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第5講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
A級 基礎演練(時間：30分鐘 滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3則 ( )．
A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c
C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b
解析 ∵log30.3＝5log3，1
log2>log3，∴l(xiāng)og23.4>log3>log43.6，∴5log23.4>5log3>5log43.6，故選C.
答案 C
2．(2013·徐州模擬)若函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，則a的取值范圍是( )．
A．01，且>0，得10且a≠1)滿足對任意的x1，x2，當x10，則實數(shù)a的取值范圍為 ( )．
A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,2) D．(1,2)
解析 “對任意的x1，x2，當x10”實質上就是“函數(shù)單調遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“f(x)有意義”．事實上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤時遞減，從而由此得a的取值范圍為(1,2)．故選D.
答案 D
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．函數(shù)y＝log(3x－a)的定義域是，則a＝________.
解析 由3x－a>0得x>.因此，函數(shù)y＝log(3x－a)的定義域是，所以＝，a＝2.
答案 2
6．對任意非零實數(shù)a，b，若a?b的運算原理如圖所示，則(log8)?－2＝________.
解析 框圖的實質是分段函數(shù)，log8＝－3，－2＝9，由框圖可以看出輸出＝－3.
答案?。?.
三、解答題(共25分)
7．(12分)已知函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍．
解 (1)函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定義域為R.
又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x
＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)，
所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
(2)函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，
由指數(shù)函數(shù)的單調性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2.
所以a的取值范圍是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
8．(13分)已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2.
(1)求f＋f的值；
(2)當x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常數(shù)時，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，請說明理由．
解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2
＝log21＝0.∴f＋f＝0.
(2)f(x)的定義域為(－1,1)，
∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)，
當x10且a≠1)的定義域為R，則m的取值范圍為
( )．
A．(0,4] B．(－∞，4)
C．(－∞，4] D．(1,4]
解析 由于函數(shù)f(x)的定義域是R，所以ax＋－m>0恒成立，即m3.故選C.
答案 C
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，則a＋b＋c＝________.
解析 由圖象可求得a＝2，b＝2，又易知函數(shù)y＝logc的圖象過點(0,2)，進而可求得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
答案
4．對于任意實數(shù)x，符號[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)．在實數(shù)軸R(箭頭向右)上[x]是在點x左側的第一個整數(shù)點，當x是整數(shù)時[x]就是x.這個函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________.
解析 當1≤n≤2時，[log3n]＝0，當3≤n<32時，[log3n]＝1，…，當3k≤n<3k＋1時，[log3n]＝k.
故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.
答案 857
三、解答題(共25分)
5．(12分)若函數(shù)f(x)滿足對于(0，＋∞)上的任意實數(shù)x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且x>1時f(x)>0，試證：
(1)f＝f(x)－f(y)；
(2)f(x)＝－f；
(3)f(x)在(0，＋∞)上遞增．
證明 (1)由已知f＋f(y)＝f(x)，
即f(x)－f(y)＝f.
(2)令x＝y(tǒng)＝1，則f(1)＝2f(1)．因此f(1)＝0.
∴f(x)＋f＝f(1)＝0，即f(x)＝－f.
(3)設01，由已知f>0，即f(x2)－f(x1)>0.因此f(x1)0，且a≠1)．
(1)求函數(shù)的定義域，并證明：f(x)＝loga在定義域上是奇函數(shù)；
(2)對于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范圍．
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)＝loga在定義域上是奇函數(shù)．
(2)由x∈[2,4]時，f(x)＝loga>loga恒成立，
①當a>1時，
∴>>0對x∈[2,4]恒成立．
∴00.
∴y＝g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，g(x)min＝g(2)＝15.
∴0loga恒成立，
∴<對x∈[2,4]恒成立．
∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．
設g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，
由①可知y＝g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，
g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.
∴m的取值范圍是(0,15)∪(45，＋∞).
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高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第二篇 第5講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
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