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1、2.3.1平面向量基本定理,第2章2.3向量的坐標(biāo)表示,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解平面向量的正交分解及向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題.,,,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),,知識點一平面向量基本定理,思考1,如果e1，e2是兩個不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？,答案能.依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則.,答案,思考2,如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？,答案不一定

2、，當(dāng)a與e1共線時可以表示，否則不能表示.,梳理,(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的向量a，實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)向量的一組基底.,所有,不共線,任一,有且只有一對,不共線,,知識點二向量的正交分解,答案,思考,一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G，可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直作用于斜面的力F2.類比力的分解，平面內(nèi)任一向量能否用互相垂直的兩向量表示？,答案能，互相垂直的兩向量可以作為一組基底.,梳理,正交分解的含義一個平面向量用一組基底e1，e2表示成a＝的

3、形式，我們稱它為向量a的.當(dāng)e1，e2所在直線互相時，這種分解也稱為向量a的.,正交分解,λ1e1＋λ2e2,分解,垂直,1.平面內(nèi)任意兩個向量都可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底.()提示只有不共線的兩個向量才可以作為基底.2.零向量可以作為基向量.()提示由于0和任意向量共線，故不可作為基向量.3.平面向量基本定理中基底的選取是唯一的.()提示基底的選取不是唯一的，不共線的兩個向量都可作為基底.,[思考辨析判斷正誤],,,,答案,提示,題型探究,,類型一對基底概念的理解,例1如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是_____.(填序號)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)

4、可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.,②③,答案,解析,解析由平面向量基本定理可知，①④是正確的；對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的；對于③，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，這樣的λ有無數(shù)個.,反思與感悟,考查兩個向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線.此

5、外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來.,跟蹤訓(xùn)練1e1，e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列各組向量中，不能作為一組基底的序號是_______.①e1＋e2，e1＋3e2；②3e1－2e2，4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e2；⑤,②⑤,答案,解析,解析由題意，知e1，e2不共線，易知②中，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，即3e1－2e2與4e2－6e1共線，∴②不能作基底.,,類型二用基底表示向量,解答,解∵四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點，,解答,引申探究,解取CF的中點G，

6、連結(jié)EG.∵E，G分別為BC，CF的中點，,反思與感悟,將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性運算及法則對所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.,解答,∵a，b不共線，,,類型三平面向量基本定理的應(yīng)用,解答,解方法一(基向量法),方法二(待定系數(shù)法)如圖所示，連結(jié)MN并延長交AB的延長線于點T，,反思與感悟,當(dāng)直接利用基底表示向量比較困難時，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建

7、立方程或方程組，解方程或方程組即得.,解答,解將a＝e1＋e2與b＝3e1－2e2代入c＝λa＋μb，得c＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－2e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－2μ)e2.因為c＝2e1＋3e2，且向量e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，,跟蹤訓(xùn)練3已知向量e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，試求λ，μ的值.,達(dá)標(biāo)檢測,1,2,3,4,答案,1,2,3,4,答案,解析∵向量e1，e2不共線，,解析,2.已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e

8、1＋3e2，則x＝_____，y＝______.,－15－12,1,2,3,4,a＋b,2a＋c,答案,解析,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,1.向量的正交分解是把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù).2.對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：①基底是兩個不共線向量；②基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件.(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底.,規(guī)律與方法,3.準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.,