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一、填空題（本大題共7小題，每小題1分，共7分） 1. 序列x(n) = sin(0.3pn + 0.25p)，該序列的周期N為 20 。 2. 序列x(n)存在傅里葉變換的充分條件是 。 3. 用DFT對(duì)序列進(jìn)行譜分析時(shí)，對(duì)序列截?cái)嘁鹬髯V線向附近展寬的現(xiàn)象稱為 頻譜泄露 。 4. 全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)是互為 共軛倒易 關(guān)系。 5. 對(duì)12點(diǎn)長(zhǎng)序列x(n)做DIF-基2FFT計(jì)算，其運(yùn)算流圖中每級(jí)的蝶形個(gè)數(shù)是 8個(gè) 。 6. 設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法，不適合設(shè)計(jì) 高通、帶阻 濾波器。 7. 用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器，為了提高阻帶衰減，可在頻響間斷點(diǎn)處內(nèi)插一個(gè)或幾個(gè) 采樣點(diǎn) 。 二、判斷改錯(cuò)題，正確打“”，錯(cuò)誤打“”，并改錯(cuò)。（本大題共4小題，每小題2分，共8分） 8. 周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)仍是周期離散的。 （ ） 9.DIT-基2FFT分解的基本方法是將序列x(n)按n值前后對(duì)半分為2個(gè)序列。（ ） 的奇偶 10. 序列x(n)的N點(diǎn)DFT為X(k)，則序列x*(n)的DFT變換為X*(N-k)。 （ ） ，且X(N)=X(0) 11. 因果穩(wěn)定的LTI時(shí)域離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)所有零點(diǎn)都必須在單位圓內(nèi)。 （ ） 極點(diǎn) 三、計(jì)算題（本大題共6小題，共42分） 12.已知序列，試計(jì)算循環(huán)卷積，且循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L=4。（6分） 解：求x(n)和h(n)的DFT： 求X(k)與H(k)的乘積： 求Y(k)的反變換得： 2 3 4 1 -1 0 -2 -1 -1 1 2 1 1 n x(n) 13. 若序列x(n)波形如下，且x(n)的FT變換為X(ejw)，不直接求X(ejw)，完成下列運(yùn)算：求 (1) X(ejp) = ？ （2）（8分） 解：（1）∵ ∴ （2）由帕斯維爾定理，有 ∴ 14. 用微處理機(jī)對(duì)實(shí)序列作譜分析，要求譜分辨率F100Hz，信號(hào)最高頻率為4kHz，試確定以下各參數(shù)：(1)最小記錄時(shí)間TPmin；(2)最大取樣間隔Tmax；(3)最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin；(4)若信號(hào)頻帶不變，采用基2FFT做譜分析，求使譜分辨率提高1倍的N值。（8分） 解：(1)已知最大譜分辨率F=100Hz，所以 (2) (3) (4)頻帶不變，則取樣率不變，分辨率提高1倍，則要求最小記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍，此時(shí)有： 采用基2FFT做譜分析，由于128=27<160<256=28,所以N應(yīng)取256。 15.若某計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)乘法平均需要4ms，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)加法平均需要1ms，分別用直接計(jì)算和基2FFT計(jì)算N = 1024點(diǎn)復(fù)數(shù)信號(hào)x(n)的N點(diǎn)DFT X(k)時(shí)，若只考慮乘法和加法運(yùn)算，所需要的運(yùn)算時(shí)間各是多少？ （6分） 解：直接計(jì)算所需運(yùn)算量：復(fù)乘法次數(shù)N2次，復(fù)加法次數(shù)為N(N-1)次； 基2FFT所需運(yùn)算量：復(fù)乘法次數(shù)次，復(fù)加法次數(shù)為次。 因此，直接計(jì)算所需運(yùn)算時(shí)間為： 基2FFT計(jì)算所需運(yùn)算量： 16.已知某模擬系統(tǒng)，采樣間隔T=2s，試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，求該數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。（8分） 解：由因式分解可得： 即：，因?yàn)門=2，所以有： 17. 已知序列x(n)長(zhǎng)度為N，X(k)=DFT[x(n)]， Y(k)為2N點(diǎn)y(n)的DFT值，試用X(k)表示Y(k)。（6分） 解：由DFT定義有： 五、畫結(jié)構(gòu)圖題（本大題共2小題，每小題8分，共16分） 18.已知IIR系統(tǒng)為：，試： (1) 確定系統(tǒng)的零、極點(diǎn)；（2）畫出該系統(tǒng)的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖（II型）；（3）畫出系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。 解：（1）由差分方程有： 方程兩端求Z變換： 系統(tǒng)函數(shù)為： 系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)z1=2，z2=1；系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)： （2）系統(tǒng)直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)流圖如下圖所示： x(n) y(n) -3 z-1 5/6 z-1 2 -1/6 系統(tǒng)函數(shù)可以寫作： 由此可以畫出系統(tǒng)的一種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)流圖如下圖所示： x(n) y(n) z-1 -2 1/3 1/2 -1 z-1 19. 已知FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)為，求：(1) 該濾波器的h(n)及階數(shù)N；(2) 判斷系統(tǒng)是否具有線性相位，若是線性相位，求出相位函數(shù)和畫出線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖；若不是線性相位，畫出直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。 解：（1）對(duì)H(z)求Z反變換可得： 濾波器階數(shù)N=7 （2）因?yàn)閔(n)=-h(N-n-1)，而且h(n)為實(shí)數(shù)，所以該FIR濾波器是第二類線性相位。相位函數(shù)為： 濾波器線性相位結(jié)構(gòu)流圖如下： z-1 z-1 z-1 x(n) -1 -1 -1 z-1 z-1 z-1 0.8 -1.5 y(n) 六、證明題（本大題共1小題，每小題7分，共7分） 20. 若x(n)為實(shí)序列，且x(n)= x(N-n)，已知X(k)＝DFT[x(n)]N，證明：X(k)為實(shí)偶對(duì)稱序列，即證明X(k)=X(N-k) 且X(k)為實(shí)序列。 解1：∵x(n)可寫作x(n)=xep(n)+xop(n)，由x(n)= x(N-n)知，xop(n)=0，即x(n)=xep(n)； 從而，由DFT的共軛對(duì)稱性， DFT[xep(n)]=Re[X(k)]，即X(k)為實(shí)序列。 由X(k)為實(shí)序列，即有X(k)=X*(N-k)= X(N-k)。 解2：因?yàn)椋? k=0，1，…，N-1 由于x（n）是關(guān)于N的實(shí)偶序列，而是關(guān)于N的奇序列，所以有： 亦即：為實(shí)序列； 又有： 七、設(shè)計(jì)題（本大題共2小題，每小題10分，共20分） 21. 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR線性相位低通濾波器，要求阻帶最小衰減為40dB，過渡帶寬度為400Hz，采樣頻率為4kHz，確定設(shè)計(jì)要求濾波器的窗函數(shù)類型和長(zhǎng)度；并構(gòu)造逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)。 附：常用窗函數(shù)的基本參數(shù)： 窗函數(shù)類型 旁瓣峰值an/dB 過渡帶寬度Bt 阻帶最小衰減as/dB 矩形窗 13 1.8p / N 21 三角窗 25 6.1p / N 25 漢寧窗 31 6.2p / N 44 哈明窗 41 6.6p / N 53 布萊克曼窗 57 11p / N 74 解：由題知 由阻帶最小衰減為40dB和滿足指標(biāo)條件下N最小的原則，濾波器窗函數(shù)應(yīng)選擇漢寧窗， 由附表可求得濾波器單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度： 設(shè)該FIR低通濾波器的通帶截止頻率為wc，由濾波器階數(shù)N=31知，該濾波器群延時(shí)為： 容易構(gòu)造此濾波器所逼近的理想頻率響應(yīng)函數(shù)為： 22. 用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器，要求通帶頻率低于0.25p時(shí)，容許幅度差在2dB之內(nèi)，頻率在0.6p到p之間阻帶衰減大于15dB，試采用巴特沃斯原型濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，采樣間隔T=1s。 附：已知?dú)w一化低通巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為： N＝1時(shí)， ； N＝2時(shí)， ； N＝3時(shí)， 巴特沃斯模擬濾波器階數(shù)N計(jì)算公式為： ；； 解：（1）將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)（含預(yù)畸變） ， , （2）計(jì)算模擬濾波器階數(shù)N 取N=2 （3）由給出的歸一化原型巴特沃思低通濾波器傳遞函數(shù)可得所設(shè)計(jì)的模擬濾波器歸一化傳遞函數(shù)為： （4）求出3dB頻率： 由教材知（p158）：若選取Wc=1.1702rad/s，則阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余，若選取Wc=0.9472rad/s，則通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余。因?yàn)榘吞匚炙骨€是單調(diào)的，為計(jì)算簡(jiǎn)單，取去歸一化。 （驗(yàn)證：由，可得： 比由題目求得的大，即通帶指標(biāo)有富余； 由，可得： 比由題目求得的小，即阻帶指標(biāo)有富余。） （5）求得模擬濾波器傳遞函數(shù)為： （6）用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 9 《數(shù)字信號(hào)處理》期末考試 A 卷