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廣東工業(yè)大學試卷用紙，共 2 頁，第 頁 學 院 ： 專業(yè)： 學號： 姓名： 裝 訂 線 廣東工業(yè)大學考試試卷 ( B ) 課程名稱 : 高等數(shù)學 A(1) 試卷滿分 100 分 考試時間 : 2008 年 1 月 14 日 (第 20 周 星期一 ) 題 號 一 二 三 四 五 六 七 總分 1 2 3 4 評卷得分 評卷簽名 復核得分 復核簽名 一、填空題：（每小題 4 分，共 20 分） 1. )0,0( 14lim ???????? ???? baaxax bx x = . 2. 設 )(xyy? 是由方程 xyexy cos2 ?? 所確定的隱函數(shù)，則 ?dy . 3. 設 )(xf 可導 , 則 x fxfx )2()22(lim 0 ??? = . 4. ? ??? dx x xxfx ]ln)([ 2 = . 5. ?? ??? ???? ?? ? 01,)1ln ( 0,)( 1 1 xx xexf x 有第一類間斷點 ； 第二類間斷點 二、選擇題：（每小題 4 分，共 20 分） 1. 設函數(shù) ?? ??? ? ???? 0,0 0,12s i n)( 2 x xxexxf ax 在 0?x 處連續(xù) , 則 )(?a . A． 2 B. 2? C． 21 D. 21? 2. 函數(shù) 71862 23 ???? xxxy 的 極大值為（ ） . A． 17 B. 17? C． 24 D. 24? 廣東工業(yè)大學試卷用紙，共 2 頁，第 頁 3. 極限 2 0 0 )1ln(lim x dttx x ? ? ? 的值等于 （ ） . A. 1 B. 1? C． 21? D. 21 4． 定 積分 ? ? ???? dxxxx )s in||2c o s1( 的值等于 （ ） . A. 22 B. 0 C． 24? D. 24 5． 微分方程 xxxyy sin2co t ??? 滿足初始條件 4 2 2 ?? ??xy 的特解為 ( ) A. xxy sin2? B. xxy sin2?? C． xxy cos2? D. xxy cos2?? 三、計算題 （ 每小題 7 分，共 28 分 ） 1. 求由參數(shù)方程 ?? ??? ?? ? ?t t ety ex 2 所確定的函數(shù)的二階導數(shù) 22 dxyd . 2． 求曲線 12 ??? x xxy 的凹凸區(qū)間和拐點 . 3. 計算定積分 ? ?1 0 22 xdxx . 4. 求微分方程 xeyyy 5834 ?????? 的通解 . 四、 （ 8分） 證明 :當 4?x 時 ， 22 xx? . 五、 （ 8 分 ） 若對任意 0?x ,曲線 )(xfy? 上的點 ))(,( xfx 處的切線在 y 軸上的截距 等于 ?x dttf x 0 )(1 ,求 )(xf 的一般表達式 . 六、 （ 8 分） 設 )(xf 在 ]0[ a， 上連續(xù) , 在 ），（ a0 內可導 ,且 0)( ?af 證明 : 存在 ），（ a0?? ,使得 0)()( ??? ??? ff . 七、 （ 8分） 求曲線 xy ln? 在區(qū)間 )6,2( 內的一條切線 , 使得該切線與直線 2?x , 6?x 和曲線 xy ln? 所圍成的平面圖形面積最小 . 共 6 頁，第 頁 學 院： 專 業(yè)： 學 號： 姓 名 ： 裝 訂 線 廣東工業(yè)大學考試 答題紙 課程名稱 : 高等數(shù)學 A(1) 試卷滿分 100 分 考試時間 : 2008 年 1 月 14 日 (第 20 周 星期 一 ) 題 號 一 二 三 四 五 六 七 總分 1 2 3 4 評卷得分 評卷簽名 復核得分 復核簽名 一、填空題：（每小題 4 分，共 20 分） 1. abe3 ; 2. dx xey yexdy xy xy ??? 2s in ; 3. )(22f?? ; 4. Cxxfxfx ???? 221 )( ln)()( ; 5. 10 ?? xx ; 二、選擇題：（每小題 4 分，共 20 分） 1 2 3 4 5 B A C D A 三、計算題 （ 每小題 7 分，共 28 分 ） 1. 解 : 方法一： tt edtdxedtdy 221 ??? ? , （ 2 分） t t e e dt dx dt dy dx dy 22 1 ???? （ 4 分） 共 6 頁，第 頁 dt dx dx dy dt d dx yd )(? 2 2 （ 5 分） tt tttt ee eeee 24 22 2 14 142 ?????? ?? )( （ 6 分） t t e e54 23??? （ 7 分） 方法 二 ： tttt edt xdedt ydedtdxedtdy 222222 421 ?????? ?? ,,, （ 2 分） 32 2 )( x xyxydx yd ? ???????? （ 5 分） t tttt e eeee 6 22 8 142 )( ?? ????? （ 6 分） t t e e54 23??? （ 7 分） 2. 解 : , )( 22 2 1 11 ? ????? x xy （ 1 分） , )( )( 32 2 1 32 ? ???? x xxy （ 2 分） 00 ???? xy 得令 以及 y? 不存在點 1??x （ 3 分） 列表討論如下 : x (??,?1) ?1 (?1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +?) y? ? + ? + y 凸 無定義 凹 0 凸 無定義 凹 共 6 頁，第 頁 曲線的凸區(qū)間 : ),(),( 101 ???? （或 ],(),( 101 ???? ） （ 4 分） 曲線的凹區(qū)間 ),(),( ??? 101 ? （或 ),(],( ??? 101 ? ） （ 5 分） 曲線有拐點 : (0, 0) （ 7 分） 3. 方法一： 令 22 xxy ?? ， 則 1102 2222 ?????? yxxyx )(, （ 2 分） 由定積分 的幾何意義 ，該積分表示以（ 1， 0）為圓心， 半徑為 1 的圓的面積的四分之一， （ 5 分） 即 dxxx? ?1 0 22 = ?41 （ 7 分） (說明：圖錯扣一分； 沒有圖，但答案對，不扣分；如直接得答案，扣 2 分 ). 方法二： dxxx? ?1 0 22 dxx? ??? 10 211 )( （ 4 分） dttttx ?? ??? 0 2 211 ? c o ss i ns i n令 （ 5 分） dtt?? ?? 0 2 2121 ? )c o s( （ 6 分 ） 0 2 22121 ???? )s in( tt 4?? （ 7 分） 方法三： dxxx? ?1 0 22 102121 )( a r c s in xxx ??? （ 5 分） 4?? （ 7 分） 共 6 頁，第 頁 4. 解 : 特征方 程為 : 0342 ??? rr , （ 1 分） 特征根 : 13 21 ?? rr , （ 3 分） 齊次方程的通解為 : xx eCeCY 231 ?? （ 4 分） 由于 5?? 不是特征根 ,且 8?)(xPm 故可設原方程的一個特解為 : xAey 5?* （ 5 分） 將其代入原方程得 : xx eAe 55 88 ? ,解得 : 1?A （ 6 分） 所以 xey 5?* , 從而求得原方程的通解為 xxx eeCeCy 5231 ??? （ 7 分） 四 、 （ 8 分） 證明：方法一：令 22 xxf x ??)( ， 04 ?)(f （ 1 分） xxf x 222 ?? ln)( ， 082164 ??? ln)(f （ 2 分） 222 2 ?? )(ln)(" xxf （ 3 分） 當 4?x 時 ， 0?)(" xf （ 5 分） 所以 )( xf 單調增加，于是當 4?x 時 ， 04 ?? )()( fxf （ 6 分） 因此 )(xf 單調增加，故當 4?x 時， 04 ?? )()( fxf （ 7 分） 即當 4?x 時， 22 xx ? （ 8 分） 方法二：令 xxxf lnln)( 22 ?? ， 04 ?)(f （ 1 分） xxf 22 ?? ln)( ， 02124 ??? ln)(f （ 3 分） 022 ?? xxf )(" （ 5 分） 所以 )( xf 單調增加，于是當 4?x 時， 04 ?? )()( fxf （ 6 分） 因此 )(xf 單調增加，故當 4?x 時， 04 ?? )()( fxf （ 7 分） 共 6 頁，第 頁 即當 4?x 時， xx lnln 22 ? ， 亦即 4?x 時， 22 xx ? （ 8 分） 方法三：令 xxxf ln)( ? ，則 21 x xxf ln)( ?? （ 3 分） 令 0?)( xf ， 得 ex? ， 當 ex? 時， 0?)( xf ， 從而 )(xf 單減 （ 5 分） 所以當 xe ??4 時， )()( xff ?4 ， xxlnln ?44 ， 即 xxlnln ?22 （ 7 分） 亦即當 4?x 時， 22 xx ? （ 8 分） 五 、 （ 8 分） 解：設曲線過 ))(,( xfx 點的切線方程為： ))(()( xXxfxfY ???? （ 2 分 ） 當 0?X 時， 得該切線在縱軸上的截距為： )()( xfxxfY ??? 根據(jù)題意有： ???? x dttfxxfxxf 0 )(1)()( （ 4 分 ） 上式兩邊同乘 x ， 求導并整理得： 0)()( ????? xfxxf （ 6 分 ） 令 )()( xpxf ?? ， 上式可化為 0??? pxp ， 求得 xcp 1? （ 7 分 ） [或由 0))((0)()( ???????? xfxdxfxxf ， 故 1)( cxfx ?? （ 7 分 ） ] 即 xcxfy 1)( ???? ， 從而 21 ln cxcy ?? （ 8 分 ） 六 、 (8 分 ) 證明 : 設 )( xxfxF ?）（ （ 2 分 ） 由題目所給條件知 : ][)( axF ，在 0 上連續(xù) ,在 ),a0（ 內可導 , 于是由拉格朗日中值定理有 : )())(()()( 100 0 ???????aFa FaF ????? ?? （ 4 分 ） 又由題目所給條件有 : .)( 0?af 共 6 頁，第 頁 000 ??? )(;)() FaafaF （有 ? ? )()]()([)]([ ???? ?? ffxxfxfxxfF xx ????? ??）（’又 （ 7 分 ） 代入（ 1）式得 ： .)()( 0?? ??? ff 證畢。 （ 8 分 ） 七、（ 8 分）解： 如圖所示： 設所求切線與曲線 xy ln? 相切于點 )ln,( cc ， 則切線方程為： )(ln cxccy ??? 1 （ 2 分） 又切線與直線 6,2 ?? xx 和曲線 xy ln? 所圍成的平面圖形的面積為 ? ???? 62 1 dxxccxcA ]lnln)([ （ 5 分） 226644144 lnlnln)( ?????? cc （ 6 分） 由于 ),( c cccdcdA ?????? 44416 22 令 0?dcdA ， 解得駐點 4?c ． 當 4?c 時 ， 0?dcdA ， 而當 4?c 時 ， 0?dcdA （ 7 分） 故當 4?c 時 ， A 取得極小值 ． 由于駐點唯一 ， 故當 4?c 時 ， A 取得最小值 ． 此時切線方程為： 4141 ln??? xy ． （ 8 分） 1 xo y 231 2 1? 456 7 3 lnyx? 2x? 6x? 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