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《常微分方程》模擬練習(xí)題及參考答案 一、填空題（每個(gè)空格4分，共80分） 1、n階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是 n 個(gè)。 2、一階微分方程的通解為 （C為任意常數(shù)） ，方程與通過點(diǎn)（2，3）的特解為 ，與直線y=2x+3相切的解是 ，滿足條件的解為 。 3、李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的 必要 條件。 4、對(duì)方程作變換 ，可將其化為變量可分離方程，其通解為 。 5、方程過點(diǎn)共有 無數(shù) 個(gè)解。 6、方程的通解為 ，滿足初始條件的特解為 。 7、方程 無 奇解。 8、微分方程可化為一階線性微分方程組 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、是 3 階常微分方程。 11、方程滿足解得存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 。 12、微分方程通解為 ，該方程可化為一階線性微分方程組 。 13、二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解成為其基本解組的充要條件是 線性無關(guān) 。 14、設(shè)，則線性微分方程組有基解矩陣 。 二、解方程（每個(gè)小題8分，共120分） 1、 答案：方程化為 令，則，代入上式，得 分離變量，積分，通解為 ∴ 原方程通解為 2、 答案：特征方程為 即。 特征根為 ， 對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 可確定出 同樣可算出對(duì)應(yīng)的特征向量為 ∴ 原方程組的通解為 。 3、 答案：齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出原方程的通解為+ 4、； 答案：是一個(gè)變量分離方程 變量分離得 兩邊同時(shí)積分得（其中c為任意常數(shù)） 5、 答案： 積分： 故通解為： 6、 答案： 兩邊同除以得，即， 故原方程的解為 7、 . 答案：方程組的特征方程為 即，即 特征根為， 對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足，可得 同樣可算出時(shí)，對(duì)應(yīng)特征向量為 ∴ 原方程組的通解為 8、 答案：線性方程的特征方程故特征根 是特征單根， 原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根， 原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解為 9、 答案：，令z=x+y，則 所以 –z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+ 即 10、 答案：所給方程是二階常系數(shù)齊線性方程。 其特征方程為 特征根為， ∴ 方程的通解為 11、 答案： (x-y+1)dx-(x++3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0 所以 三、證明題（共160分） 1、（12分）證明如果滿足初始條件的解，那么 。 證明：設(shè)的形式為=（1）（C為待定的常向量） 則由初始條件得= 又= 所以C== 代入（1）得= 即命題得證。 2、（12分）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為。 證明 ：由已知條件，該方程在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件。 顯然是方程的兩個(gè)常數(shù)解。 任取初值，其中,。記過該點(diǎn)的解為， 由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展； 另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾； 故該解的存在區(qū)間必為。 3、（12分）設(shè)，是方程的解，且滿足==0，，這里在上連續(xù)，．試證明：存在常數(shù)C使得=C． 證明：設(shè)，是方程的兩個(gè)解，則它們在上有定義， 其朗斯基行列式為 由已知條件，得 故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的；由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)， 使得， 由于，可知． 否則，若，則有，而，則， 這與，線性相關(guān)矛盾．故 4、（12分）敘述一階微分方程的解的存在唯一性定理的內(nèi)容，并給出唯一性的證明。 定理：設(shè). （1）在上連續(xù)， （2）在上關(guān)于滿足利普希茨條件： ，總有. 則初值問題存在唯一的解，定義于區(qū)間上， 連續(xù)且滿足初值條件，這里. 唯一性：設(shè)是積分方程在區(qū)間上的解，則. 證明：，， 首先估計(jì). ， 設(shè)成立，則 這就證明了對(duì)任意的，總成立估計(jì)式：. 因此，一致收斂于，由極限的唯一性，必有. 5、（10分）求解方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性。 解：令，得，即奇點(diǎn)為（2，-3） 令，代入原方程組得， 因?yàn)椋钟桑? 解得，為兩個(gè)相異的實(shí)根， 所以奇點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)，零解不穩(wěn)定。 6、（12分）求方程組滿足初始條件的解. 解：方程組的特征方程為， 所以特征根為（二重）， 對(duì)應(yīng)齊次方程組的基解矩陣， 滿足初始條件的特解 7、（10分）假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如 其中，是常數(shù)向量。 證明：設(shè)方程有形如的解，則是可以確定出來的。 事實(shí)上，將代入方程得， 因?yàn)?，所以? （1） 又不是矩陣的特征值， 所以存在，于是由（1）得存在。 故方程有一解 8、（12分）試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算，其中. 解：，均為單根， 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，則由，得，. 取，同理可得對(duì)應(yīng)的特征向量為， 則，均為方程組的解， 令，又， ∴ 即為所求基解矩陣. 9、（12分）試證明：對(duì)任意及滿足條件的，方程 的滿足條件的解在上存在． 證明：∵ ，在全平面上連續(xù) ∴ 原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理?xiàng)l件． 又顯然是方程的兩個(gè)特解． 現(xiàn)任取，，記為過的解， 那么這個(gè)解可以唯一地向平面的邊界無限延展，又上不能穿越，下不能穿越， 因此它的存在區(qū)間必為． 10、（10分）求平面上過原點(diǎn)的曲線方程，該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)的連線相互垂直. 解：設(shè)曲線方程為，切點(diǎn)為，切點(diǎn)到點(diǎn)的連線的斜率為， 則由題意可得如下初值問題： 分離變量，積分并整理后可得， 代入初始條件可得， 因此得所求曲線為. 11、（12分） 在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對(duì)任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為． 證明：由已知條件可知，該方程在整個(gè)平面上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解 ． 對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)，若，則過該點(diǎn)的解是，顯然是在上有定義． 若,則,記過該點(diǎn)的解為， 那么一方面解可以向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展； 另一方面在條形區(qū)域內(nèi)不能上、下穿過解和，否則與解的惟一性矛盾． 因此解的存在區(qū)間必為． 12、（10分）設(shè)是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù). 證明：由已知條件，該方程在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一性及解的延展定理?xiàng)l件. 顯然是方程的兩個(gè)常數(shù)解. 任取初值，其中，，記過該點(diǎn)的解為， 由上面分析可知，一方面可以向平面無窮處無限延展； 另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與唯一性矛盾， 故該解的存在區(qū)間必為. 13、（12分）試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,則是該方程的一個(gè)積分因子。 證明：如M、N都是n次齊次函數(shù)， 則因?yàn)閤+y=nM，x+y=nN， 故有= ＝ ＝=0. 故命題成立。 11