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第二章 2-1 試證明圖P2-1中周期性信號可以展開為 （圖略） 0 4 ( 1) ( ) cos(2 1) 2 1 n n s t n t n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 證明：因為 ( ) ( )s t s t? ? 所以 0 0 0 0 2 2 ( ) cos cos cos 2 k k k k k k kt kt s t c c c kt T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 ( ) 0 0s t dt c ? ? ? ? ? 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 4 ( )cos ( )cos cos sin 2 k k c s t k tdt k tdt k tdt k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 2 4 ( 1) 2 1 (2 1) n k n k n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 0 4 ( 1) ( ) cos(2 1) 2 1 n n s t n t n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2-2設(shè)一個信號 ( )s t 可以表示成 ( ) 2cos(2 )s t t t? ?? ? ??? ?? 試問它是功率信號還是能量信號，并求出其功率譜密度或能量譜密度。 解：功率信號。 2 2 2 ( ) cos(2 ) sin ( 1) sin ( 1) [ ] 2 ( 1) ( 1) j ft j j s f t e dt f f e e f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 ( ) limP f s ? ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( 1) sin ( 1) sin ( 1) sin ( 1) lim 2 cos2 4 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) f f f f f f f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由公式 2 2 sin lim ( ) t xt x tx ? ? ?? ? 和 sin lim ( ) t xt x x ? ? ?? ? 有 ( ) [ ( 1)] [ ( 1)] 4 4 1 [ ( 1) ( 1)] 4 P f f f f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或者 0 0 1 ( ) [ ( ) ( )] 4 P f f f f f? ?? ? ? ? 2-3 設(shè)有一信號如下： 2exp( ) 0 ( ) 0 0 t t x t t ? ? ? ? ? ? ? 試問它是功率信號還是能量信號，并求出其功率譜密度或能量譜密度。 解： 2 2 0 ( ) 4 2 t x t dx e dt ? ? ? ?? ? ? ? ? 是能量信號。 2 (1 2 ) 0 ( ) ( ) 2 2 1 2 j ft j f t S f x t e dt e dt j f ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4 ( ) 1 2 1 4 G f j f f? ? ? ? ? ? 2-4 試問下列函數(shù)中哪一些滿足功率譜密度的性質(zhì)： （1） 2 ( ) cos 2f f? ?? （2） ( )a f a?? ? （3）exp( )a f? 解： 功率譜密度 ( )P f 滿足條件： ( )P f df ? ?? ? 為有限值 （3）滿足功率譜密度條件，（1）和（2）不滿足。 2-5 試求出 ( ) coss t A t?? 的自相關(guān)函數(shù)，并從其自相關(guān)函數(shù)求出其功率。 解：該信號是功率信號，自相關(guān)函數(shù)為 2 2 2 2 1 ( ) lim cos cos ( ) cos 2 T TT R A t t T A ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? 2 1 (0) 2 P R A? ? 2-6 設(shè)信號 ( )s t 的傅里葉變換為 ( ) sinS f f f? ?? ，試求此信號的自相關(guān)函數(shù) ( ) s R ? 。 解： 2 2 2 2 2 ( ) ( ) sin 1 , 1 1 j f s j f R P f e df f e df f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2-7 已知一信號 ( )s t 的自相關(guān)函數(shù)為 ( ) 2 k s k R e ? ? ? ? ， k為常數(shù) （1）試求其功率譜密度 ( ) s P f 和功率P； （2）試畫出 ( ) s R ? 和 ( ) s P f 的曲線。 解：（1） 2 0 ( 2 ) ( 2 ) 0 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 4 j f s s k j f k j f P f R e d k k e d e d k k f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4 2 k P df k f k ? ? ?? ? ? ? ? （2）略 2-8 已知一信號 ( )s t 的自相關(guān)函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)： ( ) 1R ? ?? ? ， 1 1?? ? ? 試求功率譜密度 ( ) s P f ，并畫出其曲線。 解： ( )R ? 的傅立葉變換為， （畫圖略） 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) 1 sin (1 ) 2 sin T j f T j f R e d T f e d f c f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 2 ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) 2 P f c f f nf n c f f T n c f f ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2-9 已知一信號 ( )s t 的雙邊功率譜密度為 4 2 10 , 10 10 ( ) 0 f kHz f kHz P f ? ? ? ? ? ? ? ? 其他 試求其平均功率。 解： 4 4 10 4 2 10 8 ( ) 10 2 10 3 P P f df f df ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?