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南昌市10所省重點(diǎn)中學(xué)命制2013屆高三第二次模擬突破沖刺（七） 數(shù)學(xué)（文）試題 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷 一.選擇題(本大題10個(gè)小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合要求) 1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為( ) A.2 B. C. D. 2．設(shè)為非空集合,定義集合A*B為如圖陰影部分表示的集合， 若則A*B=( ) A．（0，2） B． C．（1,2] D． 3．已知，則的值為( ) A． B． C．1 D．2 4．若，且，則( ) A． B． C． D． 5．觀察下列各式：，，，…．若，則( ) A.43 B．57 C．73 D．91 6．一次考試某簡(jiǎn)答題滿分5分，以分為給分區(qū)間．這次考試有人 參加，該題沒(méi)有得零分的人，所有人的得分按分 組所得的頻率分布直方圖如圖所示．設(shè)其眾數(shù)、中位數(shù)、平均分最大的可 能值分別為，則( ) A. 　B. C. 　　　D. 7. 給定下列命題 ①過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為. ②在△中，，，，在上任取一點(diǎn)，使△為鈍角三角形的概率為 ③是不等式成立的一個(gè)充分不必要條件. ④“存在實(shí)數(shù)使”的否定是“存在實(shí)數(shù)使”. 其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A．　 B．　 C．　 D． 9.已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為( ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二.填空題(本大題5個(gè)小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上) 11. 不等式的解集為　　　?。? 12. 已知兩個(gè)單位向量的夾角為，若向量，= . 13. 曲線在處的切線方程為 ． 14. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,、是方程的兩根,且,則數(shù)列的公差為. 15. 執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是8，則判斷框內(nèi)的取值范圍是 三.解答題(本大題6個(gè)小題,共75分,解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 16. (本小題滿分12分) 已知函數(shù)（其中，，）的最大值為2，最小正周期為. （1）求函數(shù)的解析式； （2）若函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值. 17. (本小題滿分12分) 已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng) （1）求和的通項(xiàng)公式. （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：． 18. (本小題滿分12分) 已知集合,,.從集合中各取一個(gè)元素分別記為，設(shè)方程為． （1）求方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率. （2）求方程不表示橢圓也不表示雙曲線的概率． 19. (本小題滿分12分) 如圖,正三棱柱中,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形,是的中點(diǎn),在棱上. (1)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積. (2)當(dāng)點(diǎn)使得最小時(shí),判斷直線與是否垂直,并證明結(jié)論. 20. (本小題滿分13分) 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn). (1) 求橢圓的方程； (2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說(shuō)明理由. 21. (本小題滿分14分) 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)函數(shù).若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 2013屆高三模擬試卷（07）數(shù)學(xué)(文)參考答案 ， ∴. ∴. ∴. 解法2：∵， ， ∴.∴. ∴. 解法3: ∵， ， ∴. 作軸, 軸,垂足分別為, ∴,. 設(shè),則. ∴. 17. (本小題滿分12分) 解：(1)設(shè)公差為，公比為，則 ,， 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，. 則,, （2）∵， ∴ . 18. (本小題滿分12分) 解：、所有可能的取法有：，，，，共27種， （1）其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的有： 共6種，故方程 表示焦點(diǎn)在軸的上雙曲線的概率為：； （2）其中不表示橢圓也不表示雙曲線的有： 共11種，故方程不表示橢圓也不表示雙曲線的概率為： 19. (本小題滿分12分) 解：(1)因?yàn)閭?cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形， 又 (2)解法1：將側(cè)面展開(kāi)到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)使得最小.此時(shí)平行且等于的一半,為的中點(diǎn).連接 在中，得 在中，得 在等腰中，得 所以由，，得有勾股定理知 解法2：將側(cè)面展開(kāi)到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)使得最小.此時(shí)平行且等于的一半,為的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作交于,連接，由且知四邊形為所以.在正三棱柱中知面,而，所以面. 20. (本小題滿分13分) (1) 解法1：設(shè)橢圓的方程為,依題意: 解得: ∴ 橢圓的方程為. 解法2：設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得，即， ∵， ∴. ∴ 橢圓的方程為. (2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， 由消去，得. 設(shè),則. 由,即得. ∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. ∵， ∴. 同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為. 由解得 ∴. ∵, ∴點(diǎn)在橢圓上. ∴. 化簡(jiǎn)得.(*) 由, 可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. ∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè). 解法2：設(shè)點(diǎn),，，由,即得. ∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為， 即.∵， ∴ . ∵點(diǎn)在切線上, ∴. ① 同理， . ② 綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.∵經(jīng)過(guò)的直線是唯一的，∴直線的方程為， ∵點(diǎn)在直線上， ∴. ∴點(diǎn)的軌跡方程為. 若 ，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，∵直線經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn),∴直線與橢圓交于兩點(diǎn). ∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè). 解法3：設(shè)點(diǎn),，則，， ∵三點(diǎn)共線, . 化簡(jiǎn)得：. ① 由,即得. ∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. ② 同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 . ③ 設(shè)點(diǎn)，由②③得：，而，則 . 代入②得 ， 則，代入 ① 得 ， 即點(diǎn)的軌跡方程為.若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上，∵直線經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn), ∴直線與橢圓交于兩點(diǎn). ∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè). 21. (本小題滿分14分) 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè) ， ①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減． ②當(dāng)時(shí)，（I）由得. 當(dāng)時(shí)，恒成立， 在上單調(diào)遞增． 當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減． （II）由得或；.當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減． 當(dāng)，開(kāi)口向上，在上恒成立，則在上恒成立， 此時(shí) 在上單調(diào)遞增． （III）由得 若，開(kāi)口向上，，且，，都在上. 由，即，得或； 由，即，得． 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和， 單調(diào)遞減區(qū)間為． 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，在 恒成立，即在（0，+恒成立，所以在單調(diào)遞減 綜上所述： 遞減 遞增 遞減 遞增 遞增 其中 （2）因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)使得， 則，等價(jià)于.令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”. 對(duì)求導(dǎo)，得. 因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 由于，所以，因此. ·10·