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第十章數(shù)學(xué)命題及其教學(xué),數(shù)學(xué)命題的邏輯基礎(chǔ)數(shù)學(xué)命題的教學(xué),數(shù)學(xué)命題的邏輯基礎(chǔ),判斷的意義和種類1.數(shù)學(xué)判斷對思維對象有所肯定或否定的思維形式叫做“判斷”。數(shù)學(xué)判斷是關(guān)于數(shù)學(xué)對象及其屬性的判斷。判斷與真假：判斷有真假之分，是否符合客觀實際情況、是否與事實相一致是一個判斷真實與虛假的標(biāo)準(zhǔn)。2.判斷的構(gòu)成如果用S表示判斷的對象，P表示性質(zhì)，則S叫做判斷的“主項”，P也叫做“謂項”?！八械摹被颉坝械摹北硎局黜椀臄?shù)量，叫做“量詞”，在全稱判斷中量詞常常省略不寫；“是”或“不是”稱為聯(lián)結(jié)詞，表示肯定或否定。,數(shù)學(xué)命題的意義在數(shù)學(xué)中，用來表示數(shù)學(xué)判斷的語句或符號的組合叫做“數(shù)學(xué)命題”。對于無法判斷其真假的語句，稱為開（語）句。注：形式邏輯專門研究判斷的形式，而不管判斷的內(nèi)容，只從真值的角度研究命題的形式及各種命題之間的關(guān)系。但在數(shù)學(xué)中，既研究命題的內(nèi)容，又研究命題的形式，把內(nèi)容和形式統(tǒng)一起來研究數(shù)學(xué)命題。如在形式邏輯中，命題“如果1>3,那么1+2>3+2.”√但在數(shù)學(xué)中,4.數(shù)學(xué)命題,數(shù)學(xué)命題有真假之分。不是所有的語句或數(shù)學(xué)式子都是數(shù)學(xué)命題。在命題邏輯中，通常用“p,q,r,s,t”等表示命題，這種命題符號稱為命題變元（變量、變項），命題變元的取值只能是“真”和“假”，分別用“1”和“0”表示。,請大家判斷以下語句是否是數(shù)學(xué)命題：（1）數(shù)學(xué)是一門科學(xué)；（2）；（3）67;（6）你在干什么？（7）禁止吸煙?。?）2比3大嗎？（9）哎呀！那還得了！,數(shù)學(xué)命題一般可分為簡單命題和復(fù)合命題兩大類。簡單命題就是不包含其他命題的命題，又可分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題兩種。象“一切矩形都是平行四邊形”、“自然數(shù)不是無理數(shù)”、“有些奇數(shù)是素數(shù)”等都是性質(zhì)命題；象“一切正數(shù)都大于零”、“直線a平行于直線b”等都是關(guān)系命題。,簡單命題（1）性質(zhì)命題性質(zhì)命題：判斷某事物具有（不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題的結(jié)構(gòu)：主項、謂項、量項和聯(lián)項。有些一元二次方程沒有實數(shù)根（量項）（主項）（聯(lián)項）（謂項）量項有“全稱”和“特稱”之分，聯(lián)項有“肯定”和“否定”之分，將之組合，可以得到四種形式的性質(zhì)命題：全稱肯定、全稱否定、特稱肯定、特稱否定。此外還有單稱肯定和單稱否定。,（2）關(guān)系命題關(guān)系命題：判斷事物與事物之間關(guān)系的命題關(guān)系命題的結(jié)構(gòu)：主項、謂項和量項直線a平行于直線b（主項）（謂項）（主項）（前項）（后項）數(shù)學(xué)中常見的是二元關(guān)系：aRb,復(fù)合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞復(fù)合命題是由兩個或兩個以上簡單命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞結(jié)合起來而構(gòu)成的命題。常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有以下五種：否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、等價形成的命題分別稱為：負(fù)命題、聯(lián)言命題、選言命題、假言命題和充要條件假言命題,1.否定（非），其真值表如下：,,否定（非）：在一個語句之前加上“并非”，就構(gòu)成一個新的語句，叫原來語句的否定。,2.合?。ㄅc，且）,合?。ㄅc、并且）：兩個語句p和q用“與”聯(lián)接起來構(gòu)成新的語句“p與q”稱為合取式，亦稱為聯(lián)言命題，“pq”,3.析?。ɑ颍?析?。ɑ颍簝蓚€語句p、q用或聯(lián)接起來所構(gòu)成的新的語句“q或p”稱為析取式，亦稱為選言命題,4.蘊(yùn)涵（如果，則）,,P:a和b都是偶數(shù)，Q:a+b也是偶數(shù)。,當(dāng)前件為假時，無論后件為真還是假，都不與原來的命題矛盾。,蘊(yùn)涵（如果。。，那么。。）：把命題p、q用“如果。。。，那么。。。聯(lián)接起來，得到新的命題”如果p，那么q”，p→q，這個式叫蘊(yùn)涵式，“p蘊(yùn)涵q”，p、q分別叫前后件（即前提和結(jié)論）。,5.等價（當(dāng)且僅當(dāng)）,等價（當(dāng)且僅當(dāng)）：將兩個命題p、q用“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)接起來，構(gòu)成復(fù)合命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，p?q,例如：（1）2+3=5（真）（2）47=30（假），等價式：（2+3=5）?（47=30）（假）例如：（1）三角形兩邊之和小于第三邊（假）（2）李白是清朝文人（假）。等價是：“三角形兩邊之和小于第三邊”當(dāng)且僅當(dāng)“李白是清朝文人”（真）,幾點說明：一個命題中如果沒有邏輯聯(lián)接詞出現(xiàn)，那么該命題一定是簡單命題以上五種式子是復(fù)合命題中最簡單的形式，由這些基本形式經(jīng)過各種組合，可以得到更加復(fù)雜的復(fù)合命題。簡單命題的真假由數(shù)學(xué)內(nèi)容來決定，而經(jīng)過復(fù)合后的命題其真假值則由真值表來決定。,復(fù)合命題的值,求復(fù)合命題的值，可先窮盡地列出p、q取值可能，然后再根據(jù)聯(lián)結(jié)詞的強(qiáng)弱順序，逐步得出各層復(fù)合命題的值，直到最后求出整個復(fù)合命題的值。聯(lián)結(jié)詞的強(qiáng)弱順序：,恒真命題：一個命題在任何情況下都為真恒假命題：一個命題在任何情況下都為假,1111,1000,0111,0101,1010,1100,,,,,,,,,,,,,,,,,恒真命題,,10111011,11110101,11111001,10110001,11111111,邏輯等價,如果兩個復(fù)合命題A、B的真值表相同，我們就稱A、B邏輯等價。記為“”,可以驗證下列邏輯等價式：,冪等律,數(shù)學(xué)命題的四種形式及其關(guān)系☆為了更好地研究數(shù)學(xué)命題：若p則q，有必要研究命題的四種形式及其關(guān)系命題的四種形式：（1）原命題：p→q；（2）逆命題：q→p；（3）否命題：┐p→┐q；（4）；逆否命題：┐q→┐p。四種命題的關(guān)系：原命題和逆命題是互逆的，否命題和逆否命題是互逆的，原命題和否命題是互否的，逆命題和逆否命題是互否的，原命題和逆否命題是互為逆否的，逆命題和否命題是互為逆否的。,假言命題的四種形式及其之間的關(guān)系,例子：1.原命題：如果兩個三角形全等，則這兩個三角形等積。,逆命題：如果兩個三角形等積，則這兩個三角形全等。,否命題：如果兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等積。,逆否命題：如果兩個三角形不等積，則這兩個三角形不全等。,真,假,假,真,2.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分。,逆命題：如果一個四邊形的對角線互相平分，則它是平行四邊形。,否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角線不互相平分。,逆否命題：如果一個四邊形的對角線不互相平分，則它不是平行四邊形。,真,真,真,真,3.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相垂直。,逆否命題：如果一個四邊形的對角線不互相垂直，則它不是平行四邊形。,逆命題：如果一個四邊形的對角線互相垂直，則它是平行四邊形。,否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角線不互相垂直。,假,假,假,假,它們之間的關(guān)系可以用真值表來證明：,從真值表中可以得出：原命題和逆否命題等價；逆命題和否命題等價。所有四種命題中實質(zhì)不同的只有兩種，其它兩種只是形式不同而已。在數(shù)學(xué)論證中經(jīng)常用到具有逆否關(guān)系命題的等價性，在證明一個命題時，可以將之轉(zhuǎn)換成它的逆否命題的形式加以證明。,同一原理互逆的兩個命題未必等價。但是,當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論都唯一存在,它們所指的概念的外延完全相同,是同一概念時,這個命題和它的逆命題等價。這一性質(zhì)通常稱為同一原理或同一法則。例如,“等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高線”是一個真命題,這個命題的條件“底邊上的中線”有一條且只有一條,結(jié)論“底邊上的高線”也是有一條且只有一條。這就是說,命題的條件和結(jié)論都唯一存在。由于這個命題為真,所以命題的條件和結(jié)論所指概念的外延完全相同,是同一概念。因此,這個命題的逆命題“等腰三角形底邊上的高線是底邊上的中線”也必然為真。同一原理是間接證法之一的同一法的邏輯根據(jù)。對于符合同一原理的兩個互逆命題,在判定其真假時,只要判定其中的一個就可以了。在實際判定時,自然要選擇易判定的那個命題。,偏逆命題及其否命題,把原命題中數(shù)目相同的部分前提和結(jié)論互換后得到的命題稱為原命題的偏逆命題。例如原命題：如果a和b都是偶數(shù)，則a+b也是偶數(shù)。,真,真,(a是偶數(shù))∧(b是偶數(shù))→(a+b是偶數(shù)),偏逆1：(a是偶數(shù))∧(a+b是偶數(shù))→(b是偶數(shù)),偏逆2：(a+b是偶數(shù))∧(b是偶數(shù))→(a是偶數(shù)),※例如原命題：在圓內(nèi)，弦的垂直平分線必過圓心并且平分這條弦所對的弧。※逆命題：在圓內(nèi)，過圓心并且平分弦所對的弧的直線必垂直平分這弦?！婷}1：在圓內(nèi)，過圓心且平分弦的直線必垂直這弦所對的弧，☆一個原命題的偏逆命題一般有數(shù)個?！钇婷}和其它三個命題沒有前面那樣的簡單關(guān)系。,請大家作出下面這個命題的偏逆命題：如果四邊形ABCD是平行四邊形，則它的對邊相等。,(AB∥CD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(BC=AD),(AB∥CD)∧(AB=CD)→(BC∥AD)∧(BC=AD),(AB=CD)∧(BC∥AD)→(AB∥CD)∧(BC=AD),(AB∥CD)∧(BC=AD)→(AB=CD)∧(BC∥AD),(BC=AD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(AB∥CD),充分條件和必要條件,數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)命題中的條件分成充分條件、必要條件和充分必要條件。充分條件：如果命題“若p則q”為真，則條件p就稱為使q成立的充分條件必要條件：如果命題“若q則p”為真，則條件p就稱為使q成立的必要條件顯然若p是q成立的充分條件，則q一定是使p成立的必要條件，反過來也對。充分必要條件：如果“若p則q”和“若q則p”均為真，則p是q成立的充分必要條件。在解題或證明中要明確充分條件和充要條件,關(guān)于公理和公理化方法（新概念←舊概念←更舊的概念←…←原始概念）定理←舊命題←更舊的命題←…←公理不加定義的原始概念稱為基本概念；不加證明而承認(rèn)的命題稱為公理。公理化方法：從盡可能少的基本概念和公理出發(fā)，運用邏輯推理，建立數(shù)學(xué)分支的方法。公理系統(tǒng)中的公理應(yīng)滿足的三個條件：（1）相容性：同一公理系統(tǒng)中的公理本身不能矛盾，由公理推導(dǎo)的結(jié)果也不能矛盾（2）獨立性：任一公理不能由其它公理推出（3）完備性：該系統(tǒng)中的全部命題均可推出而不能借助直觀,演繹數(shù)學(xué)的興起,歐幾里得Euclid(ca.325-ca.270BC),,公理化方法與歐幾里得的《幾何原本》,《原本》(Elements),共十三卷，包括五條公理、五條公設(shè)、一百一十九個定義和四百六十五條命題,第11、12、13卷：立體幾何及窮竭法,第10卷：不可公度量,第7、8、9卷：數(shù)論的內(nèi)容,第5卷：比例理論第6卷：比例理論的幾何應(yīng)用,第1卷：23個定義、公理、公設(shè)第1、3、4卷：平面幾何內(nèi)容第2卷：幾何代數(shù)內(nèi)容,基本定義,1、假定從任意一點到任意一點可作一直線2、一條有限直線可不斷延長3、以任意中心和直徑可以畫圓4、凡直角都彼此相等5、若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交,公理,1、等于同量的量彼此相等2、等量加等量，和相等3、等量減等量，差相等4、彼此重合的圖形是全等形5、整體大于部分,公設(shè),點、線、面、圓等,定理：根據(jù)已知概念和真命題，遵照邏輯規(guī)律，運用正確邏輯方法來證明其真實性的命題。定理的結(jié)構(gòu)：條件（題設(shè)或已知）、結(jié)論（題斷或求證）逆定理：一個定理的逆命題若為真，則稱其為該定理的逆定理。判定定理：用來確定某個對象存在的充分條件的定理。性質(zhì)定理：確定某個對象存在的必要條件的定理。引理：為證明一個主要定理作準(zhǔn)備，先證明的一個或幾個“小定理”。推論（或系）：從公理或定理直接推出來的定理。證明題：在教材中通常列入例題或習(xí)題，作為推理論證的練習(xí)。,關(guān)于定理：,簡單定理條件和結(jié)論中所含事項都只有一個的定理稱為簡單定理。例如：同一個三角形中，大角對大邊。復(fù)合定理條件和結(jié)論中所含事項不只是一個的定理叫做復(fù)合定理。例如：等角的鄰補(bǔ)角相等,,數(shù)學(xué)命題的教學(xué),數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的心理分析命題教學(xué)的基本要求和教法探討,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題的心理分析,對公理、定理、公式的學(xué)習(xí)很大程度上依賴于直接感知難以從條件與結(jié)論的關(guān)系上把握條件命題孤立地學(xué)習(xí)定理、公式,,數(shù)學(xué)命題的教學(xué)設(shè)計（見書P111）,命題的提出命題的明確（已知條件、結(jié)論和適用范圍）命題的證明與推導(dǎo)（思路、方法、技巧）命題的運用與系統(tǒng)化,,命題的引入方法：(1)通過對具體事物觀察和實驗與實踐活動，做出猜想（2）通過推理直接發(fā)現(xiàn)結(jié)論（3）通過命題間的關(guān)系，對一個命題做出變形（逆命題、偏逆命題等）,,公理、定理、公式的教法探討,公理的教法采用學(xué)生熟知的具體事例或生活經(jīng)驗出發(fā)讓學(xué)生了解什么是公理：它的真實性不能由邏輯推理來確定，是人們長期實踐的總結(jié)，是數(shù)學(xué)的基石或出發(fā)點。在教學(xué)中要讓學(xué)生體會引入公理的必要性：如果沒有公理的引入，則進(jìn)一步的推理便無法進(jìn)行。引入公理也要有個過程，通過引導(dǎo)學(xué)生對實際事物的觀察，進(jìn)行一定的實驗和檢驗，從而不但讓學(xué)生對公理的真實性確信不疑，也便于學(xué)生對公理的理解和記憶。,了解定理的由來：在教學(xué)過程中一般不先提出命題的內(nèi)容，最好通過實驗、演算等手段，先讓學(xué)生自己思考，估計出命題的內(nèi)容，然后再去論證。明確定理的條件和結(jié)論（定理的結(jié)構(gòu)）：中學(xué)數(shù)學(xué)里，命題大部分是以充分條件形式出現(xiàn)的，要對命題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，使學(xué)生分清已知條件和結(jié)論（“在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”→“如果一點在一個角的平分線上，那么這點到這個角的兩邊的距離相等”）,定理的教學(xué),講清定理證明的思路和方法：一般以口頭分析探索證明的途徑，然后用綜合法簡練地表達(dá)出來，在該過程中學(xué)生的積極參與是重要的。先分析后綜合不僅在幾何中，在代數(shù)中可同樣運用。,定理的應(yīng)用：懂得不等于會用，使學(xué)生會用（甚至熟練）定理解決有關(guān)的問題是定理教學(xué)中的重要一環(huán)?？赏ㄟ^例題、習(xí)題（反饋、修正）等使學(xué)生逐步掌握定理的應(yīng)用。把所學(xué)定理納入定理系統(tǒng)中：教學(xué)中的定理都是定理系統(tǒng)中的一個，要讓學(xué)生弄清定理在系統(tǒng)中的地位和作用以及和其它定理之間的關(guān)系等，這樣做可以使學(xué)生更加深刻地理解定理，同時也使對定理的記憶更加容易。※定理證明中要注意的：1、注意圖形的正反方面的作用；2、嚴(yán)密的推理是論證的核心；3、重視書寫的格式。,公式的教學(xué)公式是定理的另一種形式，是用字母和符號表示的命題。因此原則上公式的教學(xué)和定理的教學(xué)并沒有什么區(qū)別。要重視公式的推導(dǎo)，要在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生自己進(jìn)行推導(dǎo)，教師作必要的提示。公式的推導(dǎo)可以幫助學(xué)生對公式的記憶、明確公式的條件以及培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。利用公式的外形和特征進(jìn)行記憶注意公式的條件，忽視公式的條件是發(fā)生錯誤的原因之一。注意公式的正反使用：,法則的教學(xué)法則是揭示對象之間普遍聯(lián)系的一種命題形式，一般是圍繞運算展開的。法則可以分成定義型和公式型兩類。定義型法則的教學(xué)類似于概念的教學(xué)，公式型法則的教學(xué)則類似于數(shù)學(xué)公式的教學(xué)?！▌t教學(xué)的重點在應(yīng)用：正確運用→熟練運用→迅速而合理→簡化運算過程。,,,,設(shè)解：因為x>0,y>0,所以從而而所以的最小值為,,,,