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線性變換習題 一、填空題 1. 設是的線性變換，，， 是的一組基，則在基下的矩陣為_______________，又則_________。 2. 設A為數(shù)域P上秩為r的n階矩陣，定義n維列向量空間的線性變換：，，則＝　 ，＝　 　。 3. 設上三維列向量空間的線性變換在基下的矩陣是，則在基下的矩陣是 。　 4. 如果矩陣的特征值等于1，則行列式= 。 5. 設A=，是P3上的線性變換，那么的零度= 。 6. 若，且，則的特征值為 。 7. 在中，線性變換D()，則D在基下的矩陣為 。 8. 在中，線性變換在基 下的矩陣是 。 9. 設的三個特征值為，，，則++= ，= 。 10. 數(shù)域上維線性空間的全體線性變換所成的線性空間為 維線性空間，它與 同構(gòu)。 11. 已知n階方陣滿足，則的特征值為 。 12. 已知3階矩陣的特征值為1,2,3,則 。 13. 設為數(shù)域上的線性空間的線性變換,若是單射,則= 。 14. 設三階方陣的特征值為1,2,-2,則= 。 15. 在中，線性變換D()，則D在基下的矩陣 為 。 16. 已知線性變換在基下的矩陣為，則在基下的矩陣為 。 17. 設上三維列向量空間的線性變換在基下的矩陣是，則 在基下的矩陣是 。 18. 設線性變換在基的矩陣為，線性變換在基下的矩陣為，那么在基下的矩陣為 . 19. 已知n階方陣滿足，則的特征值為 。 20. 已知線性變換在基下的矩陣為，則在基下的 矩陣為 。 21. 在中，若向量組，，線性相關，則 。 22. 若線性變換在基下的矩陣為，則在基下的矩陣為 矩陣為 。 23. 若，且，則的特征值為 。 二、選擇題 1. 下列哪種變換一定是向量空間的線性變換（ ）。 A． B． C． D． 2. 當階矩陣適合條件（ ）時，它必相似于對角陣。 A．有個不同的特征向量 B．是三角矩陣 C．有個不同的特征值 D．是可逆矩陣 3. 設是向量空間上的線性變換，且，則的所有特征值為（ ）。 A．2 B．0，2 C．0 D．0，2，1 4. 設是3維向量空間上的變換，下列中是線性變換的是（ ）。 A．= B．= C．= D．= 5. 設是向量空間的線性相關的向量組，是的一個線性變換，則向量組在下的像（ ）。 A．線性無關 B．線性相關 C．線性相關性不確定 D．全是零向量 6. n 階方陣A有 n 個不同的特征值是A可以對角化的（ ）。 A．充要條件 B． 充分而非必要條件 C．必要而非充分條件 D． 既非充分也非必要條件 7. 設是向量空間的線性變換且，則的特征值（ ）。 A．只有1 B．只有 C．有1和 D．有0和1 8. 如果方陣與對角陣相似，則=（ ）。 A. B. C. D. 9. 設、為階矩陣，且與相似，為階單位矩陣，則（ ）。 A． B．與有相同的特征向量和特征值 C．與相似于同一個對角矩陣 D． 10. 設4級矩陣與相似，的特征值是1，2，3，4，則的行列式是（ ）。 A．-24 B．10 C．24 D．不能確定 11. 設是維線性空間的線性變換,那么下列說法錯誤的是（ ）。 A.是單射 B.是滿射 C.是雙射 D.是雙射是單位映射 12. 設為3階矩陣,且均不可逆,則錯誤的是（ ）。 A.不相似于對角陣 B. 可逆 C. D. 13. 設為3階矩陣,且其特征多項式為,則錯誤的是（ ）。 A.相似于對角陣 B. 不可逆 C. D. 14. 維線性空間的線性變換可以對角化的充要條件是（ ）。 A．有個互不相同的特征向量 B．有個互不相同的特征根 C．有個線性無關的特征向量 D. 不存在個互不相同的特征根 15. 設是3維向量空間上的變換，下列中是線性變換的是（ ）。 A．= B．= C．= D．= 16. 設是向量空間上的線性變換，且，則的所有特征值為（ ）。 A．2 B．-1，1 C．0 D．0，2，1 17. 維線性空間的線性變換可以對角化的充要條件是（ ）。 A. 有個互不相同的特征向量 B. 有個互不相同的特征根 C. 有個線性無關的特征向量 D．是可逆線性變換 18. 2. 設矩陣A的每行元素之和均為1，則( )一定是的特征值。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第 一 頁 19. 設是3維向量空間上的變換，下列中是線性變換的是（ ）。 A．= B．= C．= D．= 20. 設，則下列各式成立的是（ ）。 A. B. C. D. 三、計算題 1. 設表示實數(shù)域上的次數(shù)小于3的多項式，再添上零多項式構(gòu)成的線性空間，而，，是的一組基，線性變換滿足，， （1）求 在已知基下的矩陣； （2）設，求。 2. 設是二維列向量空間的線性變換：設，定義。 （1） 求值域的基與維數(shù)；（2）求核的基與維數(shù)。 3. 設線性變換在基下的矩陣是 （1） 求矩陣以及線性變換的特征值與特征向量； （2） 判斷是否可以對角化（即線性變換是否在某組基下的矩陣為對角形），若不能對角化，說明理由；若可以對角化，求可逆陣，使為對角形。 4. 令表示實數(shù)域上的三元列向量空間，令，若，作變換。 （1） 證明為上的線性變換；（2）求及其維數(shù)；（3）求及其維數(shù)。 5. 設矩陣， （1） 求的特征值和特征向量； （2） 求可逆矩陣，使為對角矩陣。 6. 令表示實數(shù)域上的三元列向量空間，，，，。 （1） 若，證明為的一組基； （2） 求到的過渡矩陣； （3） 若，作變換，證明為上的線性變換； （4） 求及其維數(shù)； （5） 求及其維數(shù)。 7. 設是的線性變換,。 （1） 求及其維數(shù)；（2）求及其維數(shù)。 8. 設線性變換在基下的矩陣是。 （1） 求矩陣以及線性變換的特征值與特征向量； （2） 判斷是否可以對角化（即線性變換是否在某組基下的矩陣為對角形），若不能對角化，說明理由；若可以對角化，求可逆陣，使為對角形矩陣。 9. 令表示實數(shù)域上的三元列向量空間，令，若，作變換。 （1）證明為上的線性變換；（2）求及其維數(shù)；（3）求及其維數(shù)。 10. 設為的基，且線性變換在此基下的矩陣為。 （1）求的特征值與特征向量； （2）求可逆矩陣，使是對角矩陣。 11. 設三維線性空間的線性變換在基下的矩陣為。 （1）求的值域及其維數(shù)；（2）求的核及其維數(shù)。 12. 設表示實數(shù)域上的次數(shù)小于3的多項式，再添上零多項式構(gòu)成的線性空間，而，，是的一組基，線性變換滿足，， （1） 求在已知基下的矩陣； （2） 設，求。 13. 給定的兩組基； 。定義線性變換：。 （1） 寫出由基到基的過渡矩陣； （2） 寫出在基下的矩陣； （3） 寫出在基下的矩陣。 14. 設線性變換在基下的矩陣是,求可逆矩陣,使得為對角形矩陣。 15. 設。 （1）求的全部特征值； （2）求的屬于每個特征值的特征向量； （3）求一個可逆矩陣，使為對角形。 16. 設，且在的基下的矩陣= 。問 (1) 是否可以對角化? (2) 若能對角化，求出的一個基，使在此基下的矩陣為對角矩陣。 17. 設數(shù)域P上三維線性空間V的線性變換在基下的矩陣A。 （1） 求在基，下的矩陣； （2） 設，求在基下的坐標。 四、證明題 1. 設是數(shù)域上的維向量空間的線性變換，又是的一個基，證明。 2. 設，都是向量空間的線性變換，是，的不變子空間，證明也是的不變子空間。 3. 設是數(shù)域上線性空間的線性變換且。證明： （1）的特征值為1或0； （2）； （3）。 4. 設是向量空間的兩個子空間，是的一個線性變換，證明：若都是的不變子空間，則也是的不變子空間。 5. 設是向量空間的一個線性變換，都是的不變子空間。證明：也是的不變子空間。 6. 證明：線性變換的屬于不同特征值的特征向量線性無關。 7. 設是數(shù)域上的維線性空間的線性變換,且（恒等變換）。 （1） 證明:的特征值只能為1或-1； （2） 用分別表示的屬于特征值1和的特征子空間,證明:。 8. 設為數(shù)域上的維線性空間的線性變換。證明:。 9. 設，且,.證明.其中為恒等變換。 10