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習(xí)題解答 習(xí)題一 1-1 ｜｜與 有無不同?和有無不同? 和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明． 解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，； （2）是速度的模，即. 只是速度在徑向上的分量. ∵有（式中叫做單位矢），則 式中就是速度徑向上的分量， ∴不同如題1-1圖所示. 題1-1圖 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量. ∵有表軌道節(jié)線方向單位矢），所以 式中就是加速度的切向分量. (的運算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論) 1-2 設(shè)質(zhì)點的運動方程為=()，=()，在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出r＝，然后根據(jù) =，及＝而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 =及= 你認為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？ 解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標系中，有， 故它們的模即為 而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作 其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。 1-3 一質(zhì)點在平面上運動，運動方程為 =3+5, =2+3-4. 式中以 s計，,以m計．(1)以時間為變量，寫出質(zhì)點位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 時刻和＝2s 時刻的位置矢量，計算這1秒內(nèi)質(zhì)點的位移；(3)計算＝0 s時刻到＝4s時刻內(nèi)的平均速度；(4)求出質(zhì)點速度矢量表示式，計算＝4 s 時質(zhì)點的速度；(5)計算＝0s 到＝4s 內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；(6)求出質(zhì)點加速度矢量的表示式，計算＝4s 時質(zhì)點的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量式)． 解：（1） (2)將,代入上式即有 (3)∵ ∴ (4) 則 (5)∵ (6) 這說明該點只有方向的加速度，且為恒量。 1-4 在離水面高h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示．當人以(m)的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大?。? 圖1-4 解： 設(shè)人到船之間繩的長度為，此時繩與水面成角，由圖可知 將上式對時間求導(dǎo)，得 題1-4圖 根據(jù)速度的定義，并注意到,是隨減少的， ∴ 即 或 將再對求導(dǎo)，即得船的加速度 1-5 質(zhì)點沿軸運動，其加速度和位置的關(guān)系為 ＝2+6，的單位為，的單位為 m. 質(zhì)點在＝0處，速度為10,試求質(zhì)點在任何坐標處的速度值． 解： ∵ 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時，,∴ ∴ 1-6 已知一質(zhì)點作直線運動，其加速度為 ＝4+3 ，開始運動時，＝5 m， =0，求該質(zhì)點在＝10s 時的速度和位置． 解：∵ 分離變量，得 積分，得 由題知，, ,∴ 故 又因為 分離變量， 積分得 由題知 , ,∴ 故 所以時 1-7 一質(zhì)點沿半徑為1 m 的圓周運動，運動方程為 =2+3，式中以弧度計，以秒計，求：(1) ＝2 s時，質(zhì)點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成45角時，其角位移是多少? 解： (1)時， (2)當加速度方向與半徑成角時，有 即 亦即 則解得 于是角位移為 1-8 質(zhì)點沿半徑為的圓周按＝的規(guī)律運動，式中為質(zhì)點離圓周上某點的弧長,，都是常量，求：(1)時刻質(zhì)點的加速度；(2) 為何值時，加速度在數(shù)值上等于． 解：（1） 則 加速度與半徑的夾角為 (2)由題意應(yīng)有 即 ∴當時， 1-9 半徑為的輪子，以勻速沿水平線向前滾動：(1)證明輪緣上任意點的運動方程為＝，＝，式中/是輪子滾動的角速度，當與水平線接觸的瞬間開始計時．此時所在的位置為原點，輪子前進方向為軸正方向；(2)求點速度和加速度的分量表示式． 解：依題意作出下圖，由圖可知 題1-9圖 (1) (2) 1-10 以初速度＝20拋出一小球，拋出方向與水平面成幔