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付息票債券的遠期價格偏高時的套利機會 市場情況 一年后交割的附息票債券遠期合約的價格為930美元。債券的即期價格為900美元。預(yù)期債券在6個月后12個月后各支付40美元的利息。6個月期和12個月期的無風(fēng)險利率分別為9%和10%。 套利機會 遠期價格偏高，套利者可以： 1. 即期借900美元，買入一份債券。 2. 賣空一份債券的遠期合約。 在即期所借900美元中，其中38.24美元以9%的年利率借入6個月，另外861.76美元以10%的年利率借入一年。首次利息支付40美元正好用來償還6個月期38.24美元貸款的本金和利息。一年之后，收到了第二次利息40美元，根據(jù)遠期合約條款賣出債券收到930美元。861.76美元的貸款到期共需償還本金和利息952.39美元。該策略凈盈利為： 操作 賣空 買入 借入 合計 付息票債券的遠期價格偏低時的套利機會 市場情況 一年后交割的附息票債券遠期合約的價格為905美元。債券的即期價格為900美元。預(yù)期債券在6個月后12個月后分別支付利息40美元。6個月期和12個月期的無風(fēng)險利率分別為9%和10%。 套利機會 遠期價格偏低，套利者可以： 3. 賣出一份債券。 4. 簽署一年后購買一份債券的遠期合約。 賣出債券得到900美元，其中38.24美元作6個月無風(fēng)險投資，另外861.76美元作一年無風(fēng)險投資。此策略在6個月和12個月后分別產(chǎn)生40美元和952.39美元的現(xiàn)金流入。前面40美元用來支付6個月后的債券利息；后面952.39美元中40美元用來支付一年后的債券利息，905美元用來根據(jù)遠期合約條款購回債券，即期出售債券而遠期將該債券購回的策略所產(chǎn)生的凈收益為： 比簡單的持有一年該債券的收益更多。 操作 買入 賣空 存銀行 合計 3.5 一種股票預(yù)計在兩個月后會每股支付1美元紅利，5個月后再支付一次。股票價格為50美元，無風(fēng)險利率為8%（對任何到期日連續(xù)復(fù)利計息）。一位投資者剛剛持有這種股票的6個月遠期合約的空頭寸。（a）遠期價格為多少？遠期合約的初始價值為多少？ （b）3個月后，股票價格為48美元，無風(fēng)險利率不變。遠期價格和遠期合約空頭頭寸的價值為多少？ （a） 股票分配股息的現(xiàn)值為： 遠期價格： 因為投資者剛剛持有該頭寸，所以遠期合約初始價值，且 （b）3個月后， 股票分配股息的現(xiàn)值為： 遠期價格： 遠期合約空頭頭寸價值： 5.31 一家銀行向企業(yè)客戶提供兩種選擇：一種是按11%的利率借入現(xiàn)金，另一種是以2%利率借入黃金（當借入黃金時，必須以黃金形式支付利息，因此，如果今天借入100盎司，在1年后必須償還102盎司黃金）。無風(fēng)險利率為每年9.25%，貯存費為每年0.5%。討論同現(xiàn)金貸款利率相比，借入黃金的利率是太高還是太低？這里兩種貸款的利率均為每年復(fù)利一次，無風(fēng)險利率和貯存費用利率均為連續(xù)復(fù)利。 設(shè)黃金價格為1000美元/盎司，并且這個客戶想借入的資金為1000000美元。該客戶既可以直接借入1000000美元現(xiàn)金，也可以借入1000盎司黃金。如果直接借入現(xiàn)金，則到期需償還10000001.11=1110000美元。如果借入1000盎司黃金，到期需償還1020盎司黃金。 由于，，根據(jù)教材公式，可得遠期價格為： 通過在遠期市場買入1020盎司黃金，該企業(yè)客戶可以鎖定借入黃金的到期償還額為： 很明顯，直接借入現(xiàn)金要優(yōu)于借入黃金（1124460>1110000）。計算結(jié)果表明，借入黃金的利率過高。那么多高的利率是合理的呢？假定R是借入黃金的利率，那么到期該企業(yè)客戶需償還黃金數(shù)為1000（1+R）盎司，根據(jù)上面的遠期價格，則借款成本為： 因此借入黃金的利率比合理利率高出1.31個百分點。 老師課上做法： 所以應(yīng)該選擇直接借入現(xiàn)金。 3.10 瑞士和美國按連續(xù)復(fù)利計息的兩個月期的年利率分別為3%和8%。瑞士法郎的即期價格為0.65美元。兩個月后交割的期貨合約的期貨價格為0.66美元。問存在什么樣的套利機會？ 理論上期貨價格： 所以實際的期貨價格被高估，套利者可以通過借入美元買入瑞士法郎同時賣出瑞士法郎期貨合約進行套利。 3.11、一家公司持有價值為2000萬美元、的股票組合。該公司想利用標普500期貨來對沖風(fēng)險。股指期貨的當前水平是1080，每一份期貨合約是關(guān)于250美元乘股指。什么樣的對沖可以使風(fēng)險最小化？公司怎么做才可以將組合的β值降低到0.6？ 應(yīng)賣空的合約數(shù)量 近似為整數(shù)，應(yīng)賣空的合約數(shù)為89份。如果欲將組合的β值降低到0.6，應(yīng)賣空的合約數(shù)為前者的一半，即應(yīng)賣空44份合約。 3.12假定今天是7月16日，一家公司持有價值1億美元的股票組合，組合的，這家公司希望用CME的12月標普500股指期貨組合在7月16日至11月16日之間變化的由1.2變成0.5.當前股指期貨價格為1000，每一份期貨合約的規(guī)模是250美元與股指的乘積。（a）公司應(yīng)做什么樣的交易？（b）假如公司改變初衷而想將投資組合的由1.2增加到1.5，公司應(yīng)持有什么樣的頭寸？ （a）公司應(yīng)賣出的期貨合約的數(shù)量： （b）公司應(yīng)買入的期貨合約的數(shù)量： 3.13、標準普爾指數(shù)=200，股票組合的價值=204萬美元，無風(fēng)險年利率=10%，指數(shù)紅利收益率=4%，股票組合的β=1.5.假設(shè)利用4個月有效期的標準普爾500指數(shù)期貨合約對沖股票組合在未來3個月的風(fēng)險。一份指數(shù)期貨合約的價值等于指數(shù)乘以500美元。則目前的期貨價格應(yīng)該為： 于是期貨合約價格美元。由 假設(shè)指數(shù)在3個月內(nèi)變?yōu)?80，期貨的價格為： 賣空股票指數(shù)期貨合約可獲利美元 在股票指數(shù)上的損失為10%，指數(shù)每年支付4%的股利，即每3個月為1%。如果將股利考慮在內(nèi)，投資者在3個月內(nèi)獲得的指數(shù)收益為—9%。無風(fēng)險利率大約為每3個月2.5%。由組合的β=1.5。得到股票組合的期望收益率為： 在3個月末，股票組合的價值（包含股利）為： 美元 套期保值者的頭寸期望值（包含在指數(shù)期貨上的盈利）： 美元 當一個變量增加而其他變量保持不變時，對于股票期權(quán)價格的影響 變量 歐式看漲 歐式看跌 美式看漲 美式看跌 當前股票價格 ＋ － ＋ － 執(zhí)行價格 － ＋ － ＋ 時間期限 ？ ？ ＋ ＋ 波動率 ＋ ＋ ＋ ＋ 無風(fēng)險利率 ＋ － ＋ － 股息數(shù)量 － ＋ － ＋ 期權(quán)價格的上限與下限 期權(quán)類型 上下限 無股息股票美式看漲 無股息股票歐式看漲 無股息股票美式看跌 無股息股票歐式看跌 歐式看漲看跌平價關(guān)系 美式期權(quán)看漲看跌關(guān)系 考慮股息歐式看漲期權(quán)下限 考慮股息歐式看跌期權(quán)下限 支付股息平價關(guān)系 考慮股息時的應(yīng)為貼現(xiàn)值 歐式看跌看漲期權(quán)不滿足平價關(guān)系時的套利機會 相對看跌期權(quán)價格而言看漲期權(quán)價格太低 市場情況 某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報價，股票價格為31美元，3個月期無風(fēng)險利率為年利率10%，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價格都是30美元，3個月后到期。 歐式看漲期權(quán)價格：3美元 歐式看跌期權(quán)價格：2.25美元 策略 1、購買看漲期權(quán) 2、出售看跌期權(quán) 3、賣空一股股票 結(jié)果 這個策略給出的初試現(xiàn)金流為：31-3+2.25=30.25美元。將這筆資金按無風(fēng)險利率投資3個月，3個月末本息為：美元。3個月末，有如下兩種可能性： 1、如果股票價格大于30美元，投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照30美元價格購買一份股票，平倉空頭，獲利31.02-30=1.02美元。 2、如果股票價格小于30美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權(quán)。即投資者按照30美元的價格購買一份股票，平倉空頭，獲利31.02-30=1.02美元。 操作 買入看漲 賣出看跌 賣空股票 存入銀行 合計 1、.2、 6、執(zhí)行價格為20美元，3個月后到期的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，售價都為3美元。無風(fēng)險年利率為10%，股票現(xiàn)價為19美元，預(yù)計1個月后發(fā)放紅利1美元。說明投資者存在什么樣的套利機會？ 根據(jù)看漲期權(quán)平價關(guān)系： 這個值高于3美元，說明看跌期權(quán)被低估。套利方法：買入看跌期權(quán)和股票，同時賣出看漲期權(quán)。 8.8、一個無紅利支付股票的美式看漲期權(quán)的價格為4美元。股票價格為31美元，執(zhí)行價格為30美元，3個月后到期。無風(fēng)險利率為8%。請推出相同股票、相同執(zhí)行價格、相同到期日的美式看跌期權(quán)的價格上下限。 美式看跌看漲期權(quán)存在如下關(guān)系： 在本題中： 即： 8.6、執(zhí)行價格為30美元，6個月后到期的歐式看漲期權(quán)的價格為2美元。標的股票價格為29美元，2個月后和5個月后分紅利0.5美元。期限結(jié)構(gòu)為水平，無風(fēng)險利率為10%。執(zhí)行價格為30美元，6個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價格為多少？ 根據(jù)看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系： 移項得： 在本題中： 9.3假設(shè)執(zhí)行價格為30美元和35美元的看跌期權(quán)成本分別為4美元和7美元，怎樣用期權(quán)構(gòu)造牛市價差期權(quán)和熊市價差期權(quán)？作出表格說明這兩個期權(quán)的收益和盈虧狀況 可以通過購買執(zhí)行價格為30美元的看跌期權(quán)和賣出執(zhí)行價格為35美元的看跌期權(quán)構(gòu)建牛市差價，該策略初始現(xiàn)金流為3美元，收益和盈虧如下表所示： 股票價格 收益 盈虧 可以通過賣出執(zhí)行價格為30美元的看跌期權(quán)和買入執(zhí)行價格為35美元的看跌期權(quán)構(gòu)建熊市差價，該策略初始成本為3元，收益和盈虧如下表： 股票價格 收益 盈虧 9.4、三個同一股票上具有同樣期限的看跌期權(quán)執(zhí)行價格分別為55美元、60美元和65美元，這3種期權(quán)的市場價格分別為3美元、5美元和8美元。解釋如何構(gòu)造蝶式差價。用表來說明這一策略的盈利形式。股票在什么價位時，這一交易策略會導(dǎo)致虧損。 蝶式差價的構(gòu)造方法為：購買一份執(zhí)行價格為55美元的看跌期權(quán)，購買一份執(zhí)行價格為65美元的看跌期權(quán)，同時賣出兩份執(zhí)行價格為60美元的看跌期權(quán)。初始成本為3+8-25=1美元。該交易策略的損益情況如表所示： 股票價格 收益 盈虧 當最后的股票價格大于64或者小于56美元時，蝶式差價交易策略會導(dǎo)致?lián)p失 10.1、某個股票現(xiàn)價為50美元，已知兩個月后，股票的價格為53美元或者48美元。無風(fēng)險年利率為10%（連續(xù)復(fù)利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為49美元的2個月后到期的歐式看漲期權(quán)的價值為多少？ 方法一（無套利原理）：2個月結(jié)束的時候，期權(quán)的價值為4美元（如果股價為53美元）或者0美元（如果股價為48美元）?？紤]一份資產(chǎn)組合的構(gòu)成： 單位股票和一份看中期權(quán)的空頭。兩個月后組合的價值或者為或者為。如果： 即資產(chǎn)組合的價值為。因此對組合來說，其收益是無風(fēng)險的。組合的現(xiàn)值為：，其中為期權(quán)的價值。 因為組合必須以無風(fēng)險的利率盈利所以： 方法二（風(fēng)險中性）：直接利用公式： 其中： 有題意 所以 10.9、某個股票的現(xiàn)價為25美元。已知兩個月后，股價變?yōu)?3美元或者27美元。無風(fēng)險年利率10%（連續(xù)復(fù)利）。設(shè)為2個月后股票價格。在這時收益為的期權(quán)的價值為多少？ 方法一（無套利原理）：2個月結(jié)束的時候，金融工具的價值為529美元（如果股價為23美元2323）或者729美元（如果股價為27美元2727）。考慮一份資產(chǎn)組合的構(gòu)成： 單位股票和一份看漲期權(quán)的空頭。兩個月后組合的價值或者為或者為。如果： 即資產(chǎn)組合的價值為。因此對組合來說，其收益是無風(fēng)險的。組合的現(xiàn)值為：，其中為期權(quán)的價值。 因為組合必須以無風(fēng)險的利率盈利所以： 方法二（風(fēng)險中性）：直接利用公式： 其中： 有題意 所以美元 10.5、某個股票現(xiàn)價為50美元。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為3個月，每個單步二叉樹的股價或者上漲6%或者下跌5%。無風(fēng)險利率年利率為5%（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價格為51美元，有效期為6個月的歐式看漲期權(quán)的價值為多少？ 風(fēng)險中性概率公式可得： 二叉樹圖如上所示 對于最高的末端節(jié)點（兩個向上的復(fù)合），期權(quán)收益為56.18-51=5.18美元，而在其他情況中的收益為零。因此，期權(quán)的價值為： 10.6、考慮10.5中的情況，執(zhí)行價格為51美元，有效期為6個月的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系。如果看跌期權(quán)是美式期權(quán)，在樹圖上的任何節(jié)點，提前執(zhí)行期權(quán)是否會更優(yōu)惠？ 二叉樹圖： （1）處于中間的末端節(jié)點，將會得到收益為51-50.35=0.65美元，處于最下面的末端節(jié)點，將會得到的收益為51-45.125=5.875美元。因此期權(quán)的價值為： （2）看跌-看漲期權(quán)平價關(guān)系： 看跌期權(quán)加上股票價格的值為： 看漲期權(quán)加上執(zhí)行價格的現(xiàn)值為： 二者相等，從而驗證了看跌-看漲期權(quán)平價關(guān)系。 （3）為了檢驗是否值得提前執(zhí)行該期權(quán)，應(yīng)該比較從立即執(zhí)行中得到的每個節(jié)點的收入計算出來的期權(quán)的值。在節(jié)點C，立即執(zhí)行的收益為51-47.5=3.5美元。因為這個值大于2.8664美元，期權(quán)應(yīng)該在這個節(jié)點執(zhí)行，而不在節(jié)點A或者節(jié)點B執(zhí)行。也就是說，在價格樹的任意節(jié)點上，提前執(zhí)行并不一定是最優(yōu)的。 11.1、目前股票價格為50美元，假設(shè)該股票的期望收益率為18%，波動率為30%。兩年內(nèi)此種股票價格的概率分布是什么？計算該分布的均值和標準差（95%的置信區(qū)間）。 在本題中，,未來兩年股票價格符合對數(shù)正態(tài)分布： 即： 股票價格的均值： 股票價格的標準差： 在給定95%的置信度下，的置信區(qū)間為： 即： 股票價格在95%的置信度下的置信區(qū)間是： 即： 11.2、股票當前的價格為50美元，假定其收益率期望為15%，波動率為25%。在兩年內(nèi)的股票收益率（連續(xù)復(fù)利）的概率分布是什么？ 在本題中，，根據(jù)公式可得2年期連續(xù)復(fù)利的回報率的概率分布是：即，預(yù)期的價值回報率為每年11.875%，標準差為每年17.7% 11.3、某股票價格服從幾何布朗運動，其中收益率期望為16%，波動率為35%，股票的當前價格為38美元。（1）一個該股票上具有執(zhí)行價格為40美元，期限為6個月的歐式看漲期權(quán)被行使的概率為多少？（b）一個該股票上具有同樣執(zhí)行價格及期限的歐式看跌期權(quán)被行使的概率為多少？ （a）要求的概率是6個月后股票價格超過40美元的概率。假設(shè)6個月后股票的價格是，則有： 即： 因為ln40=3.689，則要求的概率為： （b）對于看跌期權(quán)，要求的概率是6個月后股票價格低于40美元的概率，同樣的方法可得其值為1-0.4968=0.5032. 11.11 考慮一個無股息股票的期權(quán)，股票價格為30美元，執(zhí)行價格為29美元，無風(fēng)險利率為每年5%，波動率為每年25%，期權(quán)期限為4個月。 （a）如果期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，其價格為多少？ （b）如果期權(quán)是美式看漲期權(quán)，其價格為多少？ （c）如果期權(quán)是歐式看跌期權(quán)，其價格為多少？ （d）驗證看跌—看漲期權(quán)平價關(guān)系式。 在本題中，，且有： （a） 歐式看漲期權(quán)的價格是： （b） 美式看漲期權(quán)的價格與歐式看漲的價格一致，也是2.52美元 （c） 歐式看跌期權(quán)的價格是： （d） 看跌-看漲期權(quán)平價關(guān)系為： 證明 證明：是服從標準正態(tài)分布的變量小于的累計概率，因此，是標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，即： 因此， 又（由可以推導(dǎo)） 所以： 帶入原式得證。 例：考慮某個處于delta中性狀態(tài)的有價證券組合，gamma值為-5000，Vega值為-8000。假設(shè)某個可交易期權(quán)的gamma值為0.5，Vega值為2，delta值為0.6。如果購買4000個可交易期權(quán)的多頭頭寸，則可使該組合達到Vega中性狀態(tài)，但同時將使delta增加到2400，這要求出售2400個標的資產(chǎn)以維持delta中性狀態(tài)，該證券組合的gamma值也將從-5000變?yōu)?3000。為使的組合處于gamma中性和Vega中性狀態(tài)，我們假設(shè)存在第二種可交易期權(quán)，gamma值為0.8，Vega值為1.2，delta值為0.5。如果分別為證券組合中兩種可交易期權(quán)的數(shù)量，我們要求： 以上方程的解為。因此分別加入400份第一種可交易期權(quán)和6000份第二種可交易期權(quán)將使的該組合處于gamma和Vega中性狀態(tài)。加入以上兩種可交易期權(quán)頭寸后，有價證券組合的delta值為。所以仍需賣出3240份標的資產(chǎn)以保持delta中性狀態(tài)。 方法二： delta gamma vega 組合（1） 0 -5000 -8000 期權(quán)1（） 0.6 0.5 2 期權(quán)2（） 0.5 0.8 1.2 中性（） 1 0 0