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1、第十六章　量子物理 16－1　下列物體哪個是絕對黑體(　　) (A) 不輻射可見光的物體　　　　　(B) 不輻射任何光線的物體 (C) 不能反射可見光的物體 (D) 不能反射任何光線的物體 分析與解　一般來說，任何物體對外來輻射同時會有三種反應：反射、透射和吸收，各部分的比例與材料、溫度、波長有關.同時任何物體在任何溫度下會同時對外輻射，實驗和理解證明：一個物體輻射能力正比于其吸收能力.做為一種極端情況，絕對黑體(一種理想模型)能將外來輻射(可見光或不可見光)全部吸收，自然也就不會反射任何光線，同時其對外輻射能力最強.綜上所述應選(D). 16－2　光電效應和康普頓效應

2、都是光子和物質原子中的電子相互作用過程，其區(qū)別何在？ 在下面幾種理解中，正確的是(　　) (A) 兩種效應中電子與光子組成的系統(tǒng)都服從能量守恒定律和動量守恒定律 (B) 光電效應是由于電子吸收光子能量而產生的，而康普頓效應則是由于電子與光子的彈性碰撞過程 (C) 兩種效應都相當于電子與光子的彈性碰撞過程 (D) 兩種效應都屬于電子吸收光子的過程 分析與解　兩種效應都屬于電子與光子的作用過程，不同之處在于：光電效應是由于電子吸收光子而產生的，光子的能量和動量會在電子以及束縛電子的原子、分子或固體之間按照適當?shù)谋壤峙洌珒H就電子和光子而言，兩者之間并不是一個彈性碰撞過程，也不滿足能量和

3、動量守恒.而康普頓效應中的電子屬于“自由”電子，其作用相當于一個彈性碰撞過程，作用后的光子并未消失，兩者之間滿足能量和動量守恒.綜上所述，應選(B). 16－3　關于光子的性質，有以下說法 (1) 不論真空中或介質中的速度都是c；　(2) 它的靜止質量為零； (3) 它的動量為； (4) 它的總能量就是它的動能； (5) 它有動量和能量，但沒有質量. 其中正確的是(　　) (A) (1)(2)(3)　　　　　　　(B) (2)(3)(4) (C) (3)(4)(5) (D) (3)(5) 分析與解　光不但具有波動性還具有粒子

4、性，一個光子在真空中速度為c (與慣性系選擇無關)，在介質中速度為 ，它有質量、能量和動量，一個光子的靜止質量m0＝0，運動質量 ，能量，動量，由于光子的靜止質量為零，故它的靜能E0 為零，所以其總能量表現(xiàn)為動能.綜上所述，說法(2)、(3)、(4)都是正確的，故選(B). 16－4　關于不確定關系有以下幾種理解： (1) 粒子的動量不可能確定，但坐標可以被確定； (2) 粒子的坐標不可能確定，但動量可以被確定； (3) 粒子的動量和坐標不可能同時確定； (4) 不確定關系不僅適用于電子和光子，也適用于其他粒子. 其中正確的是(　　) (A) (1)、(2)　　　　　　(B) (

5、2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、(1) 分析與解　由于一切實物粒子具有波粒二象性，因此粒子的動量和坐標(即位置)不可能同時被確定，在這里不能簡單誤認為動量不可能被確定或位置不可能被確定.這一關系式在理論上適用于一切實物粒子(當然對于宏觀物體來說，位置不確定量或動量的不確定量都微不足道，故可以認為可以同時被確定).由此可見(3)、(4)說法是正確的.故選(C). 16－5　已知粒子在一維矩形無限深勢阱中運動，其波函數(shù)為 那么粒子在x ＝a/6 處出現(xiàn)的概率密度為(　　) (A) 　　　　(B) 　　　(C) 　　　(D) 分析與解　我

6、們通常用波函數(shù)Ψ來描述粒子的狀態(tài)，雖然波函數(shù)本身并無確切的物理含義，但其模的平方表示粒子在空間各點出現(xiàn)的概率.因此題述一線粒子在區(qū)間的概率密度函數(shù)應為.將x ＝a/6代入即可得粒子在此處出現(xiàn)的概率為.故選(C). 16－6　天狼星的溫度大約是11 000 ℃.試由維恩位移定律計算其輻射峰值的波長. 解　由維恩位移定律可得天狼星單色輻出度的峰值所對應的波長 該波長屬紫外區(qū)域，所以天狼星呈紫色. 16－7　太陽可看作是半徑為7.0 108 m 的球形黑體，試計算太陽的溫度.設太陽射到地球表面上的輻射能量為1.4 103 Wm-2 ，地球與太陽間的距離為1.5 1011m. 分析　以太

7、陽為中心，地球與太陽之間的距離d 為半徑作一球面，地球處在該球面的某一位置上.太陽在單位時間內對外輻射的總能量將均勻地通過該球面，因而可根據(jù)地球表面單位面積在單位時間內接受的太陽輻射能量E，計算出太陽單位時間單位面積輻射的總能量，再由公式，計算太陽溫度. 解　根據(jù)分析有 (1) (2) 由式(1)、(2)可得 16－8　鎢的逸出功是4.52 eV，鋇的逸出功是2.50 eV，分別計算鎢和鋇的截止頻率.哪一種金屬可以用作可見光范圍內的光電管陰極材料？ 分析　由光電效應方程可知，當入射光頻率ν

8、 ＝ν0 (式中ν0＝W/h)時，電子剛能逸出金屬表面，其初動能.因此ν0 是能產生光電效應的入射光的最低頻率(即截止頻率)，它與材料的種類有關.由于可見光頻率處在0.395 1015 ～0.75 1015Hz 的狹小范圍內，因此不是所有的材料都能作為可見光范圍內的光電管材料的(指光電管中發(fā)射電子用的陰極材料). 解　鎢的截止頻率 　 鋇的截止頻率　 對照可見光的頻率范圍可知，鋇的截止頻率正好處于該范圍內，而鎢的截止頻率大于可見光的最大頻率，因而鋇可以用于可見光范圍內的光電管材料. 16－9　鉀的截止頻率為4.62 1014 Hz，今以波長為435.8 nm

9、的光照射，求鉀放出的光電子的初速度. 解　根據(jù)光電效應的愛因斯坦方程 其中 W＝hν0 ，　ν=c/λ 可得電子的初速度 由于逸出金屬的電子的速度v ＜＜c，故式中m 取電子的靜止質量. 16－10　在康普頓效應中，入射光子的波長為3.0 10－3 nm，反沖電子的速度為光速的60％，求散射光子的波長及散射角. 分析　首先由康普頓效應中的能量守恒關系式，可求出散射光子的波長λ，式中m 為反沖電子的運動質量，即m ＝m0(1－v2/c2 )－1/2 .再根據(jù)康普頓散射公式，求出散射角θ，式中λC 為康普頓波長(λC＝2.43 10－12

10、m). 解　根據(jù)分析有 (1) m ＝m0(1－（v2/c2 ）)－1/2 (2) (3) 由式(1)和式(2)可得散射光子的波長 將λ值代入式(3)，得散射角 16－11　一具有1.0 104 eV 能量的光子，與一靜止的自由電子相碰撞，碰撞后，光子的散射角為60.試問：(1) 光子的波長、頻率和能量各改變多少？(2) 碰撞后，電子的動能、動量和運動方向又如何？ 分析　(1) 可由光子能量E ＝hν 及康普頓散射公式直接求得光子波長、頻率和能量的改變量. (2) 應全面考慮康普頓效應所服從

11、的基本規(guī)律，包括碰撞過程中遵循能量和動量守恒定律，以及相對論效應.求解時應注意以下幾點： ① 由能量守恒可知，反沖電子獲得的動能Eke 就是散射光子失去的能量，即Eke＝hν0－h(huán)ν. ② 由相對論中粒子的能量動量關系式，即和，可求得電子的動量.注意式中為電子靜能， 其值為0.512MeV. ③ 如圖所示，反沖電子的運動方向可由動量守恒定律在Oy 軸上的分量式求得，即. 題 16-11 圖 解　(1) 入射光子的頻率和波長分別為 ，　 散射前后光子波長、頻率和能量的改變量分別為 式中負號表示散射光子的頻率要減小，與此同時，光子也將失去部分能量. (2) 根據(jù)分

12、析，可得 電子動能　 電子動量　 電子運動方向 16－12　波長為0.10 nm 的輻射，照射在碳上，從而產生康普頓效應.從實驗中測量到散射輻射的方向與入射輻射的方向相垂直.求：(1) 散射輻射的波長；(2) 反沖電子的動能和運動方向. 題 16-12 圖 解　(1) 由散射公式得 (2) 反沖電子的動能等于光子失去的能量，因此有 根據(jù)動量守恒的矢量關系(如圖所示)，可確定反沖電子的方向 16－13　試求波長為下列數(shù)值的光子的能量、動量及質量：(1)波長為1 500 nm的紅外線；(2) 波長為500 nm 的可見光；(3) 波長為20 nm 的紫

13、外線；(4) 波長為0.15 nm 的Ｘ 射線；(5) 波長為1.0 10－3 nm 的γ 射線. 解　由能量，動量以及質能關系式，可得 (1) 當λ1 ＝1 500 nm時， (2) 當λ2 ＝500 nm 時，因λ2 ＝λ1 ，故有 (3) 當λ3 ＝20 nm 時，因λ3＝λ1 ，故有 (4) 當λ4＝0.15 nm 時，因λ4 ＝10－4λ1 ，故有 (5) 當λ5 ＝110－3 nm 時， 16－14 計算氫原子光譜中萊曼系的最短和最長波長，

14、并指出是否為可見光. 分析　氫原子光譜規(guī)律為 式中nf ＝1，2，3，…，ni ＝nf ＋1，nf ＋2，….若把氫原子的眾多譜線按nf ＝1，2，3，…歸納為若干譜線系，其中nf＝1 為萊曼系，nf＝2 就是最早被發(fā)現(xiàn)的巴耳末系，所謂萊曼系的最長波長是指ni ＝2，所對應的光譜線的波長，最短波長是指ni→∞所對應的光譜線的波長，萊曼系的其他譜線均分布在上述波長范圍內.式中R 的實驗值常取1.097107m－1 .此外本題也可由頻率條件hν ＝Ef －Ei 計算. 解　萊曼系的譜線滿足　　，ni ＝2，3，4，… 令ni ＝2，得該譜系中最長的波長　　λmax＝121.5 nm

15、令ni→∞，得該譜系中最短的波長　　λmin ＝91.2 nm 對照可見光波長范圍(400 ～760 nm)，可知萊曼系中所有的譜線均不是可見光，它們處在紫外線部分. 16－15　在玻爾氫原子理論中，當電子由量子數(shù)ni＝5 的軌道躍遷到nf＝2的軌道上時，對外輻射光的波長為多少？ 若再將該電子從nf＝2 的軌道躍遷到游離狀態(tài)，外界需要提供多少能量？ 分析　當原子中的電子在高能量Ei 的軌道與低能量Ef 的軌道之間躍遷時，原子對外輻射或吸收外界的能量，可用公式ΔE ＝Ei －Ef 或ΔE ＝Ef －Ei 計算.對氫原子來說，，其中E1 為氫原子中基態(tài)(n ＝1)的能量，即E1 ＝－Rhc

16、＝－13.6 eV，電子從nf＝2 的軌道到達游離狀態(tài)時所需的能量，就是指電子由軌道nf ＝2 躍遷到游離態(tài)ni →∞時所需能量，它與電子由基態(tài)(nf ＝1)躍遷到游離態(tài)ni＝∞時所需的能量(稱電離能)是有區(qū)別的，后者恰為13.6 eV. 解　根據(jù)氫原子輻射的波長公式，電子從ni＝5 躍遷到nf＝2 軌道狀態(tài)時對外輻射光的波長滿足 則 λ＝4.34 10－7m ＝434 nm 而電子從nf ＝2 躍遷到游離態(tài)ni→∞所需的能量為 負號表示電子吸收能量. 16－16　如用能量為12.6 eV 的電子轟擊氫原子，將產生哪些譜線？ 題 16

17、-16 圖 分析　氫原子可以從對它轟擊的高能粒子上吸收能量而使自己從較低能級(一般在不指明情況下均指基態(tài))激發(fā)到較高的能級，但吸收的能量并不是任意的，而是必須等于氫原子兩個能級間的能量差.據(jù)此，可算出被激發(fā)氫原子可躍遷到的最高能級為ni ＝3.但是，激發(fā)態(tài)都是不穩(wěn)定的，其后，它又會自發(fā)躍遷回基態(tài)，如圖所示，可以有3→1，3→2和2→1 三種可能的輻射. 解　根據(jù)分析有 (1) (2) 將E1 ＝－13.6 eV，nf ＝1 和ΔE ＝－12.6 eV(這是受激氫原子可以吸收的最多能量)代入式(1)，可得ni ＝3.

18、69，取整ni ＝3(想一想為什么？)，即此時氫原子處于n ＝3 的狀態(tài). 由式(2)可得氫原子回到基態(tài)過程中的三種可能輻射(見分析)所對應的譜線波長分別為102.6 nm 、657.9 nm 和121.6 nm. 16－17　試證在基態(tài)氫原子中，電子運動時的等效電流為1.05 10－3 A，在氫原子核處，這個電流產生的磁場的磁感強度為多大？ 分析　根據(jù)經(jīng)典的原子理論，基態(tài)氫原子中的電子在第一玻爾半徑r1 上繞核作圓周運動( r1 ＝0.52910－10m )， 繞核運動的頻率(式中 為基態(tài)時電子繞核運動的速度，)，由此可得電子運動的等效電流I ＝ef 以及它在核處激發(fā)的磁感強度.

19、解　根據(jù)分析，電子繞核運動的等效電流為 該圓形電流在核處的磁感強度 上述過程中電子的速度v ＜＜c，故式中m 取電子的靜止質量. 16－18　已知α粒子的靜質量為6.6810－27 kg，求速率為5 000 kms－1的α粒子的德布羅意波長. 分析　在本題及以后幾題求解的過程中，如實物粒子運動速率遠小于光速(即v ＜＜c)或動能遠小于靜能(即Ek＜＜E0 )，均可利用非相對論方法處理，即認為和. 解　由于α粒子運動速率v ＜＜c，故有 ，則其德布羅意波長為 16－19　求動能為 1.0 eV 的電子的德布羅意波的波長. 解　由于電子的靜能，而電子動能，故有，則其德布羅

20、意波長為 16－20　求溫度為27 ℃時，對應于方均根速率的氧氣分子的德布羅意波的波長. 解　理想氣體分子的方均根速率.對應的氧分子的德布羅意波長 16－21　若電子和光子的波長均為0.20 nm，則它們的動量和動能各為多少？ 分析　光子的靜止質量m0 ＝0，靜能E0 ＝0，其動能、動量均可由德布羅意關系式E＝hν，求得.而對電子來說，動能.本題中因電子的，所以 ，因而可以不考慮相對論效應，電子的動能可用公式計算. 解　由于光子與電子的波長相同，它們的動量均為 光子的動能　 電子的動能　 討論　用電子束代替可見光做成的顯

21、微鏡叫電子顯微鏡.由上述計算可知，對于波長相同的光子與電子來說，電子的動能小于光子的動能.很顯然，在分辨率相同的情況下(分辨率∝ 1/λ )，電子束對樣品損害較小，這也是電子顯微鏡優(yōu)于光學顯微鏡的一個方面. 16－22　用德布羅意波，仿照弦振動的駐波公式來求解一維無限深方勢阱中自由粒子的能量與動量表達式. 分析　設勢阱寬度為a，當自由粒子在其間運動時，根據(jù)德布羅意假設，會形成兩列相向而行的物質波.由于波的強度、波長相同，最終會形成駐波，相當于兩端固定的弦駐波，且有，其中n ＝1，2，3，….由德布羅意關系式和非相對論情況下的動能的關系式即可求解.其結果與用量子力學求得的結果相同.雖然推導不

22、甚嚴格，但說明上述處理方法有其內在的合理性與科學性，是早期量子論中常用的一種方法，稱為“駐波法”. 解　根據(jù)分析，勢阱的自由粒子來回運動，就相當于物質波在區(qū)間a 內形成了穩(wěn)定的駐波，由兩端固定弦駐波的條件可知，必有，即 (n ＝1，2，3，…) 由德布羅意關系式，可得自由粒子的動量表達式 (n ＝1，2，3，…) 由非相對論的動量與動能表達式，可得自由粒子的能量表達式 (n ＝1，2，3，…) 從上述結果可知，此時自由粒子的動量和能量都是量子化的. 16－23　電子位置的不確定量為5.010－2 nm時，其速率的不確定量為多少？ 分析　量子論改變了我們對于自然現(xiàn)象的傳統(tǒng)認

23、識，即我們不可能對粒子的行為做出絕對性的斷言.不確定關系式（嚴格的表述應為）就是關于不確定性的一種量子規(guī)律.由上述基本關系式還可引出其他的不確定關系式，如 (Δφ為粒子角位置的不確定量，ΔLφ為粒子角動量的不確定量)，(Δt 為粒子在能量狀態(tài)E 附近停留的時間，又稱平均壽命，ΔE 為粒子能量的不確定量，又稱能級的寬度)等等，不論是對粒子行為做定性分析，還是定量估計(一般指數(shù)量級)，不確定關系式都很有用. 解　因電子位置的不確定量Δx ＝5 10－2nm，由不確定關系式以及可得電子速率的不確定量 16－24　鈾核的線度為7.2 10－15m .求其中一個質子的動量和速度的不確定量. 分

24、析　粒子的線度一般是指它的直徑，由于質子處于鈾核內，因此鈾核的半徑r 可視為質子位置的不確定量，由不確定關系式可得質子動量和速度的不確定量. 解　對質子來說，其位置的不確定量，由不確定關系式以及，可得質子動量和速度的不確定量分別為 ＝1.84 10－19 kg ms－1 ＝1.10 108 ms－1 16－25　一質量為40 g 的子彈以1.0 103 ms－1 的速率飛行，求：(1)其德布羅意波的波長；(2) 若子彈位置的不確定量為0.10 mm ，求其速率的不確定量. 解　(1) 子彈的德布羅意波長為 ＝1.66 10－35m 　　(2) 由不確定關系式以及可得子彈速率的不

25、確定量為 ＝1.66 10－28 ms－1 討論　由于h 值極小，其數(shù)量級為10－34 ，故不確定關系式只對微觀粒子才有實際意義，對于宏觀物體，其行為可以精確地預言. 16－26　設有一電子在寬為0.20 nm 的一維無限深的方勢阱中.(1) 計算電子在最低能級的能量；(2) 當電子處于第一激發(fā)態(tài)(n ＝2)時，在勢阱中何處出現(xiàn)的概率最小，其值為多少？ 解　(1) 一維無限深勢阱中粒子的可能能量 ，式中a 為勢阱寬度，當量子數(shù)n ＝1 時，粒子處于基態(tài)，能量最低.因此，電子在最低能級的能量為 ＝1.51 10－18J ＝9.43eV (2

26、) 粒子在無限深方勢阱中的波函數(shù)為 ，　　　n ＝1，2，… 當它處于第一激發(fā)態(tài)(n ＝2)時，波函數(shù)為 ，　　　0≤x≤a 相應的概率密度函數(shù)為 ，　　　0≤x≤a 令　，得 在0≤x≤a 的范圍內討論可得，當和a 時，函數(shù)取得極值.由可知，函數(shù)在x ＝0，x ＝a/2 和x ＝a(即x ＝0，0.10 nm，0.20 nm)處概率最小，其值均為零. 16－27　在線度為1.010－5m 的細胞中有許多質量為m ＝1.010－17 kg的生物粒子，若將生物粒子作為微觀粒子處理，試估算該粒子的n ＝100 和n＝101的能級和能級差各是多大. 分析　作為估算，該粒子被

27、限制在細胞內運動，可按一維無限深方勢阱粒子處理，勢阱寬度a ＝1.0 10－5m. 解　由分析可知，按一維無限深方勢阱這一物理模型計算，可得 n ＝100 時， n ＝101 時， 它們的能級差　 16－28　一電子被限制在寬度為1.010－10 m的一維無限深勢阱中運動.(1) 欲使電子從基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)，需給它多少能量？ (2) 在基態(tài)時，電子處于x1 ＝0.09010－10 m 與x2 ＝0.11010－10 m 之間的概率近似為多少？(3) 在第一激發(fā)態(tài)時，電子處于x1′＝0 與x2′＝0.2510-10 m 之間的概率為多少

28、？ 分析　設一維粒子的波函數(shù)為，則表示粒子在一維空間內的概率密度， 則表示粒子在間隔內出現(xiàn)的概率，而則表示粒子在 區(qū)間內出現(xiàn)的概率.如區(qū)間的間隔Δx較小，上述積分可近似用 代替，其中取和之間中點位置c 處的概率密度作為上述區(qū)間內的平均概率密度.這是一種常用的近似計算的方法. 解　(1) 電子從基態(tài)(n ＝1)躍遷到第一激發(fā)態(tài)(n ＝2)所需能量為 　　(2) 當電子處于基態(tài)(n ＝1) 時，電子在勢阱中的概率密度為，所求區(qū)間寬度，區(qū)間的中心位置，則電子在所求區(qū)間的概率近似為 　　(3) 同理，電子在第一激發(fā)態(tài)(n ＝2)的概率密度為，則電

29、子在所求區(qū)間的概率近似為 16－29　在描述原子內電子狀態(tài)的量子數(shù)n，l，ml 中，(1) 當n＝5 時，l 的可能值是多少？ (2) 當l＝5 時，ml的可能值為多少？ (3) 當l ＝4 時，n 的最小可能值是多少？ (4) 當n ＝3 時，電子可能狀態(tài)數(shù)為多少？ 分析　微觀粒子狀態(tài)的描述可用能量、角動量、角動量的空間取向、自旋角動量和自旋角動量的空間取向所對應的量子數(shù)來表示，即用一組量子數(shù)(n，l，ml，s，ms )表示一種確定狀態(tài).由于電子自旋量子數(shù)s 恒為1/2，故區(qū)別電子狀態(tài)時只需用4 個量子數(shù)即n、l、ml 和ms ，其中n可取大于零的任何整數(shù)值，而 l、m

30、l和ms的取值則受到一定的限制，如n 取定后，l 只能為0，l，…，(n －1)，共可取n個值；l 取定后，ml 只能為0， 1，…， l，共可取2l ＋1 個值；而ms 只可取12 兩個值.上述 4 個量子數(shù)中只要有一個不同，則表示的狀態(tài)就不同，因此，對于能量確定(即n 一定)的電子來說，其可能的狀態(tài)數(shù)為2n2 個. 解　(1) n ＝5 時，l 的可能值為5 個，它們是l ＝0，1，2，3，4 (2) l ＝5時，ml的可能值為11個，它們是ml＝0，1，2，3，4，5 (3) l ＝4 時，因為l 的最大可能值為(n －1)，所以n 的最小可能值為5 (4) n ＝3 時，電子的可能狀態(tài)數(shù)為2n2 ＝18 16－30　氫原子中的電子處于n ＝4、l ＝3 的狀態(tài).問：(1) 該電子角動量L的值為多少？ (2) 這角動量L 在z 軸的分量有哪些可能的值？ (3) 角動量L 與z 軸的夾角的可能值為多少？ 題 16-30 圖 解　(1) n ＝4、l ＝3 時，電子角動量 　　(2) 軌道角動量在z 軸上的分量，對于n ＝4、l ＝3的電子來說，則Lz的可能取值為. (3) 角動量L 與z 軸的夾角，如圖所示，當ml 分別取3，2，1，0，－1，－2，－3 時，相應夾角θ 分別為