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1、土力學教程 （同濟大學土木工程學院編制） 目錄 土壓力計算 學習指導 工程背景 土壓力的分類與相互關系 靜止土壓力計算 朗肯土壓力理論 庫侖土壓力理論 粘性土土坡的整體穩(wěn)定分析 粘性土土坡穩(wěn)定分析的條分法 本章小結 ? ? 學習指導 學習目標 ??? 掌握土壓力的基本概念與常用計算方法，初步具備將土壓力理論應用于一般工程問題的能力。 學習要求 1．掌握靜止土壓力、主動土壓力、被動土壓力的形成條件； 2．掌握朗肯土壓力理論； 3. 掌握庫侖土壓力理論； 4．了解有超載、成層土、有地下水情況的土壓力計算； 5. 了解土壓力計算在實際工

2、程中存在的問題。 主要基礎知識 地基土的自重應力計算、土的強度理論 ? 一、工程背景 土建工程中許多構筑物如擋土墻、隧道和基坑圍護結構等擋土結構起著支撐土體，保持土體穩(wěn)定，使之不致坍塌的作用，而另一些構筑物如橋臺等則受到土體的支撐，土體起著提供反力的作用，如圖6-1所示。在這些構筑物與土體的接觸面處均存在側向壓力的作用，這種側向壓力就是土壓力。 （a）邊坡擋土墻 （b）隧道 ? (c）基坑圍護結構 （d）橋臺 圖6-1 工程中的擋土墻?????????? 查看更多工程資料 ? 二、土壓力的分類與相互關系 ? 1. 土壓力的

3、分類 ? 作用在擋土結構上的土壓力，按擋土結構的位移方向、大小及土體所處的三種極限平衡狀態(tài)，可分為三種：靜止土壓力、主動土壓力和被動土壓力。 （1）靜止土壓力 如果擋土結構在土壓力的作用下，其本身不發(fā)生變形和任何位移（移動或轉動），土體處于彈性平衡狀態(tài)，則這時作用在擋土結構上的土壓力稱為靜止土壓力，如圖6-2(a)所示。 （2）主動土壓力 擋土結構在土壓力作用下向離開土體的方向位移，隨著這種位移的增大，作用在擋土結構上的土壓力將從靜止土壓力逐漸減小。當土體達到主動極限平衡狀態(tài)時，作用在擋土結構上的土壓力稱為主動土壓力，如圖6-2(b)所示。

4、 （3）被動土壓力 擋土結構在荷載作用下向土體方向位移，使土體達到被動極限平衡狀態(tài)時的土壓力稱為被動土壓力，如圖6-2(c)所示。 　 2．三種土壓力的相互關系 在實際工程中，大部分情況下的土壓力值均介于上述三種極限狀態(tài)下的土壓力值之間。土壓力的大小及分布與作用在擋土結構上的土體性質、擋土結構本身的材料及擋土結構的位移有關，其中擋土結構的位移情況是影響土壓力性質的關鍵因素。圖6-3表示了土壓力與擋土結構位移之間的關系，由此可見產生被動土壓力所需要的位移量大大超過產生主動土壓力所需要的位移量。 ?(a)靜止土壓力 (b)主動土壓力 觀看動畫

5、? (c)被動土壓力 觀看動畫 圖6-2? 土壓力分類 ? 圖6-3 土壓力與擋土結構位移d的關系 ? 三、靜止土壓力計算 ? 1．墻背豎直時的靜止土壓力計算 （1）土壓力計算 靜止土壓力可根據半無限彈性體的應力狀態(tài)進行計算。在土體表面下任意深度z處取一微小單元體，其上作用著豎向自重應力和側壓力（如圖6-4），這個側壓力的反作用力就是靜止土壓力。根據半無限彈性體在無側移的條件下側壓力與豎向應力之間的關系，該處的靜止土壓力強度p0可按下式計算： （6-1） 式中 K0為靜止土壓力系數，其值可用室內或原位試驗確定；g 為土體重度，kN／m3

6、。 （2）土壓力分布 由式（6-1）可知，靜止土壓力沿擋土結構豎向為三角形分布，如圖6-4所示。如果取單位擋土結構長度，則作用在擋土結構上的靜止土壓力E0為： ? ?? （6-2） 式中h為擋土結構高度，m。E0的作用點在距墻底 h/3處。 ??圖6-4 墻背豎直時的靜止土壓力 ? ?2．墻背傾斜時的靜止土壓力計算 對于擋土墻背傾斜的情況（如圖6-5），作用在單位長度上的靜止土壓力可根據土楔體ABB′的靜力平衡條件導出如下： ? （6-3） 式中e為墻背傾角，°。而E0與水平方向的夾角 a可由下式求得： （6-4） E0的作用點在距墻

7、底 h/3 處。 圖6-5 墻背傾斜時的靜止土壓力 四、朗肯土壓力理論 ? ?? 1.基本假設與適用條件 朗肯土壓力理論是 朗肯(W.J.M.Rankine)于 1857年提出的。它假定擋土墻背垂直、光滑，其后土體表面水平并無限延伸，這時土體內的任意水平面和墻的背面均為主平面（在這兩個平面上的剪應力為零），作用在該平面上的法向應力即為主應力。朗肯根據墻后主體處于極限平衡狀態(tài)，應用極限平衡條件，推導出了主動土壓力和被動土壓力計算公式。 2. 朗肯主動土壓力計算 ? （1）主動土壓力計算方法 考察擋土墻后主體表面下深度z處的微小單元體的應力狀態(tài)變化過程（可點擊主動土壓力

8、的形成過程演示）。 當擋土墻在土壓力的作用下向遠離土體的方向位移時，作用在微分土體上的豎向應力 sz保持不變，而水平向應力sx逐漸減小，直至達到土體處于極限平衡狀態(tài)。土體處于極限平衡狀態(tài)時的最大主應力為 s1=gz ，而最小主應力 s3即為主動土壓力強度 pa 。根據土的極限平衡理論，可推導出主動土壓力強度 pa 的計算公式如下： 無粘性土 或 （6-5） 粘 性 土 或 （6-6） 式中Ka為主動土壓力系數 ?? （2）主動土壓力分布規(guī)律 由朗肯主動土壓力計

9、算公式可知，無粘性土中主動土壓力強度 pa 與深度 z 成正比，沿墻高的土壓力強度呈三角形分布（如圖6-6）。作用在單位長度擋墻上的土壓力為三角形分布面積，即 ?? （6－6） 土壓力作用點在距墻底 h/3 高度處。 粘性土中的土壓力強度由兩部分組成：一部分是由土體自重引起的土壓力 ，另一部分是粘力c引起的負側壓力 ，兩部分的疊加結果如圖6-7所示，其中aed部分是負側壓力，對墻背是拉應力，但實際上土與墻背在很小的拉應力作用下即會分離，故在計算土壓力時，這部分的壓力應設為零，因此粘性土的土壓力分布僅是abc部分。令式（6-6）為零即可求得臨界深度z0： ???????????

10、??（6-8） 單位長度擋墻上的主動土壓力可由土壓力實際分布面積計算（圖6-8中abc部分的面積）。 ????主動土壓力E0的作用點通過三角形的形心，即作用在離墻底 高度處。 ?圖6-6? 無粘性土的pa分布 圖6-7? 粘性土的pa分布 朗肯主動土壓力計算的具體方法可查閱例題6-1。 ?例題6-1 ? 有一擋土墻高6 m，墻背豎直、光滑，墻后填土面水平，填土的物理力學指標為：c＝15 kPa,φ ＝15°,g＝18 kN／m3。求主動土壓力及其作用點并繪出主動土壓力分布圖。 【解】 （1）計算墻頂處的主動土壓力強度pa1 （2）計算臨界深度z0

11、 （3）計算墻底處的主動土壓力強度pa2 （4）繪出主動土壓力的分布圖如圖6-9所示 （5）計算主動土壓力值 主動土壓力值按分布面積計算如下： ?（6）Ea的作用點位置 主動土壓力Ea的作用點離墻底的距離為： ??????????? ??????????????????????????? ?圖6-9 土壓力分布圖 3．朗肯被動土壓力 考察擋土墻后土體表面下深度z處的微小單元體的應力狀態(tài)變化過程（請觀看演示動畫）。當擋土墻在土壓力的作用下向著土體方向位移時，作用在微分土體上的豎向應力sz保持不變，而水平向應力sx逐漸增大，由小主應力變?yōu)榇笾鲬?，直至達

12、到土體處于極限平衡狀態(tài)。土體處于極限平衡狀態(tài)時的最小主應力為s3=gz，而最大主應力s1即為被動土壓力強度pp。與主動土壓力推導過程相似，可推導出被動土壓力強度pp的計算公式如下： 無粘性土 （6-9） 粘性土 ? 公式推導（6-10） 式中Kp為被動土壓力系數，其值為 由式（6-9）和式（6-10）可知，無粘性土的被動土壓力強度呈三角形分布，粘性土中的被動土壓力強度呈梯形分布，如圖6-9所示。作用在單位長度擋土墻上的土壓力Ep同樣可由土壓力實際分布面積計算，Ep的作用線通過土壓力強度分布圖

13、的形心。 圖6-10 被動土壓力分布 （a）無粘性土 （b）粘性土 ?4．幾種情況朗肯土壓力的計算 （1）土體表面有均布荷載q作用 當墻后土體表面有連續(xù)均布荷載q作用時，均布荷載q在土中產生的上覆壓力沿墻體方向矩形分布，分布強度為q，如圖6-10。土壓力的計算方法是將上覆壓力項gz換以gz＋q計算即可，如粘土的主動土壓力強度pa為： （6-11） 圖6-10 墻后土體表面超載q作用下的土壓力計算 ? （2）成層土體中的土壓力計算 一般情況下墻后土體均由幾層不同性質的水平土層組成。在計算各點的土壓力時，可先計算其相應的自重應力，

14、在土壓力公式中項gz換以相應的自重應力即可，需注意的是土壓力系數應采用各點對應土層的土壓力系數值。具體的計算方法可查閱例題6-2。 例題6-2 擋土墻高5 m，墻背直立、光滑，墻后土體表面水平，共分二層，各層土的物理力學指標如圖6-11所示，求主動土壓力并繪出土壓力分布圖。 【解】第一層的土壓力強度 層頂面處：pa0=0 層底面處： 第二層的土壓力強度 層頂面處： 層底面處： 主動土壓力合力為 主動土壓力分布圖如圖6-12所示。 圖6-11 例題6-2 ? （3）墻后土體有地下水的土壓力計算 當墻后土體中有地下水存在時，墻體除受到土壓力的作

15、用外，還將受到水壓力的作用。通常所說的土壓力是指土粒有效應力形成的壓力，其計算方法是地下水位以下部分采用土的有效重度 計算，水壓力按靜水壓力計算。但在實際工程中計算墻體上的側壓力時，考慮到土質條件的影響，可分別采用“水土分算”或“水土合算”的計算方法。所謂“水土分算”法是將土壓力和水壓力分別計算后再疊加的方法，這種方法比較適合滲透性大的砂土層情況；“水土合算”法在計算土壓力時則將地下水位以下的土體重度取為飽和重度，水壓力不再單獨計算疊加，這種方法比較適合滲透性小的粘性土層情況。 ?五、庫侖土壓力理論 1．基本假設 庫侖（C. A.Coulomb）1773年建立了庫侖土壓力理論，

16、其基本假定為： （1）擋土墻后土體為均勻各向同性無粘性土（c=0）； （2）擋土墻后產生主動或被動土壓力時墻后土體形成滑動土楔，其滑裂面為通過墻踵的平面； （3）滑動土楔可視為剛體。 庫侖土壓力理論根據滑動土楔處于極限平衡狀態(tài)時的靜力平衡條件來求解主動土壓力和被動土壓力。 2．庫侖主動土壓力 （1）庫侖主動土壓力計算 如圖6-12(a)所示，設擋土墻高為h，墻背俯斜，與垂線的夾角為e，墻后土體為無粘性土（c=0），土體表面與水平線夾角為b，墻背與土體的摩擦角為d。擋土墻在土壓力作用下將向遠離主體的方向位移（平移或轉動），最后土體處于極限平衡

17、狀態(tài)，墻后土體將形成一滑動土楔，其滑裂面為平面BC，滑裂面與水平面成q角。 沿擋土墻長度方向?。眒進行分析，并取滑動土楔ABC為隔離體，作用在滑動土楔上的力有土楔體的自重W，滑裂面BC上的反力R和墻背面對土楔的反力E（土體作用在墻背上的土壓力與E大小相等方向相反）?；瑒油列ㄔ赪，R，E的作用下處于平衡狀態(tài)，因此三力必形成一個封閉的力矢三角形，如圖6-12（b）所示。根據正弦定理并求出E的最大值即為墻背的庫侖主動土壓力： 公式推導 （6-12） 式中Ka為庫侖主動土壓力系數，其值為： （6-13） 圖6-12庫侖主動土

18、壓力計算 (a)擋土墻與滑動土楔 （b）力矢三角形 ? （2）庫侖主動土壓力分布 庫侖主動土壓力強度分布圖為三角形，Ea的作用方向與墻背法線逆時針成d角，作用點在距墻底h/3處，如圖6-13。 圖6-13 庫侖主動土壓力分布 ? 庫侖主動土壓力的具體計算與分布圖形可查閱例題6-3。 ?? 例題6-3 ? 擋土墻高5 m，墻背傾斜角e=10o（俯角），填土坡角b＝20o，填土重度g＝18 kN/m3，j=30o，c=0，填土與墻背的摩擦角d=(2/3)j，按庫侖土壓力理論計算主動土壓力及其作用點。 【解】 根據e =10o,b ＝20o,g ＝18 kN/m3

19、,j=30o,c=0和d =(2/3)j的條件，按式（6-12）可求得主動土壓力系數Ka=0.540。 由于主動土壓力沿墻背垂直面為三角形分布，故主動土壓力得合力為: 主動土壓力作用點在離墻底h/3=5.0 m/3=1.67 m處。 3．庫侖被動土壓力 ? 庫侖被動土壓力計算公式的推導與庫侖主動土壓力的方法相似，計算簡圖如圖6-14，計算公式為： （6－14） 式中Kp為庫侖被動土壓力系數，其值為： （6－15） 庫侖被動土壓力強度分布圖也為三角形，Ep的作用方向與墻背法線順時針成d角，作用點在距墻底h/

20、3處。? 圖6－15 庫侖被動土壓力計算 （a）擋土墻與滑動土楔（b）力矢三角形 ?特別提示 當墻背垂直（e =0）、光滑（d =0）、土體表面水平（b=0）時，庫侖土壓力計算公式與朗肯土壓力公式一致。 庫侖土壓力理論是從無粘性土出發(fā)推導得到的，故不能直接用于計算粘性土中的土壓力。 工程實踐表面，墻后土體破壞時的滑動面只有主動狀態(tài)下在墻背斜度不大且墻背與土體之間的摩擦角很小時才接近于平面，庫侖公式的平面假設引起的誤差在計算主動土壓力時比較小，約為2％～10％；而在計算被動土壓力時的誤差較大，且誤差隨 d 角的增大而增大，有時可達2～3倍，故工程中計算被動土壓力一般不使用庫

21、侖公式。 ?4．粘性土與成層土中的庫侖土壓力計算 （1）粘性土中的庫侖土壓力計算 在實際工程中，為了利用庫侖公式計算粘性土中的土壓力，通常采用等代內摩擦角jd 來綜合考慮c, j值對土壓力的影響，即適當增大內摩擦角來反映內聚力的影響，然后按砂性土的計算公式計算土壓力。等代內摩擦角jd一般根據經驗確定，地下水位以上的粘性土可取jd＝30o～35o,地下水位以下的粘性土可取jd＝25o～30o。也有如下的經驗公式： 特別提示 上述經驗公式計算出的等代內摩擦角jd并非定值，而與擋土墻的高度有關，這可能導致土壓力計算值出現較大的誤差，具體計算中應結合原位土層和擋土墻的具體情況，確

22、定一個比較合理的jd值。 ? ? （2）成層土中的庫侖土壓力計算 對實際工程中的成層土地基，設擋土墻后各土層的重度、內摩擦角和土層厚度分別為gi,ji和hi，通?？蓪⒏魍翆拥闹囟?、內摩擦角按土層厚度進行加權平均，即 然后按均值土情況采用gm,jm值近似計算其庫侖土壓力值。 ? ????本章主要介紹了土壓力的形成過程與土壓力計算的朗肯理論和庫侖理論。 ??  土壓力是支擋結構和其他地下結構中普遍存在的受力形式。土壓力的大小與支擋結構位移有很大的依存關系，并由此形成了三種土壓力：靜止土壓力、主動土壓力和被動土壓力。靜止土壓力的計算方法由水平向自重應力計算公式演變而來，而朗肯土壓力計算公式是由土的極限平衡條件推導得出，庫侖土壓力公式則是由滑動土楔的靜力平衡條件推導獲得的。各種土壓力公式都有其適用條件，在實際使用中對此應引起注意。 序號 問 題 參考解答 1 影響擋土墻上土壓力的因素中那些最主要，強度指標與位移對土壓力的影響效果如何？ 2 地下水位升降對土壓力的影響如何？ 3 對朗肯土壓力理論和庫侖土壓力理論進行比較和評價。