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大學(xué)物理學(xué)習(xí)題答案 習(xí)題一答案 習(xí)題一 1.1 簡要回答下列問題： (1) 位移和路程有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？在什么情況下二者的量值不相等？ (2) 平均速度和平均速率有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？ (3) 瞬時速度和平均速度的關(guān)系和區(qū)別是什么？瞬時速率和平均速率的關(guān)系和區(qū)別又是什么？ (4) 質(zhì)點(diǎn)的位矢方向不變，它是否一定做直線運(yùn)動？質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，其位矢的方向是否一定保持不變？ (5) 和有區(qū)別嗎？和有區(qū)別嗎？和各代表什么運(yùn)動？ (6) 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為：，，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時，有人先求出，然后根據(jù) 及 而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 及 你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？兩者區(qū)別何在？ (7) 如果一質(zhì)點(diǎn)的加速度與時間的關(guān)系是線性的，那么，該質(zhì)點(diǎn)的速度和位矢與時間的關(guān)系是否也是線性的？ (8) “物體做曲線運(yùn)動時，速度方向一定在運(yùn)動軌道的切線方向，法向分速度恒為零，因此其法向加速度也一定為零.”這種說法正確嗎？ (9) 任意平面曲線運(yùn)動的加速度的方向總指向曲線凹進(jìn)那一側(cè)，為什么？ (10) 質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動，且速率隨時間均勻增大，、、三者的大小是否隨時間改變？ (11) 一個人在以恒定速度運(yùn)動的火車上豎直向上拋出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子拋出后，火車以恒定加速度前進(jìn)，結(jié)果又如何？ 1.2 一質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動，坐標(biāo)與時間的變化關(guān)系為，式中分別以、為單位，試計(jì)算：(1)在最初內(nèi)的位移、平均速度和末的瞬時速度；(2)末到末的平均加速度；(3)末的瞬時加速度。 解： (1) 最初內(nèi)的位移為為： 最初內(nèi)的平均速度為： 時刻的瞬時速度為： 末的瞬時速度為： (2) 末到末的平均加速度為： (3) 末的瞬時加速度為：。 1.3 質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，初速度為零，初始加速度為，質(zhì)點(diǎn)出發(fā)后，每經(jīng)過時間，加速度均勻增加。求經(jīng)過時間后，質(zhì)點(diǎn)的速度和位移。 解: 由題意知，加速度和時間的關(guān)系為 利用，并取積分得 ， 再利用，并取積分[設(shè)時]得 ， 1.4 一質(zhì)點(diǎn)從位矢為的位置以初速度開始運(yùn)動，其加速度與時間的關(guān)系為.所有的長度以米計(jì)，時間以秒計(jì).求： （1）經(jīng)過多長時間質(zhì)點(diǎn)到達(dá)軸； （2）到達(dá)軸時的位置。 解： （1） 當(dāng)，即時，到達(dá)軸。 （2） 時到達(dá)軸的位矢為 ： 即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)軸時的位置為。 1.5 一質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動，其加速度與坐標(biāo)的關(guān)系為，式中為常數(shù)，設(shè)時刻的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為、速度為，求質(zhì)點(diǎn)的速度與坐標(biāo)的關(guān)系。 解：按題意　 　 由此有 ， 即 ， 兩邊取積分 ， 得 由此給出 ， 1.6 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為，式中，分別以、為單位。試求： (1) 質(zhì)點(diǎn)的速度與加速度；(2) 質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。 解：(1) 速度和加速度分別為： ， (2) 令，與所給條件比較可知 ，， 所以軌跡方程為：。 1.7 已知質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，其速度為，求質(zhì)點(diǎn)在時間內(nèi)的路程。 解: 在求解本題中要注意：在時間內(nèi)，速度有時大于零，有時小于零，因而運(yùn)動出現(xiàn)往返。如果計(jì)算積分，則求出的是位移而不是路程。求路程應(yīng)當(dāng)計(jì)算積分。令，解得。由此可知：s時，，； s時，；而s時，，。因而質(zhì)點(diǎn)在時間內(nèi)的路程為 。 1.8 在離船的高度為的岸邊，一人以恒定的速率收繩，求當(dāng)船頭與岸的水平距離為時，船的速度和加速度。 解: 建立坐標(biāo)系如題1.8圖所示，船沿軸方向作直線運(yùn)動，欲求速度，應(yīng)先建立運(yùn)動方程，由圖題1.8，可得出 習(xí)題1.8圖 兩邊求微分，則有 船速為 按題意(負(fù)號表示繩隨時間縮短)，所以船速為 負(fù)號表明船速與軸正向反向，船速與有關(guān)，說明船作變速運(yùn)動。將上式對時間求導(dǎo)，可得船的加速度為 負(fù)號表明船的加速度與軸正方向相反，與船速方向相同，加速度與有關(guān)，說明船作變加速運(yùn)動。 1.9 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動，其角坐標(biāo)(以弧度計(jì))可用下式表示 其中的單位是秒()試問：(1)在時，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r其總加速度與半徑成角 ？ 解：(1) 利用 ，，， 得到法向加速度和切向加速度的表達(dá)式 ， 在時，法向加速度和切向加速度為： ， (2) 要使總加速度與半徑成角，必須有，即 解得 ，此時 1.10 甲乙兩船，甲以的速度向東行駛，乙以的速度向南行駛。問坐在乙船上的人看來，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看來乙船的速度又如何？ 解：以地球?yàn)閰⒄障担O(shè)、分別代表正東和正北方向，則甲乙兩船速度分別為 ， 根據(jù)伽利略變換，當(dāng)以乙船為參照物時，甲船速度為 ， 即在乙船上看，甲船速度為，方向?yàn)闁|偏北 同理，在甲船上看，乙船速度為，方向?yàn)槲髌稀? 1.11 有一水平飛行的飛機(jī)，速率為，在飛機(jī)上安置一門大炮，炮彈以水平速度向前射擊。略去空氣阻力， (1) 以地球?yàn)閰⒄障?，求炮彈的軌跡方程； (2) 以飛機(jī)為參照系，求炮彈的軌跡方程； (3) 以炮彈為參照系，飛機(jī)的軌跡如何？ 解：(1) 以地球?yàn)閰⒄障禃r，炮彈的初速度為，而， 消去時間參數(shù)，得到軌跡方程為： （若以豎直向下為y軸正方向，則負(fù)號去掉，下同） (2) 以飛機(jī)為參照系時，炮彈的初速度為，同上可得軌跡方程為 (3) 以炮彈為參照系，只需在(2)的求解過程中用代替，代替，可得 . 1.12如題1.12圖，一條船平行于平直的海岸線航行，離岸的距離為，速率為，一艘速率為的海上警衛(wèi)快艇從一港口出去攔截這條船。試證明：如果快艇在盡可能最遲的時刻出發(fā)，那么快艇出發(fā)時這條船到海岸線的垂線與港口的距離為；快艇截住這條船所需的時間為。 港口 習(xí)題1.12圖 證明：在如圖所示的坐標(biāo)系中，船與快艇的運(yùn)動方程分別為 和 攔截條件為： 即 所以 ， 取最大值的條件為：，由此得到，相應(yīng)地。 因此的最大值為 取最大值時對應(yīng)的出發(fā)時間最遲?？焱Ы刈∵@條船所需的時間為 。 習(xí)題二答案 習(xí)題二 2.1 簡要回答下列問題： (1) 有人說：牛頓第一定律只是牛頓第二定律在合外力等于零情況下的一個特例，因而它是多余的.你的看法如何？ (2) 物體的運(yùn)動方向與合外力方向是否一定相同？ (3) 物體受到了幾個力的作用，是否一定產(chǎn)生加速度？ (4) 物體運(yùn)動的速率不變，所受合外力是否一定為零？ (5) 物體速度很大，所受到的合外力是否也很大？ (6) 為什么重力勢能有正負(fù)，彈性勢能只有正值，而引力勢能只有負(fù)值？ (7) 合外力對物體所做的功等于物體動能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物體動能的增量？ (8)質(zhì)點(diǎn)的動量和動能是否與慣性系的選取有關(guān)？功是否與慣性系有關(guān)？質(zhì)點(diǎn)的動量定理與動能定理是否與慣性系有關(guān)？請舉例說明. (9)判斷下列說法是否正確，并說明理由： (a)不受外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機(jī)械能都守恒. (b)內(nèi)力都是保守力的系統(tǒng)，當(dāng)它所受的合外力為零時，其機(jī)械能守恒. (c)只有保守內(nèi)力作用而沒有外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機(jī)械能都守恒. (10) 在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中，又有哪些量保持不變？ (11) 放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火質(zhì)心運(yùn)動軌跡如何？為什么在空中焰火總是以球形逐漸擴(kuò)大？(忽略空氣阻力) 2.2 質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動，受與速度成正比的阻力（為常數(shù)）作用，時質(zhì)點(diǎn)的速度為，證明： （1）時刻的速度為； （2）由0到的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為； （3）停止運(yùn)動前經(jīng)過的距離為。 證明： (1) 由 分離變量得 ，積分得 ，， (2) (3) 質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動時速度為零，即，故有。 2.3一質(zhì)量為10 kg的物體沿x軸無摩擦地運(yùn)動，設(shè)時，物體的速度為零，物體在力(N)(t以s為單位)的作用下運(yùn)動了3s，求它的速度和加速度. 解. 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動量定理, , 根據(jù)牛頓第二定律， (m/s2) 2.4 一顆子彈由槍口射出時速率為 ms-1，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力為N（a,b為常數(shù)），其中t以秒為單位： （1）假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長所需時間； （2）求子彈所受的沖量； （3）求子彈的質(zhì)量。 解： (1)由題意，子彈到槍口時，有, 得 (2)子彈所受的沖量，將代入，得 (3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量 2.5 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在xoy平面上運(yùn)動，其位置矢量為，求質(zhì)點(diǎn)的動量及到時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動量的改變量。 解：質(zhì)點(diǎn)的動量為 將和分別代入上式，得 ， 動量的增量，亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為 2.6 作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為，式中的單位是。 （1）求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量； （2）為了使這力的沖量為200Ns，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度的物體，回答這兩個問題。 解：(1)若物體原來靜止，則 []，沿x軸正向， 若物體原來具有初速度，則 于是 同理， 這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理． (2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即 令，解得。 2.7 一小船質(zhì)量為100kg，船頭到船尾共長3.6m?，F(xiàn)有一質(zhì)量為50kg的人從船尾走到船頭時，船頭將移動多少距離？假定水的阻力不計(jì)。 習(xí)題2.7圖 解：由動量守恒 又 ， ， 如圖，船的長度 所以 即船頭相對岸邊移動 2.8 質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn),從靜止出發(fā)沿軸作直線運(yùn)動，受力(N)，試求開始內(nèi)該力作的功。 解 而 所以 2.9 一地下蓄水池，面積為，水深度為，假定水的上表面低于地面的高度是，問欲將這池水全部抽到地面，需作功多少? 習(xí)題2.9圖 解:建坐標(biāo)如習(xí)題2.9圖，圖中表示水面到地面的距離，表示水深。水的密度為，對于坐標(biāo)為、厚度為的一層水，其質(zhì)量，將此層水抽到地面需作功 將蓄水池中的水全部抽到地面需作功 (J) 2.9一炮彈質(zhì)量為，以速度飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為 ，。 證明：設(shè)一塊的質(zhì)量為，則另一塊的質(zhì)量為。利用，有 ， ① 又設(shè)的速度為，的速度為，則有 ② [動量守恒] ③ 聯(lián)立①、③解得 ， ④ 聯(lián)立④、②解得 ，于是有 將其代入④式，有 又因?yàn)楸ê?，兩彈片仍沿原方向飛行，當(dāng)時只能取 。 2.10一質(zhì)量為的子彈射入置于光滑水平面上質(zhì)量為并與勁度系數(shù)為的輕彈簧連著的木塊后使彈簧最大壓縮了，求子彈射入前的速度. 習(xí)題2.10圖 解： 子彈射入木塊到相對靜止的過程是一個完全非彈性碰撞，時間極短，木塊獲得了速度，尚未位移，因而彈簧尚未壓縮.此時木塊和子彈有共同的速度，由動量守恒， 　　　　　　　　　　　　 　　　此后，彈簧開始壓縮，直到最大壓縮，由機(jī)械能守恒， 　　　　　　　　　　　 由兩式消去，解出得 　　　　　　　　　　　 2.11質(zhì)量的物體從靜止開始，在豎直平面內(nèi)沿著固定的四分之一圓周從滑到。在處時，物體速度的大小為。已知圓的半徑為，求物體從滑到的過程中摩擦力所作的功：(1)用功的定義求； (2)用動能定理求；(3)用功能原理求。 習(xí)題2.11圖 解 方法一：當(dāng)物體滑到與水平成任意角的位置時，物體在切線方向的牛頓方程為 即 注意摩擦力與位移反向，且，因此摩擦力的功為 方法二： 選為研究對象，合外力的功為 考慮到，因而 由于動能增量為，因而按動能定理有 ，。 方法三：選物體、地球組成的系統(tǒng)為研究對象，以點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)。 初始在點(diǎn)時，、 終了在點(diǎn)時，， 由功能原理知： 經(jīng)比較可知，用功能原理求最簡捷。 2.12 墻壁上固定一彈簧，彈簧另一端連接一個物體，彈簧的勁度系數(shù)為，物體與桌面間的摩擦因素為，若以恒力將物體自平衡點(diǎn)向右拉動，試求到達(dá)最遠(yuǎn)時，系統(tǒng)的勢能。 習(xí)題2.12圖 解：物體水平受力如圖，其中，。物體到達(dá)最遠(yuǎn)時，。設(shè)此時物體的位移為, 由動能定理有 即 解出 系統(tǒng)的勢能為 2.13 一雙原子分子的勢能函數(shù)為 式中為二原子間的距離，試證明： ⑴為分子勢能極小時的原子間距； ⑵分子勢能的極小值為； ⑶當(dāng)時，原子間距離為； 證明：（1）當(dāng)、時，勢能有極小值。由 得 所以，即為分子勢能取極值時的原子間距。另一方面， 當(dāng)時，，所以時，取最小值。 （2）當(dāng)時， （3）令，得到 ，， 2.14 質(zhì)量為7.210-23kg，速度為6.0107m/s的粒子A，與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B相碰，假定這碰撞是彈性碰撞，碰撞后粒子A的速率為5107m/s，求： ⑴粒子B的速率及偏轉(zhuǎn)角； ⑵粒子A的偏轉(zhuǎn)角。 習(xí)題2.14圖 解：兩粒子的碰撞滿足動量守恒 寫成分量式有 碰撞是彈性碰撞，動能不變： 利用 ， ， ，， 可解得 ，，。 2.15 平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物。小球作勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)半徑為時重物達(dá)到平衡。今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體，如題2-15圖。試問這時小球作勻速圓周運(yùn)動的角速度和半徑為多少？ 習(xí)題2.15圖 解：在只掛重物時，小球作圓周運(yùn)動的向心力為，即 ① 掛上后，則有 ② 重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒． 即 ③ 聯(lián)立①、②、③得 2.16 哈雷慧星繞太陽運(yùn)動的軌道是一個橢圓。它離太陽最近距離為時的速率是，它離太陽最遠(yuǎn)時的速率是，這時它離太陽的距離r2是多少？（太陽位于橢圓的一個焦點(diǎn)。） 解：哈雷彗星繞太陽運(yùn)動時受到太陽的引力——即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時的速度都與軌道半徑垂直，故有 ∴ 2.17 查閱文獻(xiàn)，對變質(zhì)量力學(xué)問題進(jìn)行分析和探討，寫成小論文。 參考文獻(xiàn)： [1]石照坤，變質(zhì)量問題的教學(xué)之淺見，大學(xué)物理，1991年第10卷第10期。 [2]任學(xué)藻、廖旭，變質(zhì)量柔繩問題研究，大學(xué)物理，2006年第25卷第2期。 2.18 通過查閱文獻(xiàn)，形成對慣性系的進(jìn)一步認(rèn)識，寫成小論文。 參考文獻(xiàn)： [1]高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考，大學(xué)物理，2002年第21卷第4期。 [2]高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考(續(xù))，大學(xué)物理，2002年第21卷第5期。 習(xí)題三答案 習(xí)題三 3.1簡要回答下列問題： (1) 地球由西向東自轉(zhuǎn)，它的自轉(zhuǎn)角速度矢量指向什么方向？ 作圖說明. (2) 剛體的轉(zhuǎn)動慣量與那些因素有關(guān)？“一個確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動慣量”這句話對嗎？ (3) 平行于軸的力對軸的力矩一定為零，垂直于軸的力對軸的力矩一定不為零.這種說法正確嗎？ (4) 如果剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？ (5) 兩大小相同、質(zhì)量相同的輪子，一個輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個輪子的質(zhì)量主要集中在輪子邊緣，兩輪繞通過輪心且垂直于輪面的軸轉(zhuǎn)動。問：(a)如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個輪子轉(zhuǎn)動的角速度較大？(b)如果它們的角加速度相同，哪個輪子受到的力矩大？(c)如果它們的角動量相等，哪個輪子轉(zhuǎn)得快？ (6) 為什么質(zhì)點(diǎn)系動能的改變不僅與外力有關(guān)，而且也與內(nèi)力有關(guān)，而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能只與外力矩有關(guān)，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)？ (7) 下列物理量中，哪些與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)，哪些與參考點(diǎn)的選擇無關(guān)：(a) 位矢；(b)位移；(c)速度；(d)動量；(e)角動量；(f)力；(g)力矩. (8) 做勻速圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，對于圓周上某一定點(diǎn)，它的角動量是否守恒？對于通過圓心并與圓平面垂直的軸上任一點(diǎn)，它的角動量是否守恒？對于哪一個定點(diǎn)，它的角動量守恒？ (9) 一人坐在角速度為的轉(zhuǎn)臺上，手持一個旋轉(zhuǎn)著的飛輪，其轉(zhuǎn)軸垂直于地面，角速度為。如果忽然使飛輪的轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)，將發(fā)生什么情況？設(shè)轉(zhuǎn)臺和人的轉(zhuǎn)動慣量為，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為。 3.2質(zhì)量為長為的均質(zhì)桿，可以繞過端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。開始時，用手支住端，使桿與地面水平放置，問在突然撒手的瞬時，(1)繞點(diǎn)的力矩和角加速度各是多少？(2)桿的質(zhì)心加速度是多少？ 習(xí)題3.1圖 解：(1)繞B點(diǎn)的力矩由重力產(chǎn)生，設(shè)桿的線密度為，，則繞B點(diǎn)的力矩為 桿繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為 角加速度為 (2)桿的質(zhì)心加速度為 3.3 如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為與，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為。 ⑴如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與 (設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動)； ⑵如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與。 習(xí)題3.2圖 解：⑴先做受力分析，物體1受到重力和繩的張力，對于滑輪，受到張力和，對于物體2，在水平方向上受到摩擦力和張力，分別列出方程 [] [] 通過上面三個方程，可分別解出三個未知量 ，， ⑵ 在⑴的解答中，取即得 ， ，。 3.4 電動機(jī)帶動一個轉(zhuǎn)動慣量為I=50kgm2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動。在0.5s內(nèi)由靜止開始最后達(dá)到120r/min的轉(zhuǎn)速。假定在這一過程中轉(zhuǎn)速是均勻增加的，求電動機(jī)對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)施加的力矩。 解：由于轉(zhuǎn)速是均勻增加的，所以角加速度為 從而力矩為 3.5 一飛輪直徑為0.30m，質(zhì)量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速，經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速達(dá)到10r/s。假定飛輪可看作實(shí)心圓柱體，求： ⑴飛輪的角加速度及在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)； ⑵拉力及拉力所作的功； ⑶從拉動后t=10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。 解：⑴ 飛輪的角加速度為 轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 ⑵ 飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為 ， 所以，拉力的大小為 拉力做功為 ⑶從拉動后t=10s時，輪角速度為 輪邊緣上一點(diǎn)的速度為 輪邊緣上一點(diǎn)的加速度為 。 3.6 飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r/min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)μ=0.4，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。 習(xí)題3.6圖 解：設(shè)在飛輪接觸點(diǎn)上所需要的壓力為，則摩擦力為，摩擦力的力矩為，在制動過程中，摩擦力的力矩不變，而角動量由變化到0，所以由 有 解得。由桿的平衡條件得 。 3.7 彈簧、定滑輪和物體的連接如圖3.7所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0N m-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kg m2，半徑為0.30m，問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時，它的速率為多大？假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長。 習(xí)題3.7圖 解：當(dāng)物體落下0.40m時，物體減少的勢能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢能、物體的動能和滑輪的動能， 即 ， 將，，，，代入，得 3.8 在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤的半徑為，轉(zhuǎn)動慣量為，角速度為。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動能的變化。 解：系統(tǒng)的角動量在整個過程中保持不變。 人在盤邊時，角動量為 人走到盤心時角動量為 因此 人在盤邊和在盤心時，系統(tǒng)動能分別為 ， 系統(tǒng)動能增加 3.9 在半徑為，質(zhì)量為的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心，半徑為[]的圓周勻速地走動時，設(shè)他相對于圓盤的速度為，問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？ 解：整個體系的角動量保持為零，設(shè)人勻速地走動時圓盤的角速度為，則 解得 3.10 如題3.10圖示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量=510-5 kgm2?，F(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺，并粘在臺面形成一半徑=0.1m的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺，使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)樗ǖ臅r間。 習(xí)題3.10圖 解：要使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)?，由于砂粒落下時不能改變體系角動量，所以必須要使體系的轉(zhuǎn)動慣量加倍才行，即 。將和代入得 所以 3.11 一脈沖星質(zhì)量為1.51030kg，半徑為20km。自旋轉(zhuǎn)速為2.1 r/s，并且以1.010-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動動能以多大的變化率減??？如果這一變化率保持不變，這個脈沖星經(jīng)過多長時間就會停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。 解：脈沖星的轉(zhuǎn)動慣量為 轉(zhuǎn)動動能為 轉(zhuǎn)動動能的變化率為 由，，得停止自旋所需要的時間為 3.12 兩滑冰運(yùn)動員，質(zhì)量分別為MA=60kg，MB=70kg，它們的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動并保持兩者間的距離為1.5m。求該瞬時：⑴系統(tǒng)的總角動量；⑵系統(tǒng)的角速度；⑶兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒，為什么？ 解：⑴設(shè)兩滑冰運(yùn)動員拉手后，兩人相距為，兩人與質(zhì)心距離分別為和，則 ， 兩人拉手前系統(tǒng)總角動量為 ⑵設(shè)兩人拉手后系統(tǒng)的角速度為，由于兩人拉手后系統(tǒng)角動量不變 所以， ⑶兩人拉手前總動能為： 拉手后，由于整個體系的動量保持為零，所以體系動能為 所以體系動能保持守恒?？梢运愠?，當(dāng)且僅當(dāng)時，體系能量守恒，否則能量會減小，且 3.13一長=0.40m的均勻木棒，質(zhì)量M=1.00kg，可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時 棒自然地豎直懸垂?，F(xiàn)有質(zhì)量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為，如圖。求：⑴棒開始運(yùn)動時的角速度；⑵棒的最大偏轉(zhuǎn)角。 習(xí)題3.13圖 解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點(diǎn)的角動量為 子彈射入后，整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為 所以 ⑵子彈射入后，且桿仍然垂直時，系統(tǒng)的動能為 當(dāng)桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)動能為零，勢能的增加量為 由機(jī)械能守恒， 得 3.14 通過查閱文獻(xiàn)，探討計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動慣量的簡化方法，寫成小論文。 參考文獻(xiàn)：周海英、陳浩、張曉偉，巧算一類剛體的轉(zhuǎn)動慣量，大學(xué)物理，2005年第24卷第2期。 3.15 通過上網(wǎng)搜尋，查找對稱陀螺規(guī)則進(jìn)動在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用事例，并進(jìn)行分類。 習(xí)題四參考解答 4.1 慣性系相對慣性系以速度運(yùn)動。當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)與重合時，。在慣性系中一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動，軌道方程為 ，， 試證：在慣性系中的觀測者觀測到該質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動，橢圓的中心以速度運(yùn)動。 提示：在慣性系中的觀測者觀測到該質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為 。 證明：根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)變換關(guān)系 代入原方程中，得到 化簡得 所以，在K系中質(zhì)點(diǎn)做橢圓運(yùn)動，橢圓中心以速度運(yùn)動。 4.2 一觀測者測得運(yùn)動著的米尺長，問此米尺以多大的速度接近觀測者？ 解：由相對論長度縮短關(guān)系 得到 4.3 如題圖4.3所示，在系的平面內(nèi)放置一固有長度為的細(xì)桿，該細(xì)桿與軸的夾角為。設(shè)系相對于系沿軸正向以速率運(yùn)動，試求在系中測得的細(xì)桿的長度和細(xì)桿與軸的夾角。 ， 題圖4.3 解：細(xì)桿在系中的兩個坐標(biāo)上的投影分別為 細(xì)桿在系中的兩個坐標(biāo)上的投影分別為 在系中細(xì)桿的長度為 與X軸正向夾角為 4.4 一飛船以的速率相對于地面[假設(shè)地面慣性系]勻速飛行。若飛船上的鐘走了的時間，用地面上的鐘測量是經(jīng)過了多少時間？ 解：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系 代入數(shù)據(jù)，可得 4.5 已知介子束的速度為[為真空中的光速]，其固有平均壽命為，在實(shí)驗(yàn)室中看來，介子在一個平均壽命期內(nèi)飛過多大距離？ 解：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系 代入數(shù)據(jù)，可得 因此 4.6 慣性系相對另一慣性系沿軸作勻速直線運(yùn)動，在慣性系中觀測到兩個事件同時發(fā)生軸上，且其間距是，在系觀測到這兩個事件的空間間距是，求系中測得的這兩個事件的時間間隔。 解：由相對論的同時性的兩個等價關(guān)系 (1) (2) 聯(lián)立兩式得到 代入(2)式中得到 4.7論證以下結(jié)論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同的地點(diǎn)，在有相對運(yùn)動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時發(fā)生。 證明：令在某個慣性系中兩事件滿足 ， 則在有相對運(yùn)動的另一個慣性系中(相對運(yùn)動速度為),兩事件的時間間隔是 由于 ， 且 所以 ，即兩事件一定不同時發(fā)生。 4.8 試證明：(1)如果兩個事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩 個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短；(2)如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短。 證明(1) 設(shè)兩事件在某慣性系中于同一地點(diǎn)發(fā)生，即，時間間隔為，則在另一個相對運(yùn)動速度為的慣性系中，兩事件的時間間隔為 所以，在原慣性系中時間間隔最短。 證明(2) 設(shè)兩事件在某慣性系中于同時發(fā)生，即，時間間隔為，則在另一個相對運(yùn)動速度為的慣性系中，兩事件的時間間隔為 所以，在原慣性系中空間間隔最短。 4.9 若電子和電子均以[為真空中的光速]的速度相對于實(shí)驗(yàn)室向右和向左飛行，問兩者的相對速度是多少？ [ 答案：] 4.10 一光源在系的原點(diǎn)發(fā)出一光線。光線在平面內(nèi)且與軸的夾角為。設(shè)系相對于系沿軸正向以速率運(yùn)動。試求在系中的觀測者觀測到此光線與軸的夾角。 解：光線的速度在系中兩個速度坐標(biāo)上的投影分別為 由速度變換關(guān)系 ， 則在系中速度的兩個投影分別為 ， 所以，在系中的觀測者觀測到此光線與軸的夾角 4.11 如果一觀測者測出電子的質(zhì)量為[為電子的靜止質(zhì)量]，問電子的速度是多大？ 解：由相對論質(zhì)量關(guān)系 而且 得到 4.12 如果將電子由靜止加速到 [為真空中的光速] 的速度，需要對它作多少功？速度從加速到，又要作多少功？ 解(1) 由相對論動能定理： 因?yàn)?， 代入得到 (2) 將 ， 代入原式 4.13 在什么速度下粒子的動量是其非相對論動量的兩倍？在什么速度下粒子的動能等于它的靜止能量？ 解(1) 由相對論動量公式 而且 聯(lián)立兩式 (2) 由相對論動能公式 而且 聯(lián)立兩式 4.14 靜止質(zhì)量為的電子具有倍于它的靜能的總能量，試求它的動量和速率。 [提示：電子的靜能為] 解：由總能量公式 而且 (1) 其中 (2) 聯(lián)立(1)、(2)兩式 將(1)式代入動量公式 4.15 一個質(zhì)量為的靜止粒子，衰變?yōu)閮蓚€靜止質(zhì)量為和的粒子，求這兩個粒子的動能。[提示：利用能量守恒和動量守恒關(guān)系] 解：令兩粒子的動能分別為與 由相對論能量守恒得到 (1) 由相對論動量和能量的關(guān)系 得到 由相對論動量守恒得到 (2) 聯(lián)立(1)、(2)兩式解得 ， 習(xí)題五參考解答 5.1 簡答下列問題： （1） 什么是簡諧振動？分別從運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)兩方面作出解釋。一個質(zhì)點(diǎn)在一個使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作簡諧振動？ （2） 在什么情況下，簡諧振動的速度和加速度是同號的？在什么情況下是異號的？加速度為正值時，振動質(zhì)點(diǎn)一定是加快地運(yùn)動嗎？反之，加速度為負(fù)值時，肯定是減慢地運(yùn)動嗎？ （3） 同一彈簧振子，如果它在水平位置是作簡諧振動，那么它在豎直懸掛情況下是否仍作簡諧振動？把它裝在光滑斜面上，它是否仍將作簡諧振動？ （4） 如果某簡諧振動振動的運(yùn)動學(xué)方程是，那么這一振動的周期是多少？ （5） 在地球上，我們認(rèn)為單擺(在小角幅下)的運(yùn)動是簡諧振動，如果把它拿到月球上，那么，振動周期將怎樣改變？ （6） 什么是位相？一個單擺由最左位置開始擺向右方，在最左端位相是多少？經(jīng)過中點(diǎn)、到達(dá)右端、再回中點(diǎn)、返回左端等各處的位相是多少？ （7） 初位相是個什么物理量？初位相由什么確定？如何求初周相？試分別舉例說明： (a)已知初始狀態(tài)，如何確定初位相；(b)已知初位相，如何確定初始狀態(tài)。 5.2 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動cm。某時刻它在cm處，且向X軸負(fù)向運(yùn)動，它要重新回到該位置至少需要經(jīng)歷的時間為 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 。 答案：(B) Y X 如圖： 位相差 5.3 以頻率作簡諧振動的系統(tǒng)，其動能和勢能隨時間變化的頻率為 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 答案：(C) 5.4 勁度系數(shù)為的輕彈簧和質(zhì)量為10g的小球組成的彈簧振子，第一次將小球拉離平衡位置4cm，由靜止釋放任其運(yùn)動；第二次將小球拉離平衡位置2cm并給以2cm/s的初速度任其振動。這兩次振動能量之比為 (A) 1:1; (B) 4:1; (C) 2:1; (D) 。 答案：(C) ， 5.5 一諧振系統(tǒng)周期為0.6s，振子質(zhì)量為200g，振子經(jīng)平衡位置時速度為12cm/s，則再經(jīng)0.2s后振子動能為 (A) ； (B) 0; (C) ; (D) 。 答案：(D) ，， ， 5.6 一彈簧振子系統(tǒng)豎直掛在電梯內(nèi)，當(dāng)電梯靜止時，振子諧振頻率為?，F(xiàn)使電梯以加速度向上作勻加速運(yùn)動，則其諧振頻率將 (A) 不變； (B) 變大； (C) 變??； (D) 變大變小都有可能 答案：(A) ， X 5.7 將一物體放在一個沿水平方向作周期為1s的簡諧振動的平板上，物體與平板間的最大靜摩擦系數(shù)為0.4。要使物體在平板上不致滑動，平板振動的振幅最大只能為 (A) 要由物體質(zhì)量決定； (B) ; (C) ; (D) 0.4cm 答案：(C) 最大靜摩擦力為，最大加速度為 由得 5.8 兩分振動方程分別為和 ，則它們合振動的表達(dá)式為 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 。 答案：(C) 5.9 質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作簡諧振動，式中以秒為單位，以米為單位。試求： (1) 振動的圓頻率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值； (2) 求時刻的位相。 (3) 利用Mathematica繪出位移、速度、加速度與時間的關(guān)系曲線。 解(1)： , , , (2) 5.10 勁度系數(shù)為和的兩根彈簧，與質(zhì)量為的物體按題圖5.10所示的兩種方式連接試證明它們的振動均為諧振動。 題圖5.10 證明：(1)當(dāng)物體向右移動時，左端彈簧伸長，而右端彈簧縮短，它們對物體作用力方向相同，均與物體位移方向相反，所以 因此物體將作簡諧振動。 (2) 設(shè)兩彈簧分別伸長與，則彈簧對物體的作用力 對兩彈簧的連接點(diǎn)有: 且 解此兩式： 代入中： 因此物體將作簡諧振動。 5.11 如題圖5.11所示，質(zhì)量為的物體放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角，彈簧的勁度系數(shù)為，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為。先把物體托住，使彈簧維持原長，然后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動。 題圖5.11 證明：取未用手托系統(tǒng)靜止時的位置為平衡位置，令此點(diǎn)位坐標(biāo)原點(diǎn)，彈簧伸長，則有： (1) 當(dāng)物體沿斜面向下位移為時，則有： (2) (3) (4) (5) 將(2)與(4)代入(3),并利用(5),可得 利用(1)式，得到 所以，物體作的是簡諧振動。 5.12 一個沿軸作簡諧振動的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動方程用余弦函數(shù)表出。如果時質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是： (1) ； (1) 過平衡位置向軸正向運(yùn)動； (3) 過處向軸負(fù)向運(yùn)動； (4) 過處向軸正向運(yùn)動。 試用旋轉(zhuǎn)矢量圖方法確定相應(yīng)的初位相，并寫出振動方程。 Y (3) (1) X (4) (2) 解：令振動方程為： (1) ， ， (2) ， ， (3) ， ， (4) ， ， 5.13 一質(zhì)量為的物體作諧振動，振幅為24cm，周期為4.0s，當(dāng)時，位移為24cm。求： (1) 時，物體所在的位置； (2) 時，物體所受力的大小和方向； (3) 由起始位置運(yùn)動到處所需的最短時間； (4) 在處物體的速度、動能、系統(tǒng)的勢能和總能量。 解：設(shè)物體的振動方程為 由于 ， 由于 ，因此 (1) 將 代入，得到 (2) 將代入，得到 負(fù)號表示方向與軸方向相反。 (3) 將代入中，得到 (4) ，將代入得 由 因此 5.14 有一輕彈簧，下端懸掛一質(zhì)量為的砝碼，砝碼靜止時，彈簧伸長。如果我們再把砝碼豎直拉下，求放手后砝碼的振動頻率和振幅。 解：取砝碼靜止時的位置為平衡位置，并令為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正方向，則有 當(dāng)下拉位置時，砝碼所受回復(fù)力為 因此砝碼作簡諧振動 將初始條件 代入振幅公式： 5.15 一輕彈簧的勁度系數(shù)為，其下端懸有一質(zhì)量為的盤子?，F(xiàn)有一質(zhì)量為的物體從離盤底為高度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起，于是盤子開始振動。若以物體落到盤底時為計(jì)時零點(diǎn)、以物體落到盤子后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)、以向下為軸正向，求盤子的振動方程。 解：令與系統(tǒng)處于平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正方向 未下落時，滿足: 與平衡位置處: 聯(lián)立解得 由動量守恒： 且 得到 而且它們共同振動的周期 將初始條件 ，，代入振幅及位相公式： 由于 ， 因此 將已求出的、和代入中，即可得振動方程為 5.16 一個水平面上的彈簧振子(勁度系數(shù)為，所系物體質(zhì)量為)，當(dāng)它作振幅為、周期為、能量為的無阻尼振動時，有一質(zhì)量為的粘土從高度處自由下落。當(dāng)達(dá)到最大位移處時粘土正好落在上，并粘在一起，這時系統(tǒng)的振動周期、振幅和振動能量有何變化？如果粘土是在通過平衡位置時落在上，這些量又如何變化？ 解:原周期為，兩種情況下周期都變?yōu)? (1) 當(dāng)達(dá)到最大位移處時粘土正好落在上時，此時物體水平速度為零 動量守恒得到： 且 將初始條件 ， 代入振幅公式 (2) 當(dāng)粘土在通過平衡位置時落在上時，由水平方向動量守