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______________________________________________________________________________________________________________ 與三角形有關的角教案 李天明 從容說課 三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應用．又因為三角形是多邊形的一種，而且是最簡單的多邊形．在幾何里，常常把多邊形分割成若干個三角形，利用三角形的性質去研究多邊形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質去研究他們．因此對三角形性質的研究就顯得十分重要． 在小學已學習過三角形的內角的有關知識，知道三角形的內角和為180°，但是為什么是180°而不去研究．在這里要求學生掌握“三角形內角和定理”的證明及其簡單應用，掌握三角形內角和定理的兩個推論及其證明．在證明過程中通過一題多解、一題多變，初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發(fā)展；由內角中的等量關系和外角中的不等關系，讓學生體會相等與不等關系的簡單證明．引導學生從內和外，相等和不等的不同角度對三角形作更全面的思考． 在教學中，首先讓學生動手操作，把三角形的三個內角拼合在一起，探索它們的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并歸納總結出結論．再尋求多渠道、不同途徑的解決問題的方法，使學生經(jīng)歷實驗──思考──交流──總結──運用的過程．讓他們不僅掌握知識點，還要知道為什么、做什么用，使學到的數(shù)學知識與實際生活聯(lián)系起來．避免了數(shù)學的枯燥無味和脫離實際的現(xiàn)象，使數(shù)學真正運用到實際中去． 教學課時 三維目標 一、知識與技能 1．掌握“三角形內角和定理”的證明及其簡單運用． 2．掌握三角形的外角的定義，三角形內角和定理的兩個推論及其證明； 3．體會幾何中不等關系的簡單證明． 二、過程與方法 1．通過探索“三角形內角和定理”及其推論，培養(yǎng)學生的探索能力和實踐操作能力； 2．在學習了三角形的內角和外角后，能運用所學知識解決簡單的問題，訓練學生對所學知識的運用能力． 三、情感態(tài)度與價值觀 1．通過讓學生積極參與數(shù)學學習活動，培養(yǎng)學生對數(shù)學的好奇心與求知欲； 2．由具體實例的引導，讓學生初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，體驗數(shù)學活動充滿著探索與研究． 教學重點三角形內角和定理及推論． 教學難點三角形內角和定理及推論的證明和運用． 教具準備投影片三張： 第一張（記作7．2A）；第二張（7．2B）；第三張（7．2C）． 教學過程 一、創(chuàng)設問題情境，導入新課 在小學我們已經(jīng)知道三角形的內角和為180°，但究竟為什么是180°，我們沒有去研究，本節(jié)課我們來回答這個問題． 二、動手試一試，你會有收獲 活動1 問題： 在紙上畫一個三角形，并將它的內角剪下，試著拼拼看，三個內角的和是否為180°？ 設計意圖： 旨在讓學生親身實驗一下，對所研究的問題產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心和求知欲．通過親身經(jīng)歷，體會從具體情景中發(fā)現(xiàn)教學問題． 師生活動： 讓學生人人畫一個三角形，并把三個角裁下來，拼在一起，讓他們自己得出結論． 生：三個角拼在一起，會得到一個180°的角． 師：為什么是180°呢？ 生：因為三個角合起來形成一個平角，而平角等于180°，所以三個角的和為180°． 師：大家得出的結論相同嗎？你們畫的三角形都一樣嗎？如果不一樣，你能得出什么結論呢？ 生：我們互相交流一下，結論都是一樣的，但所畫的三角形并不完全一樣，所以說明三角形三個內角的和與形狀沒有關系，只要是三角形，其內角和就一定為180°． 師：大家回答得非常棒．但這只是實驗，由觀察與實驗得到的結論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學證明來驗證，那么怎樣證明呢？請同學們看投影片． （出示投影片7．2A） 在圖7．2-1（1）中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右兩側，三個角合起來形成一個平角，出現(xiàn)一條過點A的直線L，移動后的∠B和∠C各有一條邊在L上．想一想，L與△ABC的邊BC有什么關系？由這個圖你能想出說明三角形內角和等于180°這個結論正確的方法嗎？ 請大家思考后再互相交流． 生：因為移動后的∠C與未移動時的∠C相等，而他們又是內錯角，由平行線的裁定可知，直線L與邊BC平行，所以可以過△ABC的頂點A作直線L平行于△ABC的邊BC，由平行線的性質與平角的定義可知∠A+∠B+∠C=180°． 師：大家能寫出證明過程嗎？ 這是一個文字命題，證明時應先干什么呢？ 生：需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結論，結合圖形寫出已知、求證． 師：下面請一位同學完整地寫出過程． 生：如圖7．2-2，已知△ABC,求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：過A作直線DE∥BC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C． ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°． 師：再觀察圖7．2-2（2）．輔助線的作法與圖7．2-1（1）一樣嗎？證明方法相同嗎？ 生：輔助線的作法不同．移動前的∠A和移動后的∠A相等，且是內錯角的位置關系，可知直線L與邊AB平行，同時移動前和移動后的∠B是同位角也應相等，所以三個角拼在一起構成了平角，故∠A+∠B+∠C=180°． 師：能寫出證明過程嗎？ 生：已知、求證和上面相同． 證明：如圖7．2-3延長BC到D，過C作CE∥AB． ∴∠A=∠ACE；∠B=∠ECD． ∵∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°， ∴∠A+∠ACB+∠B=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°． 師：利用兩直線平行，同旁內角互補怎樣？課下討論．從上面的兩種證明方法中，大家能否找到它們的異同點？它們的思路是否一致呢？ 生：相同點是：都是把三角形的三個內角拼到一起，根據(jù)平角的定義，證明三角形的內角和是180°；不同的是：輔助線的作法不同，前者是過A點作邊BC的平行線，后者是過C點作邊AB的平行線．但不管是過三角形的哪一個頂點，作另一邊的平行線，它們的思路基本一致，就是通過平行線，利用平行線的性質，通過同位角或內錯角相等，把三個角都拼到一起，構成一個平角，從而得證． 師：很好．大家的證明過程寫的非常好，分析的非常棒，找到了解決問題的思路．根據(jù)思路，大家還能找到其他的證明方法嗎？ 生：還可以這樣作輔助線，如圖7．2-4作CA的延長線AD，過點A作∠DAE=∠C，則AE∥BC，所以∠EAB=∠B．因為∠DAE+∠EAB+∠BAC=180°，故C+∠B+∠BAC=180°，即∠A+∠B+∠C=180°． 師：大家做的非常好，前三種方法都是把三個角轉移到三角形的一個頂點處．只要把它們拼到一起成為平角即可，那么是否可以轉移到其他地方呢？請大家討論． 生：如圖7．2-5，在BC上任取一點D，過點D作DE∥AB交AC于E，再過點D作DF∥AC交AB于F． ∵DE∥AB， ∴∠1=∠B，∠2=∠4． ∵DF∥AC， ∴∠3=∠C，∠4=∠A． ∴∠2=∠A． ∵∠1+∠2+∠3=180°． ∴∠A+∠B+∠C=180°． 師：大家討論的非常棒．可見大家已掌握了三角形內角和定理的證明，并能根據(jù)思路拓展，由于時間關系，我們不再繼續(xù)了，在課后大家可以繼續(xù)討論有關問題，比如點在△ABC的內部？外部呢？ 活動2 出示投影片7．2B． 例：如圖7．2-6，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？ 師生活動： 師：請大家先觀察思考，題中出現(xiàn)的這些方位角，在圖上分別指出． 生：C島在A島的北偏東50°方向，指∠DAC=50°；B島在A島的北偏東80°方向，指∠DAB=80°；C島在A島的北偏西40°方向，指∠CBE=40°；要求的是∠AOB的度數(shù)． 師：下面再討論一下根據(jù)已知角，如果求出∠ACB的度數(shù)． 生：要求∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形內角和定理，需求出∠CAB和∠CBA的度數(shù)．而∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°，∠CBA=90°-∠CBE=90°-40°=50°．所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-50°=100°． 生：他做的不對，∠CBA不等于50°．因為∠EBA不是90°而是因為AD∥BE，∠DAB+∠ABE=180°． ∴∠ABE=180°-∠DAB=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=60°． ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°． 師：哪一位同學能把過程完整地寫一下呢？ 生：解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°． ∵AD∥BE， ∴∠BAD+∠ABE=180°． ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°． 在△ABC中． ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°． 答：從C島看A、B兩島的視角∠ACB=90°． 師：大家看，過C點作AD的平行線CF，則AD∥CF∥BE，……往后課下完成． 嘗試反饋鞏固練習 （出示投影片7．2C） 1．△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=30°． 求∠B，∠C． 2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2． 求∠A，∠B，∠C． 3．在△ABC中，∠A+∠B=90°，∠C=2∠A． 求∠A，∠B，∠C． 4．如圖7．2-7，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AB邊上的高． 求∠DBC的度數(shù)． 設計意圖： 利用三角形內角和定理求某些角的度數(shù)． 師生活動： 生：1．解：∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=140°． ∵∠B-∠C=30°， ∴∠B=∠C+30°， ∴∠C+30°+∠C=140°． ∴∠C=55°，∠B=85°． 2．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：2， ∴設∠A=x°，∠B=∠C=2x°． ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴5x°=180°， ∴x=36°． ∴∠A=36°，∠B=∠C=72°． 3．解：∵∠A+∠B=80°， ∴∠C=180°-80°=100°． ∵∠C=2∠A，∴∠A=∠C=50°， ∴∠B=180°-∠A-∠B=30°． 4．解：∵∠C=∠ABC=2∠A． ∴∠A=36°，∠C=72°． ∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°． ∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°． 活動3 問題： 探究三角形外角的定義，外角與不相鄰內角間的關系． 設計意圖： 旨在掌握三角形外角的定義的基礎上，利用三角形內角和定理，推導出外角與不相鄰內角間的關系． 師生活動： 師：前面我們學習了三角形的內角，也稱為三角形的角，還掌握了內角和定理，下面我們來探究一下三角形的外角． 生：顧名思義，三角形的內角是三角形內部的角，那么三角形的外角就是三角形外部的角．如圖7．2-8，∠BAC、∠B、∠C是三角形的內角，∠BAE、∠CAD、∠EAD是三角形外部的角，稱為三角形的外角． 師：這位同學的分析似乎有道理，大家認為怎么樣？小組討論后交流． 生：不正確，不能這樣想當然．外角不是外部的角，而是三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，如∠DAC、∠EAB、∠DAE雖然在三角形的外部，但它的兩邊都是三角形的延長線，不符合外角的定義，所以它不是外角． 師：這位同學說出了外角應具備的條件：①角的頂點是三角形的頂點；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線，那么在上面的圖7．2-8中，滿足條件的角（外角）是否只有∠DAC和∠EAB呢？請大家思考后作答． 生：不是．在三角形每個頂點處都有兩個外角，所以一個三角形有6個外角，而且同一頂點處的兩個外角是對頂角，應該相等． 師：大家的分析很詳細．那么這些外角與內角之間有沒有關系，如果有，存在什么關系呢？將是下面我們要解決的問題． 如圖7．2-9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一個外角．能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關系？你能進一步說明任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角有什么關系嗎？ 生：∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∠ACB+∠ACD=180°． ∴∠ACD=∠A+∠B=130°． 所以三角形的一個外角等于兩個內角的和． 師：根據(jù)剛才這位同學的邏輯，那么∠ACD=∠A+∠ACB，∠ACD=∠B+∠ACB成立嗎？ 生：不成立． 再如圖7．2-10，∠A=30°，∠B=40°．則∠ACB=110°．因為∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ACD=70°．那么∠ACD=∠A+∠ACB成立嗎？ 生：不成立． 師：為什么呢？那剛才的結論成立嗎？ 生：不成立．在上圖中有結論∠ACD=∠A+∠B，本題中有∠ACD=∠A+∠B．而∠A，∠B與∠ACD不相鄰，所以上面的結論應改為：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和． 師：那么外角與其中一個不相鄰的內角之間的關系呢？ 生：因為兩個角的和等于外角，所以外角應大于其中任何一個內角． 師：由此可知三角形內角和定理的推論． 1．三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和． 2．三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角． 嘗試反饋鞏固練習 1．已知：如圖7．2-11，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三個外角． 求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°． 設計意圖： 鞏固三角形內角和及其推論． 師生活動： 生：證明：∵∠BAF=∠2+∠3， ∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3=180°． ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°． 2．已知：如圖7．2-12，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連結DE．求證：∠1>∠2． 設計意圖： 體會幾何中不等關系的簡單證明． 師生活動： 證明：∵∠1是△ABC的外角， ∴∠1>∠3． ∵∠3是△DCE的外角， ∴∠3>∠2， ∴∠1>∠2． 三、課時小結 本節(jié)課共同探索了三角形內角和定理及推論的證明，基本思想是：把三個內角拼在一起，拼成一個平角；熟練掌握三角形內角和及外角和定理；理解三角形外角的性質，并能解簡單問題． 板書設計 7．2與三角形有關的角 活動一（探究三角形內角和） 活動二（例題講解） 活動三（探究三角形的外角與不相鄰的內角間的關系） 活動與探究 在前面討論三角形內角和定理的證明時，證明的思路是把三角形的三個角拼到一起，構成一個平角，根據(jù)平角的定義得證．可以把三個角“湊”到一個頂點處，也可以把三角形“湊”到一邊上，那么能否把三個角“湊”到三角形的內部和外部呢？ 如下圖： 過P點分別作三邊的平行線ST、MN、QR． 在左上圖中，∠A=∠QST=∠SPN，∠B=∠SQP=∠NPR， ∠C=∠NRP=∠SPQ， ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°． 在右上圖中，∠A+∠ATS=∠SPN，∠B=∠1=∠NPR，∠C=∠2=∠SPQ． ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°． 以上幾種證法，都是在把三角形的三個內角剪下拼在一起，構成一個平角的實驗基礎上產(chǎn)生的．特別是添加了輔助線，構造出了新圖形，形成了新的關系，把未知數(shù)化成已知．下面這一種證法十分有趣，不直接從內角的角度考慮問題，而是從外角入手，應用了運動的觀點來解決問題． 一個人沿著一個三角形廣場繞圈跑步，設他站在AB邊上任意一點P處，面向B點前進，到達B點向左移動一個角度∠1，面向C點前面，到達C點后向左再轉動一個角度∠2，再面向A點前進，到達A點后再向左轉動一個角度∠3，最后又回到P點，仍面向B點站立，則他在這個過程中共轉了一周，即∠1+∠2+∠3=360°． 證明：∵∠1=180°-∠ABC， ∠2=180°-∠ACB，∠3=180°-∠BAC， ∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=360°． ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°．  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學習課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-