 子 的熱 運 動 能 量 和 分 子 間 相 互 作 用 勢 能 之 總 和 ． 對 于 理 想 氣 體 不 考 慮 分 子 間 相 互 作 用 能 量 ， 質 量 為 的 理 想 氣 體 的 所 有 分 子 的 熱 運 動 能 量 稱 為 理 想 氣 體 的 內 能 ．由 于 理 想 氣 體 不 計 分 子 間 相 互 作 用 力 ， 內 能 僅 為 熱 運 動 能 量 之 總 和 ． 即 是 溫 度 的 單 值 函 數(shù) ．6-16 如 果 氫 和 氦 的 摩 爾 數(shù) 和 溫 度 相 同 ， 則 下 列 各 量 是 否 相 等 ， 為 什 么 ? (1)分 子 的 平 均 平 動 動 能 ； (2)分 子 的 平 動 動 能 ； (3)內 能 ． 解 ： ( )相 等 ， 分 子 的 平 均 平 動 動 能 都 為 ．( )不 相 等 ， 因 為 氫 分 子 的 平 均 動 能 ， 氦 分 子 的 平 均 動 能 ．( )不 相 等 ， 因 為 氫 分 子 的 內 能 ， 氦 分 子 的 內 能 ．6-17 有 一 水 銀 氣 壓 計 ， 當 水 銀 柱 為 0.76m高 時 ， 管 頂 離 水 銀 柱 液 面 0.12m， 管 的 截 面 積 為 2.0 10-4m2， 當 有 少 量 氦 (He)混 入 水 銀 管 內 頂部 ， 水 銀 柱 高 下 降 為 0.6m， 此 時 溫 度 為 27℃ ， 試 計 算 有 多 少 質 量 氦 氣 在 管 頂 (He的 摩 爾 質 量 為 0.004kg mol- 1)? 解 ： 由 理 想 氣 體 狀 態(tài) 方 程 得 汞 的 重 度 氦 氣 的 壓 強 氦 氣 的 體 積 6 -1 8 設 有 個 粒 子 的 系 統(tǒng) ， 其 速 率 分 布 如 題 6-18圖 所 示 ． 求(1)分 布 函 數(shù) 的 表 達 式 ；(2) 與 之 間 的 關 系 ；(3)速 度 在 1.5 到 2.0 之 間 的 粒 子 數(shù) ．(4)粒 子 的 平 均 速 率 ． (5)0.5 到 1 區(qū) 間 內 粒 子 平 均 速 率 ． 題 6-18圖 解 ： (1)從 圖 上 可 得 分 布 函 數(shù) 表 達 式 滿 足 歸 一 化 條 件 ， 但 這 里 縱 坐 標 是 而 不 是 故 曲 線 下 的 總 面 積 為 ，(2)由 歸 一 化 條 件 可 得 (3)可 通 過 面 積 計 算 (4) 個 粒 子 平 均 速 率 (5) 到 區(qū) 間 內 粒 子 平 均 速 率 到 區(qū) 間 內 粒 子 數(shù) 6-19 試 計 算 理 想 氣 體 分 子 熱 運 動 速 率 的 大 小 介 于 與 之 間 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比 ．解 ： 令 ， 則 麥 克 斯 韋 速 率 分 布 函 數(shù) 可 表 示 為 因 為 , 由 得 6 -2 0 容 器 中 儲 有 氧 氣 ， 其 壓 強 為 p ＝ 0 .1 MPa(即 1 atm)溫 度 為 2 7 ℃ ， 求(1 )單 位 體 積 中 的 分 子 n； (2 )氧 分 子 的 質 量 m； (3 )氣 體 密 度 ； (4 )分 子 間 的 平 均 距 離 ； (5 )平 均 速 率 ； (6 )方 均 根 速 率 ； (7 )分 子 的 平 均 動 能 ．解 ： (1)由 氣 體 狀 態(tài) 方 程 得 (2)氧 分 子 的 質 量 (3)由 氣 體 狀 態(tài) 方 程 得 (4)分 子 間 的 平 均 距 離 可 近 似 計 算 (5)平 均 速 率 (6) 方 均 根 速 率 (7) 分 子 的 平 均 動 能 6-21 1mol氫 氣 ， 在 溫 度 為 27℃ 時 ， 它 的 平 動 動 能 、 轉 動 動 能 和 內 能 各是 多 少 ? 解 ： 理 想 氣 體 分 子 的 能 量 平 動 動 能 轉 動 動 能 內 能 6-22 一 瓶 氧 氣 ， 一 瓶 氫 氣 ， 等 壓 、 等 溫 ， 氧 氣 體 積 是 氫 氣 的 2倍 ， 求(1)氧 氣 和 氫 氣 分 子 數(shù) 密 度 之 比 ； (2)氧 分 子 和 氫 分 子 的 平 均 速 率 之 比 ． 解 ： (1)因 為 則 (2)由 平 均 速 率 公 式 6-23 一 真 空 管 的 真 空 度 約 為 1.38 10-3 Pa(即 1.0 10-5 mmHg)， 試 求在 27℃ 時 單 位 體 積 中 的 分 子 數(shù) 及 分 子 的 平 均 自 由 程 (設 分 子 的 有 效 直 徑 d ＝ 3 10-10 m)．解 ： 由 氣 體 狀 態(tài) 方 程 得 由 平 均 自 由 程 公 式 6-24 (1)求 氮 氣 在 標 準 狀 態(tài) 下 的 平 均 碰 撞 頻 率 ； (2)若 溫 度 不 變 ， 氣 壓 降 到 1.33 10-4Pa， 平 均 碰 撞 頻 率 又 為 多 少 (設 分 子 有 效 直 徑 10-10 m)?解 ： (1)碰 撞 頻 率 公 式 對 于 理 想 氣 體 有 ， 即 所 以 有 而 氮 氣 在 標 準 狀 態(tài) 下 的 平 均 碰 撞 頻 率 氣 壓 下 降 后 的 平 均 碰 撞 頻 率 6-25 1mol氧 氣 從 初 態(tài) 出 發(fā) ， 經(jīng) 過 等 容 升 壓 過 程 ， 壓 強 增 大 為 原 來 的 2倍 ， 然 后 又 經(jīng) 過 等 溫 膨 脹 過 程 ， 體 積 增 大 為 原 來 的 2倍 ， 求 末 態(tài) 與 初 態(tài) 之 間 (1)氣 體 分 子 方 均 根 速 率 之 比 ； (2)分 子 平 均 自 由 程 之 比 ．解 ： 由 氣 體 狀 態(tài) 方 程 及 方 均 根 速 率 公 式 對 于 理 想 氣 體 ， ， 即 所 以 有 6-26 飛 機 起 飛 前 機 艙 中 的 壓 力 計 指 示 為 1.0 atm(1.013 105 Pa)， 溫 度 為 27 ℃ ； 起 飛 后 壓 力 計 指 示 為 0.8 atm(0.8104 105 Pa)， 溫 度 仍 為27 ℃ ， 試 計 算 飛 機 距 地 面 的 高 度 ． 解 ： 氣 體 壓 強 隨 高 度 變 化 的 規(guī) 律 ： 由 及 6-27 上 升 到 什 么 高 度 處 大 氣 壓 強 減 少 為 地 面 的 75%(設 空 氣 的 溫 度 為0℃ )． 解 ： 壓 強 隨 高 度 變 化 的 規(guī) 律