《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式，特別是絕對值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解貝努利不等式，學(xué)會貝努利不等式的簡單應(yīng)用.3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式.,預(yù)習(xí)自測,1.對任何實數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥1＋nx.2.設(shè)α為有理數(shù)，x>－1，如果01，則(1＋x)α______1＋αx，當(dāng)且僅當(dāng)_____時等號成立.,≤,≥,x＝0,典例剖析知識點1用數(shù)學(xué)歸納法證明絕對值不等式,【例1】設(shè)x1，x2，…，xn為實數(shù)，證明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|.,1.證明不等式|sinnθ|≤n|sinθ|(n∈N＋).,證明(1)當(dāng)n＝1時，上式左邊＝|sinθ|＝右邊，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，命題成立，即有|sinkθ|≤k|sinθ|.當(dāng)n＝k＋1時，|sin(k＋1)θ|＝|sin(kθ＋θ)|＝|sinkθcosθ＋coskθsinθ|≤|sinkθcosθ|＋|coskθsinθ|≤|sinkθ|＋|sinθ|≤k|sinθ|＋|sinθ|＝(k＋1)|sinθ|.即當(dāng)n＝k＋1時不等式成立.由(1)(2)可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立.,知識點2用數(shù)學(xué)歸納法證明平均值不等式,【反思感悟】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的第二步，設(shè)n＝k時命題成立，證n＝k＋1時命題也成立時，往往要通過放縮法來實現(xiàn)n＝k＋1時命題所需要的形式.,2.證明：如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an＝1，那么它們的和a1＋a2＋…＋an≥n.,∴a3＋a4＋…＋ak＋ak＋1≥k－a1a2∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－(k＋1)≥a1＋a2＋k－a1a2－k－1＝a1＋a2－a1a2－1＝－(a1－1)(a2－1)∵a1>1，a20∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－k－1>0，即a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1>k＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時命題成立由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，如果n個正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an＝1，那么它們的和a1＋a2＋…＋an≥n成立.,知識點3用數(shù)學(xué)歸納法證明柯西不等式,【反思感悟】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，難點不在于數(shù)學(xué)歸納法的原理，而在于如何變形.放縮以便于用上假設(shè)，再經(jīng)過變形運算使命題得證.,課堂小結(jié),數(shù)學(xué)歸納法能證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，但并不是所有與正整數(shù)n有關(guān)的不等式都能用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明不等式的難點在于對命題的變形.在推證n＝k＋1命題成立時，往往利用放縮法通過增加一些項(或舍去一些項)或利用二項式定理后舍去一些項達到滿足n＝k＋1時所需要的形式.有時也會利用比較法證明n＝k＋1時命題成立.,隨堂演練,